(完整版)高中数学必修5公式大全
-
高中数学必修
5
公式大全
1
、正弦定理：在
C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
、
、
C
的对边，
R
为
C
的外接圆的半径，则
有
a
b
c
2
R<
/p>
．
sin
<
/p>
sin
sin
C
2
、正弦定理的变形公式：①
a
2
R
sin
，
b
2
R
sin
，
c
2
R
sin
C
；
a
b
c
< br>，
sin
< br>，
sin
C
< br>；③
a
:
b
:
c
sin
:sin
:sin
C
；
2
R
2
R
2
R
a
b
c
a
b
c<
/p>
④
．
sin
sin
sin
C
sin
<
/p>
sin
sin
C
②
sin
（
正弦定理主要用来解决两类问题：
1
、
已知两边和其中一边所对的角，
求
其余的量。
2
、
已知两角和一边，
求其余的量。
）
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。
（一解、两解、无解三中情
况）
如：在三角形
ABC
中，已知
a
、
b
、
A
（
A
为锐角）求
B
。具体的做法是：数形结合思想
画出图：法一：把
a
扰着
C
点旋转，看所得轨迹以
AD<
/p>
有无交点：
当无交点则
B
无解、
当有一个交点则<
/p>
B
有一解、
当
有两个交点则
B
有两个解。
法二：是算出
CD=bsinA,
看
a
的情况：
当
<
br>a
2
a
，则
B
无解
当
bsinA
≤
b,
则
B
有两解
当
a=bsinA<
/p>
或
a>b
时，
B
有一解
注：当
A
为钝角或是直角时以此类推既可。
3
、三角形面积公式：
S
C
A
b
bsinA
D
a
C
1
1
1<
/p>
bc
sin
ab
sin
C
ac
sin
．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
、余弦定理
：在
C
中，有
b
c
2
bc
cos
，
b
a
c
<
/p>
2
ac
cos
，
c
2
a
2
b
2
2
ab
cos
C
．
b
2
c
2
a
a
2
c
2
b
2<
/p>
a
2
b
2
c
2
5
、余弦定理的推论：
cos
，
cos
，
cos
C
．
2
bc
2
ac
2
ab
(
余弦定理主要解决的问题：<
/p>
1
、已知两边和夹角，求其余的量。
2<
/p>
、已知三边求角
)
c
< br>是
C
的角
、
6
、
如何判断三角形的形状：
设
a
、<
/p>
则：
①若
a
<
/p>
b
c
，
则
C
90
；
b
、
C
的对边，
、
②若
a
b
c
，则
C
90
；③若
a
b
c
< br>，则
C
90
< br>．
正余弦定理的综合应用
：如
图所示：隔河看两目标
A
、
B,
1
2
2<
/p>
2
o
2
2
2
o
2
2
2
o
A
B
C
D
但不能到达，在岸边选取相距
3
千米的
C
、
D
两点，
并测得∠
ACB=75
,
∠
BCD=45
,
∠
ADC=30
,
∠
ADB=45
(A
、
B
、
C
、
D
在同一平面内
)
，求两
目标
A
、
B
之
间的距离。
本题解答过程略
附：三角形的五个“心”
；
重心：三角形三条中线交点
.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点
.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点
.
垂心：三角形三边上的高相交于一点
.
7
、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
8
、数列的项：数列中的每一个数．
9
、有穷数列：项数有限的数列．
10
、无穷数列：项数无限的数列．
11
、递增数列：从第
2
项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：
a
n
+1
>a
n
）
．
12
、递减数列：从第
2
项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：
a
n+1
=a
n
）
．
13
、常数列：各项相等的数列（即：
a
n+1
n
）
．
14
、摆动数列：从第
2
项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
15
、数列的通项公式：表示数列
a
n
的第
n
项与序号
n
之间的关系
的公式．
16
、数列的递推公式：表
示任一项
a
n
与它的前一项
a
n
1
（或前几项）间的关系的公式．
17
、如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的差
等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这
个常数称为等差数列的公差．符号表示<
/p>
:
a
n
1
a
n
d
。注：看数列是不是等差数列有以下三种方法
：
①
a
n
a
n
1
d
(
n
2
,
d
为常数
)
②
2
a
n
< br>
a
n
1
a
n
1
(
n
2
)
③
a
n
kn
b
(
n
,
k
为常数
18
、由三个数
a
，
，
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差
数列，则
称为
a
与
b
的等差中项．若
O
O
O
O
b
a
c
，则称
b
为
a
与
c
的等差中项．
2
19
、若等差数列
a
n
的首项是<
/p>
a
，公差是
d
，
则
a
1
n
<
/p>
a
