5.1 5.2两点边值问题
-
第一章，边值问题的变分形式
1.1
二次函数的极值
定理
1.1
设矩阵
< br>A
对称正定，则下列两个问题等价：
（
1
）求
x
0
R
使
n
J
(
x
0
)
min
J
(
x
)
x
R
n
其中
J
(
x
)
1
(
Ax
,
x
)
(
b
,
x
).
< br>
2
（
2
）求下列方程组的解：
Ax
b
1.2
两点边值问题
1.
弦的平衡
用
u
u
(
x
)
表示在荷载
force
f
(
x
)
作用下弦的平衡位置。
Balance
position of string
根据
力的平衡条件，<
/p>
u
u
(
x
)
满足微分方程
Tu
f
(
x
),
其边值条件为
u
(0)
0,
其中
T
为弦的张力。
tension
''
0
x
l
（
2
）
u
(
l
)
0,
（
4
）
另一方面，由力学的“极小位能原理”
，弦的平衡位置
u
*
u
*
(
x
< br>)
是在满足（
4
）的一切
可能位置中，使位置能量取得最小者。应变能为
strain
1
W
内
T
(
u
'
)
2
dx
;
2
0
外力
f
(
< br>x
)
所做的功为
work
l
l
W
外
f
udx
,
0
从而总位能为
J
(
u
)
W
内
W
外
1
[
Tu
'2
2
uf
]
dx
;
2
0
1
根据极小位能原理，
u
*
u
*
(
x
)
是下列变分问题的解：
J
(
u
*
)
min
J
(
u
)
2.
极小位能原理
principle of minimum
potential energy
变分
Variation
问题精确地
叙述为：求
u
*
H
0
使
1
J
(
u
*<
/p>
)
min
J<
/p>
(
u
)
1
u
H
0
引进微分算子
d
2
u
Lu
T
2
dx
则
l<
/p>
l
1
1
d
2
u
1
du
W
内
(
Lu
,
u
)
(
T
2
)
udx
T
(
)
2
dx
2
2
0
dx
2
0
dx
l
W
外
(
f
,
u
)
fudx
0
于是
1<
/p>
J
(
u
)
(
Lu
,
u
)
(
f
,
u
)
< br>
2
例如，对于两点边值问题：
Lu
d<
/p>
du
(
p
)
qu
f
,
x
(
a
,
b
),
（
10.1
）
dx
dx
u
'
(
b
)
0
（
10.2
）
u
(
a
)
0,
1
0
其中
p
C
(
I
)
，
p
(
x
)
< br>
min
p
(
< br>x
)
p
min
0
，
q
C
(
I
)
，
q
0
，
f
H
(
I
)
。类似地，
构造泛函
1<
/p>
1
d
du
1
J
(
u
)
(
Lu
,
u
)
(
f
,
u
)
(
p
)
udx
qu
2
dx
fudx
2
2
a
dx
dx
2
a
a
利
用分部积分
integration by parts
，并由
（
10.2
）
，得到
< br>
b
b
b
d
du
du
du
2
du
2
(
p
)
u
dx
p
u
|
b
p
(
)
dx
p
(
)
dx
a
dx
dx
dx
dx
dx
a
a
a
令
b
b
b
b
a
(
u
,
v
)
[
p
a<
/p>
du
dv
qu
v
]
dx
（
12
）
dx
dx
得到
1
J
(
u
)
a
(
u
,
u
)
(
f
,
< br>u
)
2
问题（
10
）的变分问题：求
u
*
H
E
使
1
J
(
u
*
)
< br>
min
J
(
< br>u
)
。
1
u
H
E
可以验证（
12
）定义的
a
(
u
,
< br>v
)
具有两个性质：
bilin
ear form
（
1
）对称性：<
/p>
a
(
u
,
v
)
a
(
v
,
u
)
symmetry <
/p>
（
2
）正定性：
a
(
u
,
v<
/p>
)
u
1
positive definite
对任意
u
H
E
令
2
1
(
)
J
(
< br>u
*
v
)
1
a
(
u
*
v
,
u
*
v
)
(
f
< br>，
u
*
v
)
2
1
2
=
a
(
u
*
,
u
*
)
[
a
(
< br>u
*
,
v
)
a
