完整版等比数列常考题型归纳总结很全面
-
等比数列及其前
n
项和
教学目标：
1
、
熟练掌握等比数列定义；通项公式；中项；前
n
项和；性质。
2
、
能熟练
的使用公式求等比数列的基本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有
关的简单问题。
知识回顾：
1.
定义：
一般地，如果一个数列从第
2
项起，每
一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个
数列就
叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母
q
表示。用递推公式
a
a
n
1
a
（证明数列是
表示为」
q
（
n 2
）
血亠
|
q
。注意：等比数列的公比和首项都不为零。
等比数列的关键）
2.
通项公式：
等比数列的通项为：
a a q
o
推广：
a a Q
n
1
3.
中项：
11
1
n m
n
m
如果
a, G , b
成等比数列，那
么
G
叫做
a
与
b
的等比中项；其中
G 2 ab
o
4.
<
/p>
等比数列的前
n
项和公式
nai
（
q
1
）
n
S
n
QJ-U__qj-
（
q
1
）
1 q
5.
等比数列项的性质
（
1
）
在等
比数列
a
n
中，若
m , n , p , q N
且
m n p q ,<
/p>
则
a
m
a
n
a
p
a
q
；特别的
,
若
m , p , q N
且
2m p
q ,
贝
lj
a
m
a
p
a
q
o
2
（
2
）
除特殊情况外，
S
n
,S
2
n
Sn,S3nS2n,
…也成等比数列。
q*
q
。
（其中特殊情况是当
q=l
且
n
为偶数时候此
时
Sn=O,
但是当
n
为奇数是是成立的）。
4
、证明等比数列的方法
a
（
1<
/p>
）
证：一°
-
1
q
（常数）；（
2
）
证：
a
n
2
< br> a
n
i
B
a
n
1
（
n 2
）
.
cln
考点分析
考点一：等比数列基本量计算
已知
an
为
等比数列，
S
是它的前
n
项和。若
a2
a
3
2ai ,
且，与
2
a
?
的等差中项
1
、
为
'
，求
S5
。
4
例
2
、成等差数列的三项正数的和等于
15,
且这三个数加上
2
、
5<
/p>
、
13
后成等比数列
b
n
中
的
b3 , b4 ,
b5 o
（
1
）
求数列
bn
的通项公式；
< br>
（
2
）
求数列
bn
的前
n
和为
Sn
。
练习：
1
、设
an
是有正数组成的等比数列，
S
n
为其前
n
项和。已知
a2&4
1,S3
7,
则
S5
14
A
・
2
34-
B
■
口
C.
D
・
4
2
4
Un
a4
a?
a5
ai
a3
2
、在等比数列
｝
若
-
-=6,
—
=15,
则
=
3
、已知正项数列｛站｝为等比数列，且
5^2
是恥与
3a3
的等差中项，若
“2=2,
则该数列的前
5
项的和为（
）
■n
-n
A
・
12
B
・
31 C
・
4
cl
n
3.
1
•
D
・
以上都不正确
S n
Fl
S1 S 2
S 4
4
、设｛
｝
是首项为，公差为一
1
的等差数列，
al
前位为
为其前
项和•若，，
成等比数
列，则
_________
a
是首项为
1
)o
5
、
（
4
）
、已知
n
1
的等比
数列，
n
是
的
前
项和，且
3 6,
则数列
S
n
9S
S
n
的前
5
项和为（
A
・
8
或
5
34
：
_p.
B
・
或
5
16
*
C
・
16
D
・
8
考点二：等比数列性质应用
例
2
、设<
/p>
Sn
为等比数列
a
n
的前
n
项和，已知
3S3 a
4
2 ,
3S
2
a
3
2 ,
则公比
q
B
・
4
C
・
5 D. 6
32010 832007
，贝
|J<
/p>
公比
q
的值为
练习
:
1
、
在等比数列
a
n
中
,
B. 3
C.
ai
a6
D
・
8
例
3
、
等比数列
a
n
满足
:
32
11, 3334
—
，且公比
q
9
（
1
）
数列
an
的
通项公式
;
（
2
）
若该数列的前
n
项和
Sn
21
，
求
n
的值。
练习：
1
、已知正项等比数列
a
n
满足
a3a9
2a5
2
a2 2
则
ai
2
、
已知等
比数列
a
n
满足
a3
则
ai
_
____________________
—
3
、
已知等
比数列
a
n
满足
ai 2, a5 18 ,
则
a2 a3 a4
________________________
、在等比数列
d
中
,
各项均为正值，
M
a6aio+a3as= 41, a4as=5,
则
a4+a
4
{a
*
1
例
4
、等比数列
3 n
满足
a n
0 , n N
,
且
a3 ? a7 4
,
则当
n
时，
1
1
log 2 a 1 log 2 32
log 2
a3
…
log 2 U9
q
例、等比数列
an
的首项
a
| =
—
,
前
n
项和为
Sn,
若
S_o
31
二
5
{
}
1
s
5
32
a 4 a5
练习：
1
、已知正项等比数列
n
aia2 a3 5 a7 asa9
10
36
a
满足
，
,
则
、在等比数列
n}
中，若
ai
，
贝【
J
2
{a
—
例
6
、设等比数列
{an}
的前
n
项和为
Sn,
若
S6
：
S3=1
：
2,
则
S9
：
S3= __________________
S
练习：、设等比数列
an
的前
n
项和为
Sn,
若
_
6
3,
则」
1
s
S3
S6 = --------------
・
{
}
考点三：等比数列的证明