专题求数列的通项公式
-
专题
.
数列的通项的
求法
1.
定义法
：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
例
1
．等差数列
a<
/p>
n
是递增数列，前
n
项和为
S
n
，且
a
1
,
a
3
,
a
9
成等比数列，
2
S
5
a
5
．求数列
a
n
的通项公式
.
解
：设数列
a
n
公差为
d
(
d
0
)
< br>
2
∵
a
1
,
a
3
,
a
9
成等比数列，∴
< br>a
3
a
1
a
9
，
即
(
a
1
2
d
)
a
1
(
a
1
8
< br>d
)
d
a
1
d
∵
d
0
，
∴
a
1
d
………………………………①
2
2
5
4
<
/p>
d
(
a
1
4
d
)
2
…………②
2
3
3
3
3
3
由①②得：
a
1
，
d
∴
a
n
(
n
1
)
n
5
5<
/p>
5
5
5
2
∵
S
5
a
5
∴
5
a
1
点评
：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首
项与公差（公比）
后再写出通项。
1
1
1
1
,
5
,
7
,
9
,
试写出其一个通
项公式：
__________
；
<
/p>
4
8
16
32<
/p>
2.
公
式
法
：
(1)
已
知
S
n
（
即
a
1
a
2
a
< br>n
f
(
n
)
）
求
a
n
，
用
作
差
法
：
练一练：<
/p>
已知数列
3
a
n
,(
n
<
/p>
1)
S
S
S
,(
n
2)
1
n
n
1
。
n
例
2
< br>．
已知数列
a
n
的前
n
< br>项和
S
n
满足
< br>S
n
2
a
n
(
1
)
,
n
1
．
求数列
a
n
的通
项公式。
解
：由
a
1
S
1
2
a
1
1
a
1
1
n
a
S
S
<
/p>
2
(
a
a
)
2
(
1
)
,
n
n
n
1
n
n
1
当<
/p>
n
2
时，有<
/p>
a
n
2
a
n
1
2
(
1)
n
< br>
1
,
a
n
1
2
a
n
2
2
(
1
)
n
2
,
< br>……，
a
2
< br>2
a
1
2
.
a
n
2
n
1
a
1
2
n
1
(
< br>1)
2
n
2
(
1)
2
2
(
1)
n
1
2
n
1
(
1
)
n
[(
2
)
n
1
(
2
)
n
2
(
2
)]
2
n
1
2
[
1
(
2
)
n
1<
/p>
]
(
1
)
3
n
2
[
2
n
2
(
1
)
n
1
].
3
经验证
a
1
1
也满足上式，所以
a
n
点评
：利用公式
a
n
2
n
< br>2
[
2
(
1
)
n
1
]
3
S
n
< br>
n
1
求解时，要注意对
n
分类讨论，但若
S
n
S
n
1
n
2
能合写时一定要合并
．
练一练：
①
已知
{
a
n
}
的前
n
项和满足
log
2<
/p>
(
S
n
1)
n
1
，求
a
n
；
5
a
n
1
，求
< br>a
n
；
3
(2)
已知
递推公式为
S
n
与
a
n
的关系式。
< br>(
或
S
n
f
(
a
n
)
)
②
数列
{
a
n
}
满足
a
1
4,
S
n
S
n
1
解
法
：
这
种
类
型
一
般<
/p>
利
用
S
1
(
n
1<
/p>
)
a
n
S
n
S
n
1
(
n
2
)<
/p>
与
a
n
S
n
S
n
1
f
(
a
n
)
f
(
a
n
1
)<
/p>
消去
S
n
(
n
2
)
或与
S
n
f
(
S
n
S
n
1
)
(
n
2
)
消去
a
n
实行求解。
例：
已知数列
< br>a
n
前
n
项和
S
n
4
a
n<
/p>
1
2
n
2
.
（
1
）求
a
n
1
与
a
n
的关系；
（
2
）求通项公式
a
n
.
f
(1),(
n
1)
f<
/p>
(
n
)
a
n
f
(
n
)
求
a
n
，用作商法：
a
n
3.
作商法：
已知
a
1
a
2
。
,(
n
2)
f
(
n
1)
2
如
< br>数列
{
a
n
}
中，
a
1
1
,
对所有的
n
2
都有
a
1
a
2
a
3
a
n
n
，则
a
3
a
5
______
；
4.
累加法
：
若
a
n
1
a
n
f
(
n
)
求
a
n
< br>：
a
n
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
< br>
(
a
2
a
1
)
a
1
(
n
2)
。
1
1
例
3
.
已知数列
a
n
满足
a
1
，
a
n
1
< br>
a
n
2
，求
a
n
。
2
n
<
/p>
n
解
：由条件知：
a
n
1
a
n
1
1
1
1
2
n
n
n
< br>(
n
1
)
n
n
1
分别令
n
1
,
2
,
3
,
,
(
n
1
)
，代入上式得
(
n
1
)
个等式累加之，即
(
a
2
a<
/p>
1
)
(
a
3
a
2
)
(
a
4
a
3
)
<
/p>
(
a
n
a
n
1
)
1
1
1
1
1
1
1
(
1
)
(<
/p>
)
(
)
(
)
2
2
3
3
4
n
<
/p>
1
n
1
所以
a
n
a
1
1
n
1
1
< br>1
3
1
a
1
，
a
n
1
2
2
n
2
n
1
如
< br>已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
< br>
1
，
a
n
a
n
1
(
n
2)
，则
a
n
=________
；
n
1
n
a
n
1
a
a
< br>f
(
n
)
求
a
n
，用累乘法：
a
n
n
n
1
a
n
a
n<
/p>
1
a
n
2
2
n
例
4
.
已知数列
a
n
满足
a
1
，
a
n
< br>1
a
n
，求
a
n
。
3
n
1
5.
累乘法：
已知
a
2
a<
/p>
1
(
n
2)
。
a
1
解
：由条件知
a
n
1
n
，分别令
n
1
,
2
,
3
,
,
< br>(
n
1
)
，代入上式得
a
n
n
1
(
n
1
)
个等式累乘之，即