(
v
,
u
*
)]<
/p>
a
(
u
*
,
v
)
(
f
,
u
*
)
(
f
,
v
)
2
2
2<
/p>
从而
u
a
[
u
(
(
)
J
(
*
)
*
v
,
< br>)
f
(
v
,
)
]
2
2
2
a
,
)
（
14
）
*
u
(
v
变分原理：设
f
C
(
I
)
，<
/p>
u
*
C
是边值问题（
10
）的解，则
u
*
使
J
(
u
)
达到极小值；
2
1
反之，若
u
*
C
H
E
使
J
(
u
)
达到极小值，则
u
*
是边值问题（
10<
/p>
）的解。
2
1
证明：注意当
u
*
C
H
E
时，
a
(
u
*
,
v
)
(
f
,
v
)
b
[
p
< br>a
du
*
dv
< br>
qu
*
v
fv
]
dx
dx
dx
b
（
16
）
<
/p>
du
*
b
du<
/p>
*
d
p
v
a
[
(
p
)
qu
*
< br>
f
]
vdx
< br>dx
dx
dx
a
b
'
[
Lu
*
f
]
vdx
p
(
b
)
u
*
(
b
)
v
(
b
)
a
'
如果
u
*
是边值问题（
10
）的
解，则
Lu
*
f
0,
u
*
(
b
)
<
/p>
0
，从而
'
1
(0)
a
(
u
*
,
v
)
(
f
,
v
)
< br>0
，
对任意
v
H
E
由（
14
）
，有
J
(
u
*
v
)
J
(
u
*
)
2
2
a
(
v
,
v<
/p>
)
J
(
u
*
)
这说明
u
*
使
J
(
u
)
达到极小值。
反之，若
u<
/p>
*
使
J
(
u
)
达到极小值，则由（
14
）及（
16
）
，得
b
(0)
a
(
u
*
,
v
)
(
f
,
v
)
< br>[
Lu
*
f
]
vdx
p
(
b
)
u
*
'
(
b<
/p>
)
v
(
b
)
0,
对任意
v
H
1
E
（
18
）
'
a
取
v
C
0
(
I
)
，则
b
v
C
(
I
)
，
对任意
[
Lu
<
/p>
f
]
vdx
<
/p>
0
0
*
a
根据变分法基本原理，
u
< br>*
满足方程
Lu<
/p>
*
f
0
，
所以，
（
18
）化为
'
1
p
(
b
)
u
*
(
b
)
v
(
b
)
< br>
0
对任意
v
H
E
注意
p
(
b
)
0
，取
v
(
x
)
x
< br>
a
，则
v
H
E
，且
v
(
b
)
0
，从而
u
*
必须满足右边边值条件
'
u
*
(
b
)
0
1
3.
虚功原理
principle
of
virtual work
以
v
乘以方程（
10.1
）的两端，再积分，得到
b
b
[
Lu
f
]
vdx
a
a
[
d
du
（
20
）
<
/p>
p
(
v
)
quv
fv
dx
]
0
dx
dx
利用分部积分，得到
d
du
du
du
dv
du
dv
(
p
)
vdx
p
v
|
b
p
dx
p
dx
a
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
a
a
a
代到（
20
）
，得到
b
b
b
b
[
p
a
du
dv
quv
fv
]<
/p>
dx
0
dx
dx
即
a
(
u
,
v
)
(
f
,
v
)
< br>
0
（
22
）
<
/p>
这是方程（
10
）的变分形式。
2
1
1
对
u
*
< br>C
H
E
，
v
H
E
，由（
16
）
，得到
b
a
(
u
,
v
)
(
f
,
v
)
< br>a
[
L
u
f
]
v
d
x
1
'
(
p
)
b
u
(
)
b
(
v
)
< br>b
1
1
u
满足
u
H
E
假如
u
是边值问题
< br>（
10
）
的解，
则对任意
v
H
E
，
（
22
）
；
反之，
若对任意
v
H
E
，
满足（
22
）
，则可按前边变分原理的证明，推出
u
是边值问题
（
10
）的解。
定理
设<
/p>
u
C
是边值问
题（
10
）的解的充要条件是：
u
H
E
且满足变分
方程
2
1
a
(
u
,
v
)
(
f
,
v
)
0
。
5.3
二阶椭圆边值问题
1.
