-

2021年2月10日发(作者：东京铁塔下)

绪论

数列是中学数学的一项重要内容，在中学数学体系中相对 独立，但有一定

的综合性和灵活性

.

高 中数学中的数列知识主要涉及等差、等比数列的通项公式

以及数列求和等内容，能力要求 较高

.

数列的通项公式是高中数学中最为常见的

题型之一

,

它既可考查转化与化归的数学思想

,

又能反映中学生对等差与等比数

列理解的深度

,

具有一定的技巧性

,

因此经常渗透在数学竞赛和高考中

.

同时也是

初等数学与高等数学的一个重要衔接点。

一 扇门，

打开它的关键就是门上的锁和钥匙，

而数列问题就像紧闭 的门，

数

列的通项公式与它的推导思路就是开门的关键。

数列可以看作是特殊的函数，

特

殊在可以看作 定义域为正整数集的函数当自变量依次取值时对应的一系列的函

数值，

< br>而数列的通项公式即这个函数的关系式。

所以，

推导数列 的通项公式关键

是找出

a

n

< p>
与

n

的关系。在本文中讨论的方法也是函数中常用 的技巧

.

在各类研究数列通项公式的资料中，推导数列通项公 式的常用方法一般有：

公式法，待定系数法，不动点法，累加法，累乘法，归纳猜想法， 构造等差或等

比数列法等

.

本文从实际 出发，首先介绍在数列知识体系中的一些相关概念及公

式，然后把上述方法比较系统的归 纳为四大类：公式法、归纳猜想法、迭代法、

构造新数列法

.< /p>

解题思路由简单到复杂，

难度一步步上升

.

不仅如此，

内容安排上

把方法和应用 相结合，让读者更好的理解和掌握。

在应用举例中，

有些一种类型的题可以用不同的方法解决，

这种形式有利于

开发中学生的发散思维能力，

让学生在解决数列问题时从多方面综合考虑，< /p>

以找

出最简便的解法。怎样找准方法快速有效地推导呢？这就是本 文所讨论的问题。

1

数列的相关概念

.

1.1

数列

数列：按某种规定排列的一列数

a

1

,

a

2

,

< /p>

,

a

n

,



,

称为数列。数列中的每一个

数都叫做这个数列的项。

排在第一位的数称为这个数列的第

< br>1

项

（通常也叫做首

项）

，排在第

n

位的数称为这个数列的第

n

项

，也叫数列的通 项

a

n

.

数列的通项公式：将数列

{

a

n

}

的第

n

< p>
项用一个具体式子（含有参数

n

）

表示出来，称作该数列的通项公式。

通项

a

n

可以看作是 项数

n

的函数

a

n



f

(

n

)

.

当然，

不是所有的数列都能写

出它的通项公式，

如：

< br>一个学校的学生的考试成绩由高到矮组成的数列，

就很难

写出其通项公式

.

1.2

基本数列的通项公式

高中学习的数列有两种最基本的数列：等差数列与等比数列

< /p>

等差数列：

一般地，

如果一个数列从第< /p>

2

项起，

每一项与它的前一项的差等

于同一个常数，这个数列就叫做等差数列

.

这个常数叫做等差数列的公差，公差

通常用字母

d

表示

.

如果等差数列的首项为

a

1

，公差为

d

，那么这个数列可以写成

a

1

,

a

1



d

,

a

1



2

d

,



,

< br>a

1



(

n



1

)

d

,



的形式，所以等差数列的通项公式为

a

n



a

1



(

n



1

)

d

等比数列：< /p>

如果一个数列从第

2

项起，

每一项与它的前一项的比等于同一个

常数，这个数列就叫做等比数列。这个常 数叫做等比数列的公比

,

通常用

q

来

表示。

如 果等比数列的首项为

a

1

，公比为

q

，那么这个数列可以写成

a

1

,

a

1

q

,

a

1

q

2

,



,

a

1

< br>q

n



1

,



的形式，所以，等比数列的通项公式是

a< /p>

n



a

1

q

n



1

< p>

递推数列：

根 据等差数列的概念，

形成等差数列的条件可以看作任一项与前

一 项的差为常数，即

a

n



1



a

n

< br>

d

，像这样表示若干个相邻项之间的关系式叫做

数列的递推式

.

一个数列的第

n

项

a

n

与

前

面

的

k

项

a

n

< /p>

1

,

a

n



2

,



< p>
,

a

n



k

的

关

系

a

n



f

(

a

n



1< /p>

,

a

n



2

,



,

< p>
a

n



k

)

称

为

k

阶

递

推

关

系

，

由

k

阶< /p>

关

系

及

给

定

的

前

k

< p>
项

a

1

,

a

2

,



,

a

k

的值所确定的数列叫做

k

阶递推数列

.

