用构造法求数列的通项公式
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用构造法求数列的通项公式
求数列的通项公式是高考重点考查的内容，
作为两类特殊数列<
/p>
----
等差数列·等比数列可直
接根据
它们的通项公式求解，但也有一些数列要
通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应
用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中
的具体应用
例
1:
（
06
年福建高考题）
数列
a
中
,
a
n
1
用构
造法求数列的通项公式
1
,
a
n
1
2
a
< br>n
1
则
a
n
( )
A
．
2
B
．
2
n
n
1
C
< br>．
2
n
1
D
．
2
n
1
解法
1
：
a
又
a
n
1
2
a
n
1
a
n
1
<
/p>
1
2
a
n
2
2
(
a
n
1
1
)
1
2
[
来源
:
学。科。网
]
a
n
1
1
2
a
n
1
a
n
1
是首项为
2
公比为
2
的等比数列
,
所以选
C
a
n
1
<
/p>
2
2
n
1
2
n
,
a
n
2
n
1
解法
2
归纳总结：若数列
a
满足
< br>a
n
n
1
pa
n
q
(
p
<
/p>
1
,
q
为常数）
，
则令<
/p>
a
n
1
p
(
a
n
)
来构造等比数列，并利用对应项
< br>中
，
a
1
1
,
a
2
3
,
a
n
2
3
a
n
1
2
< br>a
n
相等求
< br>的值，求通项公式。
例
2
：
数
列
a
n
a
n
，
则
< br>
。
n<
/p>
2
解：
a
a
n
1
2
(
a
n
1
< br>
a
n
)
a
2
a
1
2
<
/p>
a
n
a
n
1
为首项为
2
公比也为
2
的等比数
列
。
a
n
<
/p>
a
n
1
2
n
1
，
（
n>1
）
n>1
时
a
n
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
< br>1
a
n
2
)
(
a
2
a
1
)
a
1
2
n
< br>1
2
n
2
2
1
1
2
n
2
n
1
1
< br>2
显然
n=1
时满足上式
a
2
1
n
n
小结：先构造
a
n
1
a
n
< br>
等比数列，再用叠加法
,
等比
5
,
a
2
2
,
a
n
2
a
n
1
< br>
3
a
n
2
,
(
n
3
)
数列求
和求出通项公式，
例
3
：
已知数列
a
中
a
n
1
求这个
数列的通项公式。
解：
a
又<
/p>
a
n
2
a
n
1
3
a
n
2
a
n
a
n
1
3<
/p>
(
a
n
1
a
n
2
)
1
形成首项为
7
，公比为
3
的等比数
a<
/p>
2
7
,
a
n
a
n
1
列，
则
a
又
a
n
n
a
n
1
7
3
< br>n
2
………………………①<
/p>
3
a
n
1
(
a
n
1
3
a
n
2
)
，
a
2<
/p>
3
a
1
13
，
a
n
3
a
n
< br>1
形成了一个首项为—
13<
/p>
，
公比为
………………………②
—
1
的等比数列
则
a
n
3
a
n
1<
/p>
(
13
)
(
1
)
n
2
n
①
3
②
4
a
13
a
7
3
(
1
)
4
4
n
< br>1
n
1
n
7
3
n
1
13
(
1
)
n
1
小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面
比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通
项公式。
例
4
：设数列
<
/p>
a
的前项和为
S
,
若
2
a<
/p>
n
n
n
2
n
S
n
成立，
(1)
求证：<
/p>
a
项公式
n
n
2
n
1
是等比数列。
(2)
求这个数列的通
证明：
(1)
当
n
1
,
b
a
又
b
< br>a
b
a
n
1
2
(
b<
/p>
1
)
a
1
,
a
1
2
[
来源
:
学。科。网
Z
。
X
。
X
。
K]
2
n
(
b
1
)
S
n
………………………①
………………………②
n
1
2
(
b
1
)
S
n
< br>1
n
1
②—①
b
a
a
b
a
2<
/p>
n
n
1
n
n
1
b
a
n
2
n
(
b
1
)
a<
/p>
n
1
当
b
2
时，有
a
又
a
2
1
1
1
n
1
2
a
n
2
n<
/p>
a
n
1
(
n
1
)
2
n
2
a
n
2
n
(<
/p>
n
1
)
2
n
2
(
a
n
n
2
n
1
)
1
a<
/p>
n
n
2
n
1
为首项为
1
，
公比为
2
的等比数列，