等比数列知识点总结与典型例题+答案
-
等比数列知识点总结与典型例题
1
、等比数列的定义
:
a
n
a
n
1
2,
且
n
N
*
，
q
称为公比
2
、通项公式
:
a
n
ag
n 1
a
i
B
n
a
i
0,A B
< br>0
，首项：
a
1
;
公比：
q
推广：
a
n
a
m
q
a
n
a
m
a
n
m
—
a
m
3
、等比中项：
（
1
）如果
a, A, b
成等比数
A ab <
/p>
那么
A
叫做
a<
/p>
与
b
的等差中项，即
:
A
2
ab
或
注意：同号的两个数才有等比
中
（
2
）数列
a
n
是等比数列
并且它们的等比中项有两个（
a
a
a
2
n
n 1
4
、等比数列的前
n
项和
S
n
公式
:
(1
)
当
q 1
时，
S
n
na
i
n
⑵当
q
1
时
，
5
罟
q
q
A'B
n
A'
(
A,
B,A',B'
为常数
)
5
、等比数列的判定方法
:
(1
)
用定义：对任意的
都有
a
n 1
qa
n
或
旦口
q
（
q
为
常数，
a
n
0
）
a
n
{a
n
}
为
等比数列
等比中项：
a
n
2
a
n
1
a
n 1
(a
n
1
a
n 1
0)
< br>{a
n
}
为等比数列
通项公式：
a
n
A B
n
A B 0
{a
n
< br>}
为等比数列
6
、等比数列的证明方法
:
依据定义：若
-
^
q q 0 n 2,
且
n
N
*
或
i
qa
“
｛
a
“
｝
为等比数列
n 1
a
a
7
、等比数列的性质：
(2)
对任何
m,n N
< br>*
，在等比数列
｛
a
n
｝
中，有
a
.
a
m
q
n
m
。
(3)
N
*
)
，则
a
.
a
m
a
s
a
t
。特别的，当
2
若
m n s t(m,n,s,t
m n 2k
时，得
a
a
a
a
< br>
a
n
a
m
a
k
注：
3]
n
2
n 1
3
n 2
a
等差和等比数列比较
:
等差数列
定义
递推公
a
n
a
n
1
d
a
n
1
a
n
d
等比数列
a
n1
q(q 0) a
n
；
a
n
a
m n
md
a
n
a
n 1
q
；
a
n
n m
a
m
q
式
通项公
a
n
a
1
(n
1)d
a
n
a
1
q
n
1
(
a
1
,q 0
)
式
中项
前
n
项
和
重要
性质
A
a
nk
2
a<
/p>
nk
(
n,k
N
*
,n k 0
)
G v'a
n
k
a
n k
(a
n
k
a
n k
0)
(
n, k N , n k 0
)
n
S
n
2
(a
1
a
n
)
S
n
na
“
n(n
1)
d
a
m
n a
1
(
q
1)
S
n
2
a
n
a
1
1
q
n
a
1
a
n
q
:
1 (q 2)
1
q
1
q
a
m
a
n
a
p
a
q
a
p
a
q
(m,
n, p,q N
*
,m n p
q)
(m, n,p,q
N
*
, m n p q)
经典例题透析
类型一：等比数列的通项公式
例
1
．等比数列
a
n
中，
a
1
a
9
64
,
a
3
a
7
20
,
求
a
11
.
{
}
思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于
a
1
和
q
的二
元方
程组，
解出
a
i
和
q
，可得
an
；或注意到下标
1 9 3
7
，可以利用性质可
求出
a
3
、
a
y
，
再求
a
< br>ii
.
总结升华：
①
列方程（组）求解是等比数列的基
本方法，同时利用性质可以减少计
算量；
②
解题过程中具体求解时，要设法降
次消元，常常整体代入以达降次目
故较多变形要用除法（除式不为零）
.
举一反三：
【变式
1
]
{an}
为等比数列，
a
仁
3
，
a9=768
,<
/p>
求
a6
。
【变式
2
]
{an}
为等比数列，
an
>
0
,
且
a1a89=1
6
,
求
a44a45a46
的值。
【变式
3
]
已知等比数列
{
a
n
}
，若
a
1
a
2
a
3
7
,
a^a
s
8
，求
a
n
。
的，
类型二：等比数列的前
n
项和公式
例
2
.
设等比数列｛
< br>an
｝的前
n
项和为
Sn
,
若
S3+S6=2
S9
求数列的公比
q.
