浙江杭州中考数学总复习资料
-
浙江中考数学总复习
代数部分
第一章：实数
基础知识点：
一、实数的分类：
正整数
整数
零
负整数
有理数
数
有限小数或无限循环小
实数
正分数
分数
负分数
正无理数
无理数
无限不循环小数
负无理数
<
/p>
p
1
、有理数：任何一个有理数总可以写
成
的形式，其中
p
、
< br>q
是互质的整数，这是有理数的重要特征。
q
2
、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽
的方根，如
2
、
3
4
；特定结构的不限环无限小数，如
1.1001
……；特定意义的数，如π、
sin
45
°等。
3
、判断一
个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。
二、实数中的几个概念
1
、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（
1
）实数
a
的相反数是
-a
；
（
2
）
a
和
b
互为相反数
a+b=0
2
、倒数：
（
1
）实数
a
（
a
≠
0
）的倒数是
1
；（
2
）
a
和
b
互为倒数
ab
1
；（
3
）注意
0
没有倒数
< br>a
3
、绝对值：
（
1
）一个数
a
的绝对值有以下三种情况：
a
,
a
0
,
a
,
a
0
a
0
a
<
/p>
0
（
2
）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到
原点的
距离。
（
3
）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确
认，再去掉绝对值符
号。
4
、
n
次方根
（
1
）平方根，算术平方根：设
a
≥
0
，称
< br>
a
叫
a
的平方根，
a
叫
a
< br>的算术平方根。
（
2
）正数的平方根有两个，它们互为相反数；
0
的
平方根是
0
；负数没有平方根。
（
3
）立方根：
3
a
叫实数
a
的
立方根。
（
4
）一个正数有一个正的立方根；
0
的立方根是
0
；一个负数有一个负的立方根。
三、实数与数轴
1
< br>、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
2
、数轴上的点和实数的对应关系：数轴
上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯
一的点来表示。实数和
数轴上的点是一一对应的关系。
四、实数大小的比较
1
、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。
2
、正数大于
0
；负数小于
0
；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。
< br>
五、实数的运算
1
、加法：
（
1
）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；
（
2
）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减
去较小的绝对值。可使用加法交换
律、结合律。
2
、减法：
减去一个数等于加上这个数的相反数。
3
、乘法：
（
1
）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。
（
2
）
n
个实数相乘，有一个因数为
0
，积就为
0
；若
n
个非
0
的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定
，
当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。
（
3
）乘法可使用乘法交换律、乘
法结合律、乘法分配律。
4
、除法：
（
1
）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（
2
）除以一个
数等于乘以这个数的倒数。
（
3
）
0
除以任何数都等于
0
，
0
不能做被除数。
5
、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。
6
、实数的运算顺序：乘方、开方为三级
运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在
同一级运算中要从左到
右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里
的运
算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。
六、有效数字和科学记数法
1
、科学记数法：设
N
＞
0
，则
N= a
×
< br>10
（其中
1
≤
a
＜
10
，
< br>n
为整数）。
2
、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是
0
的数
，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的
有效数字。精确度的形式有两种：（
1
）精确到那一位；（
2
）保留几个有效数字。
例题：
例
1
、已知实数
a
、
b
在数轴上的对应点的位置如图所示，且
a
< br>
b
。
化简：
a
a
b
b
a
分析：从数轴上
< br>a
、
b
两点的位置可以看到：<
/p>
a
＜
0
，
b
＞
0
且
a
b
所以可得：解：
原式
a
a
b
b
a
a
< br>例
2
、若
a
(
)
,
n
3
4
<
/p>
3
3
b
(
)
3
,
4
3
3
c
(
)
3
，比较
a
、
b
、
c
的大小。
4
4
3
3
分
析：
a
(
)
1
；
b
1
且
b
< br>0
；
c
＞
0
；所以容易得出：
3
4
a
＜
b
＜
c
。解：略
例
3
< br>、若
a
2
与
b
2
互为相反数，求
a+b
的值
分析：由绝对值非负特性，可知
a
2
0
,
b
2
0
，又由题意可知：
a
2
b
2
0
< br>a
b
cd
m
2
的值。
m
所以只能是：
a
–
2=0
，
b+2=0
，即
a=2
，<
/p>
b=
–
2
，所以
a+b=0
解：略
例
4
、已知
a
与
b
互为相反数，
c
与
d
互为倒数，
m
的绝对值是
1
，求
解：原式
=<
/p>
0
1
1
0
2
2
1
1
e
e
19
94
1994
e
e
0
.
