人教A版必修二 两条直线平行与垂直的判定 学案
-
两条直线平行与垂直的判定
学
习
目
标
1.
理解并掌握两条直线平行的条件及两条
直线垂直的条件；
2.
能根据已知条件判断两直线的
平行与垂直；
3.
能应用两条直线平行或垂
直进行实际应用．
知识点一
两条直线平行的判定
思考
1
如图，设对于两条不重合的直
线
l
1
与
l<
/p>
2
，其倾斜角分别为
α
< br>1
与
α
2
，斜率分别为
k
1
与
k
2
，若
l
< br>1
∥
l
2
，
α
1
与
α
2
之间有什么关系？
k
1
与
k
2
之间有什么关系？
答案
α
1<
/p>
与
α
2
之间的关
系为
α
1
＝
α
2
；对于
k
1
与
k
2
之间的
关系，当
α
1
＝
α
2
≠
90
°时，
k
1
＝
k
2
，因为
α
1
＝
α
2
，所
以
tan
α
1
＝
tan
α
2
，即
k<
/p>
1
＝
k
2
.
当
α
1
＝
α
2
＝
90
°时，
k
1
与
k
2
不存在．
思考
2
对于两条不重
合的直线
l
1
与
l
2
，若
k
1
＝
k
2
，是
否一定有
l
1
∥
l
2
？为什么？
答案
一定有
l
1
∥
l
2<
/p>
.
因为
k
1
＝
k
2
⇒
tan
α
1
＝
tan
α
2
⇒
α
1
＝
α
2
⇒
l
1
∥
l
2
.
类型
前提条件
对应关系
斜率存在
斜率不存在
α
1
＝
α
2
≠
90
°
l<
/p>
1
∥
l
2
⇔
k
1
＝
k
2
α
1
＝
α
2
＝
90
°
l
1
∥
l
2
⇐
两直线斜率都不存在
图示
知识点二
两条直线垂直的判定
思考
1
如图，设直线
l
1
与
l
2
的倾斜角分别为
α
1
与
α
2
，斜率分别为
k
1
与
k
2
，且
α
1
<
α
2
，若
l
1
⊥
l
< br>2
，
α
1
与
α
2
之间有什么关系？为什么？<
/p>
答案
α
2
＝
90
°＋
α
1
，因为三角
形任意一外角等于与它不相邻两内角之和．
1
思考
2
已
知
tan(90
°＋
α
)
＝－
，据此，如何推出思考
1
中两直线的斜率
k
1
、
k
2
之间
< br>tan
α
的关系？
1
答案
因为
α
2
＝
90<
/p>
°＋
α
1
，所以
tan
α
2
＝
tan(90
°＋
α
1
)
，由于
tan(90
°＋
α
)
＝－
，
tan
α
1
tan
α
2
＝－
，
tan
α
1
即
tan
α
2
tan
α
1
＝－
1
，
所以
k
1
·
k
2
＝－
1.
思考
3
如果两直线的斜率存在且满足
k
1
·
k
2
＝－
1
，是否一
定有
l
1
⊥
l
2
？如果
l
1
⊥
l
2
，一定
有
k
1
·
k
2
＝－
1
吗？为什么？
答案
当
k
1
·
k
2
＝－
1
时，一定有
l
1
⊥<
/p>
l
2
.
不妨设<
/p>
k
2
<0
，即<
/p>
α
2
为钝角，因为
k
1
·
k
2
＝－
1
，
1<
/p>
则有
tan
α
2
tan
α
1
＝－
1
，
所以
tan
α
2
＝－
＝
tan(90
°＋
α
1
)
，则
α
2
＝
90
°＋
α
1
，
tan
α
1
所以
l
1
⊥
l
2
.
当
< br>l
1
⊥
l
2
时，不一定有
k
1
·
k
2
＝－
< br>1
，因为如果直线
l
1
和
l
2
分别平行于
x
轴、
y
轴，则<
/p>
k
2
不
存在，所
以
k
1
·
k<
/p>
2
＝－
1
不成立
.
图示
对应
关系
l
1
⊥
l
2
(
两直线斜率
都存在
)
⇔
k
1
·
k
2
＝－
1
l
1
的斜率不存在，
l
2
的斜率为
0
⇒
l
1
⊥
l
2
类型一
两条直线平行的判定
例
1
下列直线
l
1
与直线
l
2
平行的有
________
．
①
l
1
经过点
A
(2,1)
，
B
(
－
3,5
)
，
l
2
经过
点
C
(3
，－
3)
，
D
(8
，－
7)
；
②
l
1
的斜率为
2
，
l
2
经
过点
A
(1,1)
，
< br>B
(2,2)
；
③
l
1
的倾斜角为
60
°，
l
2
经过点
M
(1
，
3)
，
N
(
－
2
，－
2
3)
；
④
l
1
经过点
E
(
－
3,2)
，
F
(
－
3,10)
，
l
2
经过点
P
(5
，－
2)
，
Q
(5,5)
．
答案
①③④
5
－
1
4
解析
<
/p>
①
k
AB
＝
＝－
，
－
3
－
2
5
－
7
＋
3
4
k
CD
＝
< br>＝－
，∴
k
AB
＝
k
CD
，
< br>
8
－
3
5
∴
l
1
∥
l
2
.