举一反三
:
【变式
< br>求等比数列
1,
鳥丄的前
6
项和
【变式
2<
/p>
】
已知：｛
a
n
｝为等比数列，
a1a2a3=27
,
S3=13
,
求
S5.
【变式
3
]
在
等比数列
｛
a
n
｝
中，
a
1
a
n
66
,
a
2
a
n 1
128
,
S
n
126
，求
类型三：等比数列的性质
例
3.
等比数列
｛<
/p>
a
.
｝
中，若<
/p>
a
s
a
6 <
/p>
9
,
求
Iog<
/p>
3
a
1
Iog
3
a
?
…
Iog
3
昕
.
举一反三：
【变式
1
］正项等
比数列
｛
a
n
｝
中，若
al
•
a100=100;
则
+
lga100= ____________ .
【变式
2
］在
8
和
27
之间插入三个数，使这五个数成等比数
列，则插入
3
2
_________
。
n
禾口
q
。
Iga1+lga2+ .......
的三个数的乘积为
类型四：等比数列前
n
项和公式的性质
< br>例
4
.
在等比数列
｛
a
n
｝
< br>中，已知
S
n
48
,
S
2n
60
,
求
S
a
n
。
思路点拨：等差数列中也有类似
的题目我们仍然采用等差数列的解决
办法，即等比数列中前
k
项和，第
2
个
k
项和，第
3
个
k
项和，
.......
，第
n
个<
/p>
k
项和仍然成等比数列。
举一反三
:
【变式
1
］等比数列
｛
a
n
｝
中，公比
q=2,
S4=1,
则
S8= ___________
【变式
2
］已知等比数列
｛
a
n
｝
的前
n
项和为
Sn,
且
S10=10, S20=40,
求
:
S30=
?
【变式
3
］等比数列
｛
a
n
｝
的项都是正数，若
Sn=80, S2n=6560
，前<
/p>
n
项中
最大的一项为
54
，求
n.
【
变
式
4
】
等
比
数
列
{a
n
}
中
，
若
a1+a2=324,
a3+a4=36,
则
a5+a6=
__________________ .
【变式
5
】等比数列
{a
n
}
中，若
a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,
求
a7+a8+a9
的
值。
类型五：等差等比数列的综合应用
例
5
．已知
三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去
32
，则成等
差数列
.
若再将此等差数列的第二项减去
4
，则又成等比数列
.
求原来的三个
数
.
思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提
.
考虑到有三个数，
应尽量
设
较
少的未知数，并将其设为整式形式
总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地
，三数成等差数
列，
可设此三数为
a-d, a,
a+d
;
若三数成等比数列，可设此三数为
-
，
x,
y
xy
。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项
简便。
举一反三：
a
，公比
q
来解决问题反而
【变式
1
】一个等比数列有三项，如果把第二项
加上
项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上
三项又成为等比数列，求原来的等比数列
.
4
,
那么所得的三
32
,
那么所得的
【变式
2
】已知三个数成等比数列，它们的积为
27
,
它们的平方和为
91
,
求这三个数。
【变式
3
】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，
并且第一个数与第四个数的和是
16
，第二个数与第三个数的和为
12
，求这
四个
数
.
类型六：等比数列的判断与证
明
例
6
.<
/p>
已知数列｛
an
｝的前
< br>n
项和
Sn
满足：
log5(Sn+1)=n(n
€
N+),
求出数
列
｛
an
｝
的通项公式，并判断
｛
an
｝
是何种数列？
思路点拨：由数列｛<
/p>
an
｝的前
n
项
和
Sn
可求数列的通项公式，通过通项公
式判断
｛
an
｝
类型
.
举一反三：
【变式
< br>1
】已知数列｛
Cn
｝，其中<
/p>
Cn=2
n+3r
，且数列｛
Cn+1-pC
n
｝为等
比数
列，求常数
p
。
【答案】
p=2
或
p=3
；
【
证明】设数列｛
an
｝、｛
bn
｝的公比分别为
p,
q
，且
p
H
q
【变式
3
】判断正误：
(1)
｛
an
｝
为等比数列
a7=a3a4
；
⑵
若
b2=
ac
,
则
a
,
b
,
c
为等
比数列
;
⑶
｛
an
｝
,
｛
bn
｝均为等比数列，贝
U
｛
anbn
｝为等比数列；
< br>
(4)
｛
an
｝是公比为
q
的等比数列，贝
U
｛
a
2
｝
、丄
仍为等比数列
;
a
n
(5)
若
a
,
b
,
c
成等比，贝
U logma
,
logmb
,
logmc
成等差
.