变分原理
考虑
Poisson
方程的第一边值问题：
u
2
u
2
u
x
2
y
2
f
(
x
,
y
),(
x
,
y
)
G<
/p>
,
u
|
0
作泛函
functional
J
(
u
)
1
2
(
u
,
u
)
(
f
,
u
)
1
2
(
u
)
udxdy
f
udxdy
< br>G
G
利用
Green
公式，我们得到
u<
/p>
)
vdxdy
G
(
(<
/p>
u
v
u
G
x
x
v
y
y
)
dxdy
< br>
u
vds
n
若
u
,
v
满足边值条件，则
(
<
/p>
u
)
vdxdy
G
(<
/p>
u
v
u
G
x
x
v
y
y
)
dxdy
< br>
定义双线性形式
a
(
u
,
v
)
(
u
v
u
G
< br>
x
x
v
y
y
)
dxdy
则
J
(
u
)
1
2
a
(
u
,
u
< br>)
(
f
,
u
)
变
分问题：求
u
1
*
H
0
(
G
)
，使
J
(
u
*
)
min
J
(
u
)
u
H
1
0
(
< br>G
)
双线性形式
a
(
u
,
v
< br>)
具有如下性质：
（
1
）
（
1
）
对称性：
a
(
u
,
v
)<
/p>
a
(
v
,
u
)
symmetry
（
2
）
正定性：对
u
H
0
(
G
)
有
1
a
(
u
,
v
)
u
< br>1
对
u
*
,
u
H
0
(
G
)
，令
1
2
u
)
(
)
J
(
*
u
易算出
(
)
J
(
u
*
)
< br>[
a
(
u
*
,
u
)
(
f
,
u
)]
2
1
进一步，假设
u
*
C
(
G
)
H
0
(
G
)
，则
2
2
a
(
u
,
u
)
a
(
u
*
,
u
)
(
f
,
u
)
< br>
(
u
*
,
f
,
u
)
若<
/p>
u
是问题（
1
）
的解，则
1
'
(0)
a
(
u
*
,
u
)
(
f
,
u
)
(
u
*
f
,
u
)
0
，
对任意
u
H
0
(
G
)
从而
J
(
u
*
u
)
J
(
u
*
< br>)
2
2
1
(
G
)
a
(
u
,
u
)
J
(
u
*
)
，
对任意
u
H
0
即
u
*
使
J
(
u
)
达到极小。总结成下面的极小位能原理。<
/p>
2
定理
1
设
u
*
C
(
G
)
是边值问题（
1
）的解，则
u
*
使
J
(
u
)
达到极小值；反之，若
1
u
*
C
2
(
G
< br>)
H
0
(
G
)
使
J
(
u
)
达到极
小值，则
u
*
是边值问题（
1
）的解。
2.
虚功原理
principle of virtual
work
考虑混合边值问题。在
1
上满足
u
|
1
0
在
2
上满足
u
u
|
2
0,
n
0
以
v
乘（
1.1
）两端
multipl
y by
，得到
G
< br>
[(
u
< br>)
v
fv
]
dxdy
0
< br>
（
6
）
利用边值条件，得到
u
v
u
v
u
< br>u
v
u
v
(
u
)
v
d
x<
/p>
d
y
(
)
d
x
d
y
v
d
s
(
)
d
x
d
y
<
/p>
x
x
y
y
n
x
x
y
y
G
G
<
/p>
G
2
定义双线
性形式：
a
u
v
d
s
a
(
u
,
v
)
(
G
u
v
u
v
< br>
)
dxdy
auvds
x
x
y
y
2
则（
6
）可写成
a
(
u
,
v
)
(
f
,
v
)
< br>0
。
定理
2
设
u
C
(
G
)
是上述边值问题的解的充要条件是：
u<
/p>
H
E
且满足变
分方程
1
a
(
u
,
v
)<
/p>
(
f
,
v
)
0
。
对任意
v
H
E
2
1
5.3 Ritz-
Galerkin
方法
思想：有穷空间维近似代替无穷维空间。
变分原理：求
u
*
U
，使
J
(
u
*
)
min
J
(
u
)
（
8
）
u
U
其中
U
为某类内积空间。
虚功原理：
u
U
满足变分方程
a
(
u
,
v
)
(
f
,<
/p>
v
)
0
。
对任意
v
U
（
9
）
这和
Ritz
法导出的方程组（
14
）一致，因此，习惯上称之为
Ritz-
Galerkin
方法。
Galer
kin
法还可进一步推广。
在
U
中取两个子空间
U
n
和
V
n
，
其基
底分别为
1
,
2
,
及
1
,
2
,
,
n
,
n
，在
U
n
中求形如
u
n
c
i
i
1
n
i