125
（
2
）
例
5
、计
算：（
1
）
8
2
2<
/p>
1994
1
1994
1
解：（
1
）原式
=<
/p>
(
8
0
.
125
)
1
1
1
1
e
e
e
e
e
e<
/p>
e
e
=
e
1
1
（
2
）原式
=
2
2
2
e
2<
/p>
代数部分
第二章：代数式
基础知识点：
一、代数式
1
、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。单独一个数或者一个字母也
是代数式。
2
、代数式
的值：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代数式的值。
3
、代数式的分类：
单项式
整式
< br>有理式
< br>多项式
代数式
分式
无理式
二、整式的有关概
念及运算
1
、概念
（
1
）单项式：像
x
、
7
、
2
x
y
，这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单
项式。
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这
个单项式的次数。
单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。
（
2
）多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多
项式含有几项，就叫几项式。
多项式的次数：多项式里，次数
最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。
< br>升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多
项式按这个字母升（降）幂排列。
（
3
）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫
做同类项。
2
、运算
（
1
）整式的加减：
< br>合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。
去括号法则：括号前面是“
+
”号，把括号和它前面的“
+
”号去掉
，括号里各项都不变；括号前面是“
–
”号，把括号和它前面的
“
–
”号去掉，括号里的各项都变号。
添括号法则：括号前面是“
+
”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“
–
”号，括到括号里的各项都
变号。
整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇
到括号，先去括号，再合并同类项。
（
2
）整式的乘除：
幂的运算法则：其中
m
、
n
都是正整数
同底数幂相乘：
a
a
a
m
n
m
n
2
；同底数幂相除：
a
a
a
m
n
m
< br>n
；幂的乘方：
(
a
)
a
m
n
mn
积的乘方：
(
ab
)
n
a
n
b
n
。
单项式乘以单项
式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的
指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项
，再把所得的积相加。
多项
式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为
商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指
数作为商的一个因式。
多项式除以单项式：把这个多项式的每
一项除以这个单项，再把所得的商相加。
乘法公式：
平方差公式：
(
a
b
)(
a
b
)
a
b
；
完全平方公式：
(
a
b
)
a
2
ab
< br>b
，
(
a
b
)
a
2
ab
<
/p>
b
三、因式分解
1
、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。
2
、常用的因式分解方法：
（
1
）提取公因式法：
ma
mb
mc
m
(
a
b
c
)
（
2
）运用公式法：
平方差公式：
a
b
(
a
b
)(
a
b
)
；完全平方公式：
a
2
ab
b
(
a
b
)
（
3
）十字相乘法：
x
(
a
b
)
x
ab
(
x
a
< br>)(
x
b
)
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
2
2
2
2
2
2
2
（
4
）分组分解法：将
多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。
（
5
）运用求根公式法：若
ax
bx
c
< br>
0
(
a
0
)
的两个根是
< br>x
1
、
x
2
，则有：
2
ax
2
bx
c
a
(
x
x
1<
/p>
)(
x
x
2
)
3
、因式分解的一般步骤：
（
1
）如果多项式的各项有公因式，那么先提公
因式；
（
