习题一 质点运动学(答案)
-
习题一
质点运动学
院
系：
班
级
:_____________
姓
名
:___________
班级个人序号
:______
一
选择题
1
．
某人骑自行车以速率
v
向西行驶，
今有风以相同速率从北偏东
30
°方向吹来，
试问人感到风从哪个方向吹来？
［
C
］
(A)
北偏东
30
°．
(B)
南偏东
30<
/p>
°．
(C)
北偏西
30
°．
(D)
西偏南
30
°．
2.
在相对地面静止的坐标系内，
A
、
B
二船都以
2 m/s
速率匀速行驶，
A
船沿
x
轴正向，
B
船沿
y
轴正向．今在
A
船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系
(
x
、
y
方向
单位矢用
i
、
j
表示
)
，那么在
A
< br>船上的坐标系中，
B
船的速
度（
以
m/s
为单位）为［
B
］
(A) 2
i
＋
2
j
．
(B)
2
i
＋
2
j
．
(C)
－
2
i
－
2
j
．
(D) 2
i
－
2
j
．
3.
水平地面上放一物体
A
，它与地面间的滑动摩
擦系数为
．现加一恒力
F
如图所示．欲使物体
A
有最大加速
度，则恒力
F
与水平方向夹
角
应满足
F
(A) sin
θ
＝
μ
．
(B) cos
θ
＝
μ
．
(C) tg
θ
＝
μ
< br>．
(D) ctg
θ
＝
μ
．
［
C
］
A
4
．
一质点
沿
x
轴运动的规律是
x
t
2
4
t
5
（
SI
制）
。则前三秒内它的
[ D ]
（
A
）位移和路程都是
3m
；
（
C
）位移是
-3m
，路程是
< br>3m
；
解：
dx
dt
（
B
）位
移和路程都是
-3m
；
（
D
）位移
是
-3m
，路程是
5m
。
x
x
t
3
x
t<
/p>
0
2
5
3
2
t
4
，令
< br>dx
dt
0
< br>，得
t
2
。即
t
2
时
x
取极值而返回。所以：
x
|
|
x
x
|
|
1
5
|
|
2
1
|<
/p>
5
S
S
0
2
S
2
3
|
x
0
2
|
|
x
2
<
/p>
3
|
|
x
t
2
t
0
t
3
t
2
5
．
一细直
杆
AB
，竖直靠在墙壁上，
B
端沿水平方向以速度
v
滑离墙壁，则当细杆运动
到图示位置时，细杆中点
C
的速度<
/p>
[ D ]
（
A
）大小为
v
/
2
，方向与
B
端运动方向相同；
（
B
）大小为
v
/
2
，方向与
A
端运动方
向相同；
（
C
）大小为
v
/
2
,
方向沿杆身方向；
（
D
）大小为
v
/(2
cos
)
，方向与水平方向成
角。
解：对
C
点有
位置：
x
C
l
sin
,
速度：
v
C
x
l
cos
y
C
l
cos
d
dt
,
A
C
B
v
；
d
dt
d
< br>dt
2
2
；所以，
v
C
v
< br>Cx
v
Cy
< br>
l
v
C
y
l
sin
d
dt
v
2
cos
.
（
B
点
：
x
B
2<
/p>
l
sin
,<
/p>
v
B
2
l
cos
v
,
d
dt
v
2
l
cos
）
。
二、填空题
1
．一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道
P
点处速度大小
为
v
，其方向与水平方向成
30°角。
则物体在
P
点的切向加速度
y
v
P
30
a
τ
=
，轨道的曲率半径
=
。
答案：
1
2
g
；
2
v
2
。
3
g
a
x
< br>1
解：
a
g
j
a
a
sin
g
sin
30
<
/p>
g
2
v
2
a
a
n
a
n
a
cos
g
cos
30
。又因
a
n
< br>
v
2
，所以
a
n
v
2
g
co
s
30
2
v
2
g
3
2
．
一质点在
xy
平面内运动，其运动学方程为
r
2
t
i
(
2
< br>t
2
)
j
，其中
r
,
t
分别以米和
秒为单位，则从
t
=
1
秒到
t
=
3
秒质点的位移为
；
t
=2
秒时质点的加速
度为
；质点的轨迹方程是
。
<
/p>
2
x
答案：
4
i
8
j
；
2
j
；
y
2
。
4
2
2
<
/p>
d
x
d
y
r
r
(
3
)
r
(1)
4
i
8
j
，
a
解：
<
/p>
i
j
2
j
2
2
dt
dt
x
2
t
,
y
2
t
，消去时间
t
得
y
2
2
x
2
4
。
3.