在高中数学中，很多关于数列的题的题干都是以递推式的形式给出，如

< br>a

n



1

a

n



a

n



1



a

n

、

a

n



1



公式的难度。< /p>

2

a

n



1

、

a

< p>
n



1



pa

n



q

< br>等

.

这样就加大了推导数列通项

3

2

数列通项公式的几种推导方法

2.1

公式法

类型一

若题型中已知数列

{

a

n

}

为等差或等比数列，则可直接利用公式求

a< /p>

n

.

类型二

若已知数列的前

n

项和

s

n

与

n

的关系式

s

n



< br>f

(

n

)

,

则利用公式



< br>S

n









n



1

a

n







S

n



S

n



1



n



2

< br>

求出数列的通项

.

这两类型是数列问题中最直接，最简单的解法。

2.2

归纳猜想法

在

数

列

的

< br>有

关

题

型

中，

有

些

明

确

给

出

了

一个

数

列

的

前

几

项

，如

1

，

8,27,64,125

，…要求求出这个 数列的通项。这类题一般以选择题或填空题的形

式出现。解决此类型的题，快速准确是关 键，所以，用猜想归纳的思想能有效的

解决问题。

首先，

运用观察法，

从数列的前几项中找出规律 性的结论，

归纳猜想得出

a

n

或其相关项，然后把前几项代入结论中检验其是否正确。

从上述的数列中可以观察出，该数列为典型的立方数列，规律为：

1

3

，

2

3

，

3

3

3

< br>，

4

3

，

5

3

…，所以我们可以猜想出其通项公式为

< br>a

n



n

.

当然，

选择题和填空题并不要求写出其解答过程，

归纳猜想出来的通项公式

只是一个合理猜想，

如若遇到解答题，

我们猜想出来的公式就还需要用数学归纳

法的 思想去检验

.

2.3

迭代法

所谓迭代法，就是层层代入，用旧的变量递推新变量的 过程，用迭代法解

决数列问题关键是寻找各等式之间的联系，

从 而求出数列的通项公式。

最常见的

方法是累加，累乘法

.

2.3.1

累加法

< br>累加法，一般适用于递推数列

a

n



1



a

n



f

(

n

)

的类型，遇到此类型的题，一

般题干中会 告诉

a

1

的值，解题思路为：首先把等 式化为

a

n



1

-

a

n



f

(

n

)

< br>，

再把当

n=1,2,3,4

…分别代入上述等式中得

a

2



a

1



f

(

1

< br>)

a

3



a

2



f

(

2

)

a

4

< br>

a

3



f

(

3

)

…

a

n



a

n



1



f

(

n



1

)

a

n

< br>

1



a

n



f



n



第一式与第二式相加左边消去了< /p>

a

2

,

再与第三 式相加消去了

a

3

,

< br>依次累加后

得

a

n



1



a

1



f



1





f



2

< br>







f



n



，

所以

a

< br>n



a

1



f



1





f



2









f



n



1



，

变式得

a

n



f



1





f



2









f

< br>

n





a

1

注 ：

f



1

< /p>



f



2









< p>
f



n



的结果必然是关于

n

关系式

.

在求和过程中可能会

涉及到等差、等比数列的求和方法。

2.3.2

累乘法

累乘法的思想与累加法本质上是一样的，

在数列中如果遇到

a

n



1



f

(

n

)

a

n

< br>这

种类型，

通常先把等式化为

式 中得

a

2



f



1



a

1

a

n



1



f

(

n

)

，分别令

n



1

,

2

,

< p>
3

,











,

< br>(

n



1

)

，再层层代入等

a

n

a

3





< br>

a

2



f

2

…

a

n



f



n



1



a

n



1

a

n



1



f



n



a

n

令各项累乘得

化简得

a

n



1



f



1



f



2





f



n



< br>

，

a

1

a

n



1



f



1



f



2





f



< br>n



a

1

.

所以

a

n



f



1



f



2





f



n



a

< br>1

，

由此可求出数列通项

.

