人教版高二数学必修五等差数列与等比数列
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专题三
等差数列与等比数列
一、等差数列的判定与性质
【知识要点】
1.
等差数列的判定（常用）
：
(1)
定义法：
a
n
1
a
n
d
（常数）
a
n
是等差数列；
(2)
等差中项法：
a
n
1
<
/p>
a
n
a
n
2
(
n
N
)
a
n
是等差数列；
2
2.
等差数列的性质（常用）
：
由等差数列
< br>a
n
的通项公式
a
n
a
< br>1
(
n
1
)
d
可
以推出许多性质
,
如
:
(1)
a
n
a
m
<
/p>
(
n
m
)
d
(
m
,
n
N
)
(2)
若
p
q
< br>r
s
,
则
a
p
a
q
a
r
a
s
,
特别地
,
2
a
n
a
n
k
a
< br>n
k
【基础训练】
1.
若
<
/p>
a
n
是等差数
列，且
a
2
3
,
a
4
<
/p>
5
，则
a
6
。
2.
<
/p>
等差数列
a
n
中
,
d
3
57
,
a
28
,
则
a
9
.
4
4
2
3.
等
差
数
列
a<
/p>
n
中
,
a
5
,
a
8
是
方
程
x
3
x
5
0
的
两
根
,
则<
/p>
该
数
列
前
12
项
的
和
S
12
。
4.
<
/p>
若
a
n
,
b
n
都
是
等
差
数
列
,
且
a
1
25
,
b
1
75
,
a<
/p>
2
b
2
100
,
则
a
250
b
250
。
5.
<
/p>
已知项数为偶数的等差数列
a
n
中
,
奇数项的和为
24,
偶数项的和为
30,
公差
d
那么该数列的项数是
.
6.
已
知<
/p>
等
差
数
列
a
n
中
,
a
1
a
2
a
3
12
,
a
4
a
5
a
6
18
,
则
a
13
a
14
a
15
= .
【典例精析】
例
1
．
【判定】已知数列
a
n
满足
a
1
4
,
a
n
4
1
，
4
4
a
n
<
/p>
1
(
n
2
),
若
b
n
1
,
a
n
< br>2
(1)
求证
:
b
n
是等差数列
; (2)
求数列
a
n
的通项公式
.
例
2
．
【性质】已知等差数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，且
S
4
2
，
S
8<
/p>
6
。
(1)
求数列的公差
d
；
(2)
求
a
13
<
/p>
a
14
a
15
a
16
。
例
3
．
【
性
质
与
判
定
】
已
知
等
差
< br>数
列
a
n
中
,
公
差
d
0<
/p>
,
a
n
0
,
a
k
x
2
2
a
k
1
x
a
k
2
0
(<
/p>
k
,
n
N
)
.
(1)
求证
:
当
k
取不同的正整数时方程有公根
;
(2)
若方程不同的根为依次为
x
1
,
x
2
,
,
x
n
,
求证
:
列
.
1
1
1
,
,
,
是等差数
x
1
1
x
2
1
x
n
1
二、等比数列的判定与性质
【知识要点】
1.
等比数列的判定方法
(
常用
):
(1)<
/p>
定义法：
a
n
1
q
(
常数
)
(
n
N
*
)
a
n
是等比数列
;
a
n
2
*
(2)
等比中项法：
a
n
<
/p>
1
a
n
a
n
2
(
n
N
)
a
n
是等比数列
;
2.
等比数列的性质（常用）
:
由通项公
a
n
a
1
q
n
1
可以推导出许多性质
,