类型七：
< br>Sn
与
an
的关系
例
7
.
< br>已知正项数列｛
an
｝，其前
n
项和
Sn
满足
io& a
2
5
务
< br>6
，且
a1
,
a3
,
a15
成等比数列，求数列｛
an
｝的通项
an.
总结升华：
等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是
a
n
ai
S
(n
n
1
1
(n
2
)
，尤其注意首项与其他各项的关系
.
举一反三：
【变式】命题
1
:
若数列｛
an
｝的前
n
项和<
/p>
Sn=an+b(a
工
1)
，则数列｛
an
｝
是等比数列；命题
2
：若数列｛
an
｝的前
n
项和
Sn=na-n
,
则数列｛
an
｝既是等
差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为
个
.
经典例题透析
类型一：等比数列的通项公式
例
1
.<
/p>
等比数列
｛
a
n
｝
中，
a
1<
/p>
a
9
64
,
a
3
a
7
20
,
求
a
11
.
思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于
a
a
i
和
q
的二
元方程组
，解出
a
1
和
q
，可得
an
；或注意到下标
1
求出
3
、
7
，可以利用性质可<
/p>
a
7
，再求<
/p>
a
11
.
解析
:
8
法一：设此数列公比为
q
，则
a
?
q
a
2
3
a
7
a
〔
q
由
(2)
得
：
aq
2
(1 q
4
)
20
・
..
•…•…
(3)
a
1
0
.
由
(1)
得：
(ag
4
)
2
64 :
.
4
1 •
小
•…
(4
(3)
一⑷得：
1
q
4
:
20
•
a
1
q
8
..
)
2
5
q
8
2
4
2
…
2
2q 5q 2
0
,
解得
q
2
或
q
2
1
2
当
q
2
2
时，
a
1
2
,
an
a
10
1
q
64
小
,
当
q
2
1
时，
a
1
32
,
a
11
a
1
q 1
10
d
■
法二：
I
a
1
a
9
a
3
a
7
64
,
又
a
3
a
7
20
,
…<
/p>
a
3
a
7
为方程
x
2
20x 64 0
的两实数根，
、
16
或
a
3
4
・
a
3
4
a
7
16
・
玄
3
a
〔
i
2
a
2
a
7
,
・・
a
〔
i
—
1
或
a
11
64
.
a
3
总结升华
:
①列方程
(
组
)
求解是等比数列的基本
方法，
算量
;
②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，
的，故较多变形要用除法
(
除式不为零
)
64
(1)
a
6
i
q
20
⑵
同时利用性质可以减少计
常
常整体代入以达降次目
举一反三
:
【变式
< br>1
】｛
an
｝为等比数列，
a1= 3
,
a9=768
,
求
a6
【答案】±
96
法一：设公比为
q
,
则
768=a1q8,
q8=256
,
：
q=
±
2
,
二
a6=±
96
;
法二：
a52=a1a9
a5=
±
48 q=
±
2
,
：
a6=±
9 6
。
【变式
2
】｛
an
｝为等比
数列，
an
>
0
，且
a1a89=16
,
求
a44a45a46
的值。
【答案】
64
;
2
. i /
•
3^
89
a
45
16
，又
an
>
0 ,• •
a45=4
…
8
-
3
44
45
46
8
8
a
45
64
o
a
2
a
3
7
,
a£
2
a
3
8
，求
a
.
。
-.
【变式
3
】已知等比数列
｛
a
n
｝
，若
a
i
【答案】
a
n
2
n
1
或
a
n
2
2
.
a
〔
a
3
a
2 ,
・・
a
〔
a
?
a
3
从而
当
a
1
故
a
n
a
i
&
1
&
3
4
5
,
解之
得
a
1
1
,
a
s
4
或
a
1
4
,
a
3
1
1
时，
q 2
;
当
a
1
4
时，
q
2
n1
或
a
n
2
3n
o
a
2
a
i
q
,
3
a
法二
:
由等比数列的定义知
2
代入已知得
a
〔
a
〔
q
qq
2
c
a
1
qq a
〔
q
8
2
a
1
(
1 q
q )
a
；
q
8
3
7,
日
(1
qq
q
2
)
7,(1)
⑵
5q 2
将
a
1
代入（
1
）
2
q
得
2q
2