2.4

构造新数列法

构造法就是在解决某些数学 问题的过程中，

通过对条件与结论的充分剖析，

有时会联想出一 种适当的辅助模型，

以此促成命题转换，

产生新的解题方法，< /p>

这

种思维方法的特点就是“构造”

。

在数列求通项的有关问题中，< /p>

经常遇到即非等差数列，

又非等比数列的求通

项问题，

特别是给出的数列相邻两项是线性关系，

数列递推 式较复杂的题型。

如

果题型简单，

我们 可以通过不完全归纳法进行归纳、

猜想，

然后借助于数学归纳< /p>

法予以证明，

然而用数学归纳法证明虽然有固定的模式，

但过程繁琐，

用时较多，

而且在新版教材中，< /p>

数学归纳法的思想很少提到，

因而我们遇到这类问题，

< p>
就要

避免用数学归纳法的思想。

构造新的数列，< /p>

具有辅助计算的效果，

一般是构造等

差，

等比数列，

这样就可以套用等差等比数列的固定通项模型来解决 问题。

主要

方法有待定系数法，不动点法，特征根法等。

2.4.1

待定系数法

待定系数法主要适用 于一阶递推式

a

n



< br>1



pa

n



q

；

（其中

p

，

q

均为常数，

p



1

,

pq



0

）

、

a

n



1



pa

n

< /p>

qn



c

（

p,q,c

为常数，

p



1

,

pq



0

）等

.

类型一：

a

n



1



pa

n



q

（其中

p

，

q

均为常数，

p

< br>

1

,

pq



0

）

假设原递推公式为

a

n



1



t



p

(

a

n



t

)

，

< br>其中

t



q

，

计算出

t

后，

< br>就构造成了一个以

a

1



t

为首项，

以

p

为公比的等比

1



p

数列

{

a

n



t

}

，从而 推导出

a

n



t

的通项公式。

类型二

a

n



1



p a

n



qn



c

（

p,q ,c

为常数，

p



1

,

pq



0

)

此类型为类型一的变式，

既然 类型一能化成等比数列，

那么假设类型二也能

构造成等比数列， 假设原递推公式为

< /p>

a

n



1



A

(

n

< p>


1

)



B



p

(

a

n



An



B

)

，

化简得

a

n



1



pa

n



(

pA



A

)

n



pB

< p>


A



B

，

又因为

a

n



1



pa

n



qn



c

所以，系数对应相等得

pA



A

< /p>

q

pB



A

< /p>

B



c

解方程组得

A



q

p



1

B



c

q



p



1



p



1



2

由此计算出

AB

后就构造 了一个以

a

1



A



B

为首项，

p

为公比的等比数列



a

n



An



< p>
B



.

用待定系数法求解通项公式，

它的核心是通过

“待定”

将递推公式转化为一

种新的等比数列。

通过求新等比数列的通项公式从而求出原数列的通项公式，

其

< br>实类型一与类型二可归结为

a

n



1



pa

n



f

(

n

)

，

f

(

n

)

可以为常函数，一次函数，

二次函数，

指数函数，

幂函数等，

其基本解题思路是在递推式两边加上相同性质

的量，使之成为等差或等比数列

.

2.4.2

不动点法

< br>方程

f

(

x

)

=x

称为函数

f

(

x

)

的不动点方程，其根称 为函数

f

(

x

)

的不动点

.

对于较复杂的数列递推式 ，

用其他方法难以解决的，

可以用不动点法推导数列的

通项。如一阶递推式

a

n



1



pa

n



q

;

分式 递推式：

a

n



1



h

r

p a

n



q

（其 中

p

、

q

、< /p>

r

、

ra

n



h

h

均为常数， 且

ph



qr

,

r



0

,< /p>

a

1





）

，都可建立不动点方程

.

类型一：一阶线性递推式

a< /p>

n



1



pa

n



q

(

p



1

,

pq



0

< p>
)

（

对问题中的递推< /p>

关系式作出一个方程

x



p

x



q

，

解出方程的解

x



q

,

在原递推式两边同时减

1



p

去

x< /p>



q

q

q



p

(

a

< p>
n



)

，

构造出一个公比为

p

的等比数列，

，

得到

a

n



1



1



p

1



p

1



p

由此推导出 数列的通项公式

.

类型二：分式递推式

a

n



1



pa

n



q

，

c

a

n



d

数列



a

n



的特征方程为

f



x





px



q

px



q



x

，解出不动点设为

m

，由

,

n

cx



d

cx



d

1.

< br>若

不

动

点

m

=

n

，

原

递

推

式

两

边

同

时

减< /p>

去

m

，

化

解

后

得

1

< p>
2

c

1

1

2

c

,

推出一个新等差数列< /p>

{

}

，

公差为< /p>

.

由此推



< /p>

p



d

a

n



m

a

< p>
n



1



m

a

n



m

p



d

导出

a

n

.

2.