一质点沿半径为
R
的圆周运动，运动学方程为
s
v
0
t
1
2
bt
，
其中
v
0
,
b
都是常数，
t
时刻，质点的加速度
2
矢量
a
；加速度大小为
b
时，质点沿圆周运行的圈数为
。
< br>2
v
0
(
v
0
bt
)
答案：
。
n
b<
/p>
；
R
4
Rb
2
解：
（
1
）
v
ds
dt
v
0
bt
，
a
< br>
d
s
dt
2
2
b
2
<
/p>
(
v
bt
)
a
a
n
n
a
< br>
0
n
b
R
（
2
）
令
a
(
v
0
bt
)
2
v
0
2
b
b
t
，<
/p>
得
R
b
s
s
(
t
)
s
(0)
v
0
v
0
b
1
2<
/p>
b
(
v
0
b
)
2
2
v
0
2
2
b
，
得
n
s
2
R
<
/p>
v
0
2
4
Rb
4
．火车静止时，侧窗上雨滴轨迹向前倾斜
<
/p>
0
角。火车以某一速度匀速前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜
1
角，
火车加快
以另一速度前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜
2
角，火车加速前后的速度之比为
。
答案：
v
1
v
2
cos
0
tan
1
sin
0
cos
0
tan
2
sin
0
tan
1
tan
0
tan
2
tan
0
v
1
v
1
0
v
0
解：
设
v
0
为火车静止时观察到的雨滴的速度，
已知其倾角为
0
（这也是
雨滴相对地面的速度和倾角）
。
设火车以
v
1
行驶时，雨滴相对火车的速度为
v
，已知其倾角为
1
，根据伽利略变换：
v
<
/p>
v
0
v
1
同理，火车以
v
2
行驶时，雨滴相对火车的速度为<
/p>
v
，已知其倾角为
< br>
2
，所以
v
< br>
v
0
v
v
sin
1
v
1
v
o
sin
0
v
sin
2
v
2
v
o
sin
0
< br>(1)
；
(3)
；
v
cos
1
v
0
cos
0
(2)
(4)
< br>
v
2
v
cos
2
v
0
cos
0
联立（
1
）
（
2
）式得
t
g
1
联立
（
3
）
（
4<
/p>
）式得
tg
2
v
1
v
0
sin
0
v
0
cos
0
2
0
v
v
< br>0
，
v
< br>1
v
0
(cos
0
tg
< br>
1
sin
< br>
0
)
，
v
2
v
0
(co
s
0
tg
2
sin
0
)
v
2
v
0
sin
0
v
0
cos
0
所以，火车加速前后速度之比为
v
1
v
2
cos
0
tan
1
sin
0
cos
0
tan
2
sin
0
tan
1
tan
0
tan
2
tan
0
5.
一质点沿半径为
0.1m
的圆周运动，其用角坐标表示的运动学方程为
2
4<
/p>
t
3
，
的单位为
rad
，
t
的单位
为
s
。
问
t
=
2s
时，质点的切向加速度
；法向加速度
；
等于
rad
时，质点的
加速度和半径的夹角为
45°。
答案：
a
4.8m/s
2
；
230.4m/s
2
；
2.67
rad
。
< br>
解：
（
1
）
d
dt
12
t
，
2<
/p>
d
dt
2
2
24
t
；
a
n
R
144
Rt
，
a
R
< br>24
Rt
。
2
4
t
=
2s
时，
a
n
230.4m/s
2
，
a
4.8m/s
2
（
2
）设
t
时，
a
和半径夹角为
45°，此时
a
n
a
，即
144
Rt
4
24
Rt
，得
t
3
1/
6
所以
6.
距河岸
(
看成直线
)500 m
处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速
为
n
=1 r/min
转动．当光束
与岸边成
60
°
角时，光束沿岸边移动
的速度
v
=__________
．
69.8
m/s
三
计算题
1
．
一质点由静止开始做直线运动，初始加速度为
a
0
，以后加速度均匀增加，每经过
秒增加
a
0
，求经过
t
秒后
质点的速度和位移。
答案：
v
a
0
t
a
0
2
t
；<
/p>
x
2
(
t
)
2
4
t
2.67
< br>rad
3
8
< br>3
rad
1
< br>2
a
0
t
2
a
0
6
t
。
3
由题意可知，角速度和时间的关系为
根据直线运动加速度定义
v
v
0
t
0
时刻，
v
0
0
所以
dv
dt
a
a<
/p>
0
a
0
t
a
dv
<
/p>
dt
a
0
2
dt
t
0
adt
t
0
(
a
0
a
0
t
)
dt
a
0
t
a
0
2
t
2
v
a
0
t
t
2
又
v
< br>
dx
dt
，所以
x
x
< br>0
dt
dx
dt
t
0
vdt
t
0
(
a
0
t
a<
/p>
0
2
t
)
dt
2
1
2
a
0
t
2
a
< br>0
6
t
3