2
）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；
< br>（
3
）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行
的再用求根公式法。
（
4
）最后考虑用分组分解法。
四、分式
1
、分式定义：形如
A
的式子叫分式，其中
A
、
B
是整式，且
B
中含有字母。
B
（
1
）分式无意义：
B=0
时，分式无意
义；
B
≠
0
时，分式有意义。
（
2
）分式的值为
0
：
A=0
，
B
≠
0
时，分式的值等于
0
。
（
3
）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。方
法是把分子、分母因式分
解，再约去公因式。
（
4
）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算的最终结果若是分式，
一定要化为最简分式。
< br>（
5
）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相
等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。
（
6
）最简公分母：各分式的分母所有因式的最
高次幂的积。
（
7
）有理式：整式和分式统称有理式。
2
、分式的基本性质：
（
1
）
A
A
M<
/p>
A
A
M
(
M
是
0
的整式
)
；（
2
）
(
M
是
< br>0
的整式
)
< br>B
B
M
B
B
M
（
3
）分式的变号法则：分式的分子，
分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3
、分式的运算：
（
1
）加、减：同分母的分式相加减，分母不变
，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同
分母的分式再相加减。
（
2
）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。
（
3
）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。
（
4
）乘方：分式的乘方就是把分子、
分母分别乘方。
五、二次根式
1
、二次根式的概念：式子
a
(
a
0
)
叫做二次根式。
（
1
）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根
式叫最简二次根式。
（
2
）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相
同的二次根式，叫做同类二次根式。
（
3
）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理
化。
（
4
）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式
，我们就说这两个
代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：
a
与
a
；
2
、二次根式的性质：
a
b
c
d
与
a
b
c
d
）
；（
3
）
ab
a
（
1
）
(
a
)
a
(
a
0
)
；（
2
）
a
a
a
2
2
(
a<
/p>
0
)
(
a
0
)
a
b
（
a
≥
0
，
b
≥
0
）；
（
4
）
a
a
(
a
0
,
b
0
)
b
b
3
、运算：
（
1
）二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根
式后，合并同类二次根式。
（
2
）二次根式的乘法：
a
b
（
3
）二次根式的除法：
ab
（
a
≥
0
，
b
≥
0<
/p>
）。
a
b
a
(
a
0
,
b
0
)
b
二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。
例题：
一、因式分解：
1
、提公因式法：
例
1
、
24
a
< br>(
x
y
)
6
b
(
y
x
)
分析：先提公因式，后用平方差公式解：略
< br>[
规律总结
]
因式分解本着先提
取，后公式等，但应把第一个因式都分解到不能再分解为止，往往需要对
分解后的每一个
因式进行最后的审查，如果还能分解，应继续分解。
2
、十字相乘法：
< br>4
2
例
2
、（
1
）
x
5
x
36
；（
2
）
(<
/p>
x
y
)
4
(
x
y
)
12
2
2
< br>2
分析：可看成是
x
和
(x+y)
的二次三项式，先用十字相乘法，初步分解。解：略
[
规律总结
]
应用十字相乘法时，注意某一项可是单项的一字母，也可是某个多项式或整式，有时还需要
连续用十字相乘法。
3
、分组分解法：
< br>例
3
、
x
2
x
x
2
分析：
先分组，第一项和第二项一组，第三、第四项一组，后提取，再公式。解：略
[
规律总结
]
对多项式