若不动点

m



n

,

递 推式两边分别同时减去

m,n,

再用两式相除得：

a



m

a

< br>n



1



m

a



m

p



m

c



k

n

，其中

k



，推出一个新等比数列

{

n

}

，公比为

a

n



n

a

< br>n



1



n

a

n



n

p



nc

k< /p>



p



m

c

.

p



nc

2.4.3

其他构造方法

一种类型的题可以有不 同的解法，

在构造新数列的过程中，

最重要的是转化

< p>
思想，

上述的针对递推式的待定系数法，

不动点法 在高中数学中相对比较容易理

解，下面介绍几种不常用的构造新数列的方法

.

特征根法

类型一

：一阶递推式

a

n



1



pa

n



q

，针对问递推关系式作出一个方程

x



px



q

,

称之为特征方程，特征根为

x

1

.

若

a

1



x

1

,

< p>
则

a

n



x

1

,

n



N



;

若

a

1



x

1

，

则

a

n



b

n



x

1

< br>，

其

中

{

b

n

}

是

以

p

为

公

比

的

等

比

数

列

，

即

b

n



b

1

< br>p

n



1

,

b

1



a

1



x

1

.

类型一

对于由二阶递推式

a

n



2



pa

n



1



qa

n

< br>，给出的数列



a

n

< p>


，方程

x

2

< p>


px



q



0

，叫做数列



a

n



的特征方程

.

（

1

）

当方程有两相同的特征根

x

1

，数列



a

n



的通项为

a

n

< p>


(

A



B

)

x

1

n



1

，其

中

A

，

B

由

a

1

，

a

2

决定

,

即把

n



1

,

2

，代入

a

n



(

A



Bn

)

x

1

n



1

，得到关于

< p>
A

、

B

的方

程组，解出

A,B

后，就得到数列

< br>

a

n



的通项

.

（

2

）

当

特

征

方

程

有

两

个

相

异

的< /p>

特

征

根

x

1

,

x

2

< p>
时

，

数

列



a

n



的

通

项

为

n



1

，其中

A

，

B

由

a< /p>

1

，

a

2

决定，即把

a

1

,< /p>

a

2

,

x

1

,

x

2

< p>
和

n



1

,

2

，代入

a

n



Ax

1

< br>n



1



Bx

2

n



1

，得到关于

A

、

B

的方程组，解出

A,B

后，就得 到数列



a

n



的通

a

n



Ax

1

n

< /p>

1



Bx

2

项

.

类型二，对于分式递推式

a

n



1



pa

n



q

px



< p>
q

，可作特征根方程

x



，

c

x



d

c

a

n



d

（

1

）

当特征方程有两相同的特征根

x

1

时，

若< /p>

a

1



x

1

,

则

a

< p>
n



x

1

,

n



N



;

若

a

1



x

1

，则

a

n



1

1

c



x

1

,

n



N



,

其中

b

n

< p>




(

n



1

)

,

n



N



.

b

n

a< /p>

1



x

1

p



cx

1

（

2

）当特征 方程有两个相异的特征根

x

1

,

x

2

时，则

a

n



x

1

< p>
c

n



x

2



，

n



N

,

c

n



1

其中

c

n



a

1



x

1

p



x

1

c

n



1

< br>(

)

,

n



N



.

a

1



x

2< /p>

p



x

2

c

特征根法主要针对这三类型的递 推式，有固定的公式，相比迭代法，待定

系数法，无技巧可言

.

但计算简单，所以，当遇到此类型的题若要用此方法时，

最好正 确的记住每种类型的公式

,

然后再进行解题

.

换元法

高中函数一章 节中我们经常用换元法来解决当函数式中有根号的情

况，数列是特殊的函数，用换元法解 题省去了繁长的计算

倒数法 ：

数列中有形如

f



< br>a

n



1

,

a

n

,

a

n



1

a

n





0

的关系，如

a

n



1

a

n



a

n



1



a

n

可在

等式两边同乘以

1

a

n



1

a

n

，构造一个新等差数列，求出

1

,

再求得

a

n

.

a

n

< br>3.

数列通项公式方法的应用

例

1

：

（

2012

年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷）已知等差数列< /p>

前三项的和为

3

，前三项的积为

8

，求等差数列

{

a< /p>

n

}

的通项公式。

解：设等差数列的公差为

d

，则

a

2



a

1



d

,

a

3



a

1



2

< br>d

,

由题意得

3a

1



3

d





3

< p>
a

1

(

a

1



d

)(

< br>a

1



2

d

)



8

-

-

-

-

-

-

-

-