1
n
1
d
．
；
a
n
a
1
20
、通项公式的变形：①
a
n
< br>
a
m
n
m
d
；②
a
1<
/p>
a
n
n
1
d
；③
d
n
1
< br>
2
a
n
a
m
a
n
a
1
d<
/p>
1
；⑤
④
n
n
m
d
．
*
21
、若
a
n
< br>是等差数列，且
m
n
p
q
（
m
、
n
< br>、
p
、
q
）
，则
a
m
差数列，且
2
n
p
q
（
n
、
p<
/p>
、
q
）
，则
2
a
n
*
a
n
a
p
< br>
a
q
；若
a
n
是等
a
p
a
q
．
S
n
n
a
1
a
n
2
< br>；
②
22
、
等
差
数
列
的
前
n
项
和<
/p>
的
公
式
：
①
S
n
na
1
n
n
1
< br>
d
．
③
2
s
n
a
1
a
2
L
a
n
23
、等差数列的
前
n
项和的性质：①若项数为
2
n
n
*
，则
S
2
n
n
a
n
a
n
1
，且
S
偶
S
奇
nd<
/p>
，
S
奇
a
n
．
S
偶
a
n
1
②若项数为
2
n
1
n
*
，则
S
2
n
1
2
n
1
a
n<
/p>
，且
S
奇
S
偶
a
n
，
．
S
偶
< br>n
1
a
n
）
24
、如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一
个常数，则这个数列称为等比数列，这
个常数称为等比数列的公比．符号表示：
的值同号）
注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：
2
a
n
1
a
n
1
(
n<
/p>
2
，
a
n
a
n
1
a
n
1
0
)
< br>①
a
n
a
n
1
q
(
n
2
,
q
为常数
,
且
0
)
②
a
n
S
奇
n
（其中
S
奇
na
n
，
S
偶
n
1
a
n
1
q
（注
：①等比数列中不会出现值为
0
的项；②同号位上
a
n
③
a
< br>n
cq
n
(
c
,
q
为非零常数
).
④正数列
{
a
n
}
成等比的充要条
件是数列
{
log
x
< br>a
n
}
（
x
1
）成等比数列
.
25
、在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，则
G
称为
a
与
b
的等比中项．若
G
< br>ab
，
则称
G
< br>为
a
与
b
的等比中项．
（注：由
G
ab
不能得出
a
，
G
，
b
成等比，由
a
，
G
，
b
G
ab
）
n
1
26
、若等比数列<
/p>
a
n
的首项是
a
1
，公比
是
q
，则
a
n
a
1
q
．
2
2
2
n
1
n
< br>
m
n
1
a
a
q
a
a
q
27
、通项公式的变形：①
n
；②
1
；③
q
m
n
a
n
< br>n
m
a
n
q
；
④
．
a
m<
/p>
a
1
*
28
、若
a
n
是等比数列，且
m
n
p
<
/p>
q
（
m
、
n
、
p
、
q
）
，则
a
m
< br>a
n
a
p
a
q
；
若
a
n
<
/p>
是等比
3
数
列，且
2
n
p
q
（
n<
/p>
、
p
、
q
）
，则
a
n
*
2
a
p
< br>a
q
．
na
1
q
1
<
/p>
29
、
等比数列
a
n
的前
n
项和的公式：
①
S
n
a
1
1
<
/p>
q
n
a
a
q
．
②
s
n
1
n
q
1
1
q
1<
/p>
q
s
1
a
1
(
n
1
)
30
、对任意的数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系：<
/p>
a
n
s
s
(
n
2
)
n
1
n
a
1
a
2
<
/p>
L
a
n
[
注
]
：
①
a
n
a
1
n
1
d
nd
a
1
d
（
d
可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数
列）→若
d
不为
0<
/p>
，则是等差数列充分条件）
.
②等差<
/p>
{
a
n
}
前
n
项和
S
n
An
2
Bn
n
2
< br>
a
1
n
→
d
<
/p>
2
d
2
d
可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若
2
d
为零，则是等差数列的充分条件；若
d
不为零，则是等差数列的充分条件
.
③非零
常数列既可为等比数列，也可为等差数列
.
（不是非
零，即不可能有等比数列）
．．
附：
几种常见的数列的思想方法：
⑴等差
数列的前
n
项和为
S
< br>n
，在
d
0
时，有最大值
.
如何确定使<
/p>
S
n
取最大值时的
n
值，有两种方法：
一是求使
a
n
0
,
a
n
1
0
，成立的
n
值；二是由
S
n
数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：
数列
等差数列
等比数列
数列
等差数列
等比数列
我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”
，将数列的通项公式以及前
n
项和看成是关于
n
的函数，
为
我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。
例题：
1
、等差数列
分析
：因为
d
2
d
n
(
a<
/p>
1
)
n
利用二次函数的性质求
n
的值
.
2
2
通项公式
对应函数
（
时为一次函数）
（指数型函数）
前
n
项和公式
对应函数
（
时为二次函数）
（指数型函数）
中，
，
则
.