适当分组转化成基本方法因式分组，分组的目的是为了用提公因式，十字相乘法或
公式法
解题。
4
、求根公式法：
< br>例
4
、
x
5
x
5
解：略
二、式的运算
巧用公式
< br>例
5
、计算：
(
1
2
2
3
2
1
2
1
2
)
(<
/p>
1
)
a
b
a
b
分析：运用平方差公式因式分解，使分式运算
简单化。解：略
[
规律总结
]
抓住三个乘法公式的特征，灵活运用，特别要掌握公式的几种变形，公
式的逆用，掌握运用
公式的技巧，使运算简便准确。
2
、化简求值：
例
6
、先化简，再求值：
5
x
(
3
x
5
x
)
(
4
y
7
xy
)
，其中
x=
–
1 y
=
1
2
[
规律总结
]
一定要先化到最简再代入求值，注意去括号的法则。
3
、分式的计算：
< br>2
2
2
2
a
5
16
(
a
<
/p>
3
)
2
a
6
a
3
a
2
9
分析：
–
a
3
可看成
解：略
a
3
例
7
、化简
[
规律总结
]
分式计算过程中：（
1
）除法转化为
乘法时，要倒转分子、分母；（
2
）注意负号
< br>
4
、根式计算
例
8
、已知最简二次根式
2
b
1
和
7
b
是同类二次
根式，求
b
的值。
< br>分析：根据同类二次根式定义可得：
2b+1=7
–
b
。解：略
[<
/p>
规律总结
]
二次根式的性质和运算是中考
必考内容，特别是二次根式的化简、求值及性质的运用是中考
的主要考查内容。
代数部分
第三章：方程和方程组
基础知识点：
一、方程有关概念
1
、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2
、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值
叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方
程的根。
3
、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4
、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程
的根叫做原方程的增根。
二、一元方程
1
、一元一次方程
（
1
）一元一次方程的标准形式：
ax+b=0
（其中
x
是未
知数，
a
、
b
是已知数，
a
≠
0
）
（
2
）一玩一次方程的最简形式：
ax=b
（其中
x
是未知数，
a
、
b
是已知数，
a
≠
0
）
（
3
）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数
化为
1
。
（
4
）一元一次方程有唯一的一个解。
2
、一元二次方程
（
1
）一元二次方程的一般形式：
ax
bx
c
0
（其中
x
是未知数，
a
、
b
、
c
是已知数，
a
≠
0
）
（
2
）一元二次方程的解法：
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
（
3
）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。
（
4
）一元二次方程的根的判别式：
b
4
ac
当Δ＞
0
时
方程有两个不相等的实数根；
当Δ
=0
时
方程有两个相等的实数根；
当Δ
< 0
< br>时
方程没有实数根，无解；
当Δ≥
0
时
方程有两个实数根
（
5
）一元二次方程根与系数的关系：
2
2
b
c
，
x<
/p>
1
x
2
a
a
2
（
6
）以两个数
x
1
,
x
2
为根的一元二次方程（二次项系数为
1
）是：
x
(
x
1
x
2<
/p>
)
x
x
1
x
2
0
若
x
1
,
x
2
是一元二次方程
ax
bx
c
<
/p>
0
的两个根，那么：
x
< br>1
x
2
2
三、分式方程
（
1
）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程
。
（
2
）分式方程的解法：
一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。
特殊方法：换元法。
（
3
）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为
0
的就是原方程的根；使
得最简公分母为
0
的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。
四、方程组
1
、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。
2
、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程
叫做解方程组
3
、一次方程组：
（
1
）二元一次方程组：
a
1
x
b
1
y
c
1
<
/p>
一般形式：
（
a
1
,
a
2<
/p>
,
b
1
,
b
2
,
c
1
,
c
2
不全为
0
）
a
x
b
y
c
2
2
2
