等比数列及其前n项和-学案
-
高二文科数学基础辅导材料三
等比数列及其前
n
项和
学习目标：
1.
理解等比数列的概念
.
2.
掌握
等比数列的通项公式与前
n
项和公式
.
3.
能在具体的问题情境中识别数列
的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题
.
4.
了解等比数列与指数函数的关系
.
考点
1
等比数列的判定与证明
1.
等比数列的有关概念
{
(1)
定义：
如果一个数列从第
________
项起，每一项与它的前一
项的比等于
________(
不为零
)
，那么这个
数列就叫做等比数列．
这
个常数叫做等比数列的
________
，
通常用字母
q
表示，
定义的表达式
为
a
n
＋
1<
/p>
a
n
＝
q
.
(2)
等比中项：
< br>如果
a
，
G
，
b
成等比数列，那么
_____
___
叫做
a
与
b
的等比中项．即
G
是
a
与
b
的等比中项
⇔
a
，
G
，
b
成等比数列
⇔
________.
答案：
(1)2
同一个常数
公比
(2)
G
G
2
＝
ab
2
．等比数列的有关公式
(1)
通项公式：
a
n<
/p>
＝
________.
，
q
＝
1
，
(2)
前
n
项和公式：
S
n
＝
a
1
1
－
q
n
1
－
q
＝
a
< br>1
－
a
n
q
1
－
q
，
q
≠1.
,
答案：
(
1)
a
1
q
n
－
1
(2)
na
1
[
典题
1]
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项
和为
S
n
，在数列
{
b
n
}
中，
b
1
＝
a
1
，
b
n
＝
a
n
－
a
n
－
1
(
n
≥2)
，且
a
n
＋
S
n
＝
n
.
(1)
设
c
n
＝
a
n
－
1
，求证：
{
c
n
}
是等比数列；
(2)
求数列
{
b
n
}
的通项公式．
|
[
点石成金
]
等比数列的四种常用判定方法
/
(1)
定
义法：
若
a
n
＋
1
a
n
a<
/p>
n
＝
q
(
q
为非零常数，
n
∈
N
*
)
或
a
n
＝
q
(
q
为非零常数且
n<
/p>
≥2
，
n
∈
N
*
－
1
)
，
则数列
{
a
n
}
是等比数列．<
/p>
(2)
中项公式法：若数列
{
a
n
}
中，
a
n
≠0
且
a
2
n
＋
1
＝
a
n
·
a
n
＋<
/p>
2
(
n
∈
N
*
)
，则数列
{
a
n
}
是等比数列．
(3)
通项公式法：
若数列通项公式可写成
a
n
＝
c
·
q<
/p>
n
－
1
(
c
，
q
均是不为
0
的常数，
n
∈<
/p>
N
*
)
，
则数列
{
a
n
}
是等比数列．
(
4)
前
n
项和公式法：若数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
＝
k
·
< br>q
n
－
k
(
k
为常数且
k
≠0
，
q
≠0,1)
，则数列
{
a
n
}
是
等比数列．
[
提醒
]
<
/p>
(1)
前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两
种方法常用于选择题、
填空题中的判定．
(2)
若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可
.
练习一：
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和
为
S
n
，已知
a
1
＝
1
，<
/p>
S
n
＋
1
＝
4
a
n
＋
2.
@
(1)
设
b
n
＝
a
n
＋
1
－
2
a
n
，求证：数列<
/p>
{
b
n
}
是等比数列；
(2)
求数列
{
a
n
}
的通项公式．
)
考点
2
等比数列的基本运算
1.
练习二：
(1)[
< br>教材习题改编
]
已知等比数列
{
a
n
}
中，<
/p>
a
3
＝
3
，
a
10
＝
384
，则该数列的通项公式
a
n
＝
________.
%
C
．
4
D
．
5
角度二
求通项或特定项
(2)[
教材习题改编
]
设等比数列
{
a
，若
S
6
1
S
9
n
}
的前
n
项和为
S
n
S
3
＝
< br>2
，则
S
3
＝
________.
>
2.
易错问题：
等比数列的两个非零量：项；公比．
(1)
等比数列
x,
3
x
＋
3,6
x
＋
6
，
…
的第
4
项等于
________<
/p>
．
(2)
等比数列
{
a
n
}
的前
n<
/p>
项和为
S
n
，若
S
3
＋
3
S
2
＝
0
，则公比
q
＝
____
______.
】
3.
常考题型：
[
考情聚焦
]
等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，
难度适中，属中低档题．
主要有以下几个命题角度：
角度一
求首项
a
1
，公比
q
或项数
n
[
典题
2]
[2017·
浙江绍兴柯桥区高三二模
]
已知等比数列
{
a
< br>n
}
的前
n
项和为
S
n
，
满足
a
5
＝
2
S
4
＋
3
，
a
6
＝
2
S
5
＋
3
，则此数列的公比为
(
)
A
．
2
B
．
3
[
典题
3]
[2017·
广西南宁测试
]
在各项均为正数的等比数列
{
a
n
}
中，
a
< br>1
＝
2
，且
2
a
1
，
a
3,
3
a
2
成等
差数列，则
a
n
＝
________.
~
角度三
求前
n
项和
[
典题
4]
(1)
已知正项数列
{
a
n
}
为等比数列，且
5
a
2
是
a
4
与
3
a
3
的等差中项，若
a
2
＝
2
，则该数
列的前
5
项的和为
(
)
B
．
31
D
．以上都不正确
）
(2)
设等比数列
{
a
S
6
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
27
a
3
－
a
6<
/p>
＝
0
，则
S
3
＝
________.
< br>
[
点石成金
]
解决与等比数列有关问题的常用思想方法
—
(1)
方
程的思想：等比数列中有五个量
a
1
，
n
，
q
，
a
n
，
S
n
，一般可以
“
知三求
二
”
，通过列方程
(
< br>组
)
求关键量
a
1
和
q
，问题可迎刃而解．<
/p>