2<
/p>
－
1
②
k
l
2
＝
＝
1
≠
k
l
1
＝
2
，
2
－
1
∴
l
1
不平行
l
2
.
③
k
l
1
＝
tan
60
°＝
3
，
k
l
2
＝
3
＋
2
3
＝
3
，
1
＋
2
∴
< br>k
l
1
＝
k
l
2
，∴
l
1
∥
l
2<
/p>
.
④
l
1
，
l
2
斜率均不存
在且不重合，
∴
l
< br>1
∥
l
2
.
反思与感悟
判断两直线是否平行的方法：
跟踪训练
1
已知
P
(
－
2
，
m
)
，
Q<
/p>
(
m,
4)
，<
/p>
M
(
m
＋
2,3)
，
N
(1,
1)
，若直线
PQ
∥直线
MN
，则
m
的值为
________
．
答案
0
或
1
解析
当
m<
/p>
＝－
2
时，
直线
PQ
的斜率不存在，
而直线
MN
的斜率存在，
MN
与
PQ
不平行，
不合题意；
当
m
＝－
1
时，直线
MN
的斜率不存在
，而直线
PQ
的斜率存在，
MN
与
PQ
不平行，不合
题意；
4
－
m
4
－
m
当<
/p>
m
≠－
2
且
m
≠－
1
时，
k
PQ
＝
＝
，
m
－
－
2
m
＋
2
3
－
1
2
k
MN
＝
＝
，
m
＋
2
－
1
m
＋
1
因为直线
PQ
∥直线
MN
，所以
k
PQ
＝
k
MN
，
即
4
－
m
2
＝<
/p>
，解得
m
＝
0<
/p>
或
m
＝
1. <
/p>
m
＋
2
m
＋
1
综上，
m
的值为
0
或
1.
类型二
两条直线垂直的判定
例
2
(1)
已知两条直线
l
1
，
< br>l
2
的斜率是方程
3
x
2
＋
mx
－
3
＝
0(
m
∈
R
)
的两个根，则
l
1
与
l
2
的
位置关系是
(
)
A
．平行
C
．可能重合
答案
B
解析
由
方程
3
x
2
＋
mx
－
3
＝<
/p>
0
知，
Δ
＝
m
2
－
4
×
3
×
(
－
3)
＝
m
2
＋
36>0
恒成立．
故方程有两相异实根，
即
< br>l
1
与
l
2
的斜率
k
1
，
k
2
存在，
设两根为
x
1
，
x
2
，
则
k
1
k
2
＝<
/p>
x
1
x
2
＝－
1
，
故
l
1
⊥
l
2
，所以选
B.
(2)<
/p>
已知定点
A
(
－
1,3)
，
B
(4,2)
，以
A
，
< br>B
为直径作圆，与
x
轴有交点<
/p>
C
，求交点
C
的
坐标．
解
以线段
AB
为直径的圆与
x
轴交点为
C
.
则
AC
⊥
BC
，设
C
(
x,
0)
，
－
3
－
2
－
3
－
2
则
k
< br>AC
＝
，
k
BC
＝
，所以
·
< br>＝－
1.
x
＋
1
x
－
4
x
＋
1
x
－
4
所以
x
＝
1
或
2
，所以
交点
C
的坐标为
(1,0)
或
(2,0)
．
反思与感悟
使用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(1)
一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相
等，则
进行第二步．
(2)
二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)
求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进
行讨论．
B
．垂直
D
．无法确定
跟踪训练
2
已知直线
l
1
经过点
A
(3
，
a
)
< br>，
B
(
a
－
2
，－
3)
，直线
l
2
经过点
< br>C
(2,3)
，
D
(
－
1
，
< br>a
－
2)
，如果
l
1
⊥
l
2
，则
a
的值为
< br>________
．
答案
5
或－
6
解析
设直线
l
1
，
l
2<
/p>
的斜率分别为
k
1
，
k
2
.
∵直线
l
2
经过点
C
(2,3)
，
D
(
－
1
，
a
－
2)
，且
2
≠－
1
，
∴
l
2
的
斜率存在．
当
k
2
＝
0
时，
a
－
2
＝
3
，则
a
＝
5<
/p>
，此时
k
1
不存
在，符合题意．当
k
2
≠
0
时，即
a
≠
5
，
由
< br>k
1
·
k
2
＝－
1
，得
解得
a
＝－
6.
< br>综上可知，
a
的值为
5
或－
6.
类型三
垂直与平行的综合应用
例
3
已知四边形
ABCD
的顶点
B
(6
，
－
1)
，
C
(5,2)
，
D
(1,2)
．
若四边形
ABCD
为直角梯形，
求
A
点坐标．
解
①若∠
A
＝∠
D
＝
90
°，如图
(1
)
，由已知
AB
∥
DC
，
AD
⊥
AB
，而
k
CD
< br>＝
0
，故
A
(1
，－
1)
．
< br>
－
3
－
a
a
－
2
－
3
·
＝－
1<
/p>
，
a
－
2
－
3
－
1
－
2
②若∠
A
＝∠
B
＝
90
°，如图
(2)
．