是等差数列，所以
是关于
n
的一次函数，
4
一次函数图像是一条直线，则（
n,m
）
,(m,n),(m+n,
)
三点共线，
所以利用每两点形成直线斜率相等，即
，得
=0
（图像如上）
，这里利用等差数
列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。
例题：
2
、等差数列
中，<
/p>
，前
n
项和为
，
若
，
n
为何值时
最大？
分析：等差数列前
n
项和
可以看成关于
n
的二次函数
=
，
是抛物线
=
上的离散点，根据题意，
，
则因为欲求
最大。
< br>最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为
，即当
< br>时，
例题：
3
递增数列
，对任意正整数
n
，
递
增得到：
恒成立，设
恒成立，求
恒成立，
即
，则只需求出
< br>。
，因为是递
的最大值即
分析：
构造一次函数，
由数列
恒成立，所以
可，显然
有最大值
对一切
对于一切
，所以
看成函数<
/p>
的取值范围是：
构造二次函数，
，它的定
义域是
增数列，
即函数
为递增函数，<
/p>
单调增区间为
,
抛物线对称轴
，
因为函数
f(x)
为离
散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴
的左侧
在
也可以（如图）
< br>，因为此时
B
点比
A
点高。于是，
，得
<
/p>
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前
n
项和可依照等比数列前
1
1
1
n
项和的推倒导方法：错位相减
求和
.
例如：
1
,
3
,...(
2
n
1
)
,...
n
< br>2
4
2
⑶两个等差数列的相同项
亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，
5
公差是两个数列公差
d
1
，
d
2
的最小公倍数
.
2.
判断
和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)
定义法<
/p>
:
对于
n
≥
2
的任意自然数
,
验证
a
n
a
n
1
(
a
n
)
为
同
一
常
数
。
(2)
通
项
公
式
法
。
< br>(3)
中
项
公
< br>式
法
:
验
证
a
n
1
2
2
a
n
1
a
n
a
n
2
(
a
< br>n
1
a
n
a
n
2
)
n
N
都成立。
3.
在等差数列｛
a
n
｝中
,
有关
S
n
的最值问题：
(1)
当
a
1
>0,d<0<
/p>
时，满足
a
m
0
的项数
m
使得
s
m<
/p>
取最
a
m
1
0
大值
. (2)
当
a<
/p>
1
<0,d>0
时，满足
注意转化思想的应用。
附：
数列求和的常用方法
a
m
0
的项数
m
使得
s
m
取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时
,
a
0
m
1
1.
公式法
:
适用于等差
、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.
裂项相消法
:
适用于
的数列等。
例题：已知数列
{a
n
}
的通项为
a
n
=
c
其中
{
a
n
}
是各项不为
0
的等差数列，
c
为常数；部分无理数列、含阶乘
a
a
n
n
1
1
,
求这个数列的前
n
项和
S
n
.
n
(
n
1)
解：
观察后发现：
a
n
=
< br>1
1
n
n
1
s
n
a
1
a
2
a
n
<
/p>
∴
1
1
1
1
1
(1
)
(
)
(
)
2
2
3
n
n
1
1
1
n
<
/p>
1
3.
错位相减法
:
适用于
a
n
b
n
其
中
{
a
n
}
是等差数列，
b
n
是各项不为
0
的等比数列。
n
例题：已知
数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
< br>n
2
，求这个数列的前
n
项之和
s
n
。
解：由题设得：
s
n
a
1
a
2
a
3
a
n
=
1
2
2
2
3
2
n
2
即
1
2
3
n
6
s
n
=<
/p>
1
2
1
2
2
2
3
2
3
n
2
n
①
把①式两边同乘
< br>2
后得
2
s
n
=
1
2
2
2<
/p>
2
3
3
2
4
n
2
n
1
②
用①
-<
/p>
②，即：
s
n
=
1
2
1
2
2
2
3
2
3
n
2
n
①
2
s
n
=
1
2
2
< br>2
2
3
3
2
4
n
2
n
1
②
得
s
n
1
2
2
2
2
< br>3
< br>2
n
n
2
n
1
2(1
2
n
)
n
2
n
1
1
2
2
n
< br>1
2
n
2
n
1
(1
<
/p>
n
)2
n
1
2
n
1
∴
s
n
(
n
< br>
1)2
2
< br>
4.
倒序相加法
:
< br>类似于等差数列前
n
项和公式的推导方法
.
5.
常用结论
n
(
n
1
)
1
< br>
2
1
）
:
1+2+3+...+n
=
2
）
1+3+5+...+(2n-1)
=
n
3
）
1
3
2
3
n
3
n
(
n
1
)
2
2
< br>4
）
1
2
3
n
2
2
2
2
2
1
1
1
1
n
(
n
< br>1
)(
2
n
1
)
5
）
n
(
n
1
)
n
n
1
6
1
< br>1
1
1
(
)
n
(
n
2
)
2
n
n
2
6
）
31
、
a
b
< br>0
a
b
；
a
b
0
a
b
；
a
b
0
a
b
< br>．
32
、不等式的性质：
①
a
b
< br>
b
a
；②
a
b
,
b
c
<
/p>
a
c
；③
a
b
a
c
b
c
；
< br>
④
a
b
,
c
0
ac
bc
，
a
b
,
c
0
ac
bc
；⑤
a
b
,
c
d
a
c
b
d
；
⑥
a
<
/p>
b
0,
c
d
0
ac
bd
；⑦
a
b
0
a
b
7
< br>n
n
1
1
1
1
(
)
(
p
q
)
pq
q
p
p
q
n
,
n
1
< br>
；