解法：代入消远法和加减消元法
解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。
（
2
）三元一次方程组：
解法：代入消元法和加减消元法
4
、二元二次方程组：
（
1
）定义：由一个二元一次方程和一个二
元二次方程组成的方程组以及由两个二元二次方程组成的方程
组叫做二元二次方程组。<
/p>
（
2
）解法：消元，转化为解一元二次方程，或者降次，转化为二元一次方程组。
考点与命题趋向分析
例题：
一、一元二次方程的解法
<
/p>
例
1
、解下列方程：
（
1
< br>）
1
(
x
3
)
2
2
；（
2
）<
/p>
2
x
2
3
x
1
；（
3
）
4
(
x
3
< br>)
2
25
(
x
2
)
2
2
2<
/p>
分析：（
1
）用直接开方法解；（
2
）用公式法；（
3
）用因式分解法
解：略
[
规律总结
]
如果一元二
次方程形如
(
x
m
)
n
(
n
0
)<
/p>
，就可以用直接开方法来解；利用公式法可以解任何
一个有解的一
元二次方程，运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式。
例
2
、解下列方程：
<
/p>
（
1
）
x
a
(
3
x
2
a
b
)
0
(
x
为未知数
< br>)
；（
2
）
x
2
ax
8
a
0
分析：（
1
）先化为一般形式，再用公式法解；（
2
）直接可以十字相乘法
因式分解后可求解。
[
规律总结<
/p>
]
对于带字母系数的方程解法和一般的方程没有什么区别，在用公
式法时要注意判断△的正负。
二、分式方程的解法：
2
2
2
例
3
、解下列方程：
x
2
2
6
x
2
1
5
（
2
）
；（
2
）
1
2
2
x
x
1
x
2
1
x<
/p>
分析：（
1
）用去分母的方法；（
2
）用换元法
解：略
[
规
律总结
]
一般的分式方程用去分母法来解，一些具有特殊关系如
：有平方关系，倒数关系等的分式方程，
可采用换元法来解。
三、根的判别式及根与系数的关系
例
4
、已知关于
x
的方程：
(
p
1
)
x
2
px
p
3
0
有两个
相等的实数根，求
p
的值。
分析：由题意可得
=0
，把各系数代入
=0
中就可求出<
/p>
p
，但要先化为一般形式。
[
规律总结
]
对于根的判别式的三种情况要很熟练，还有要特别留意二次项系数不能为
0
例
5
、已知
a
、
b
是方程
x
2
x
1
0
的两个根，求下列各
式的值：
（
1
）
a
b
；
（
2
）
2
2<
/p>
2
2
1
1
a
b
分析：先算出
a+b
和
a
b
的值，再代入把（
1
）（
2
）变形后的式子就可求出解。
[
规律总结
]
此类题目都是先
算出两根之和和两根之积，再把要求的式子变形成含有两根之和和两根之积的形
式，再代
入计算。但要注意检验一下方程是否有解。
例
6
、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程
x
x
5<
/p>
0
的两个根小
3
分析：先出求原方程的两根之和
x
1
x
2
和两
根之积
x
1
x
2
再代入求出
(
x
1
3
)
(
x
2
<
/p>
2
)
和
(
x
1
3
)(
x
2
3
)
的
值，所求的方程也就
容易写出来。解：略
[
规律总结
]
此类题目可以先解出第一方程的两个解，但有时这样又太复杂，用
根与系数的关系就比较简单。
三、方程组
例
7
、解下列方程组：
2
x
y
2
z
1
2
x
3
y
3<
/p>
（
1
）
；
（
2
）
2
x
y
z
5
x
< br>2
y
5
x
y
3
z
4
分析：（
1
）用
加减消元法消
x
较简单；（
2
）应该先用加减消元法消去
y
，变成二元一次方
程组，较易求
解。解：略
[
规律总结
]
加减消元法是最常用的消元方法，消
元时那个未知数的系数最简单就先消那个未知数。
例
8
、解下列方程组：
2
2
x<
/p>
y
7
3
x
xy
4
y
3
x
< br>4
y
0
（
1
）
；
（
2
）
2
<
/p>
2
xy
12<
/p>
x
y
25
分析：（
1
）可用代入消远法，也可用根与系数
的关系来求解；（
2
）要先把第一个方程因式分解化成两个二<
/p>
元一次方程，再与第二个方程分别组成两个方程组来解。解：略
[
规律总结
]
对于一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般用代入消元法，对于两个二元二次
< br>方程组成的方程组，一定要先把其中一个方程因式分解化为两个一次方程再和第二个方程组成两个方程组来
求解。
代数部分
第四章：列方程（组）解应用题
知识点：
一、列方程（组）解应用题的一般步骤
1
、审题：
2
、设未知数；
3
、找出相等关系，列方程（组）；
4
、解方程（组）；
5
、检验，作答；
二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；
1
、工程问题
（
1
）基本工作量的关系：工作量
=
工作效率×工作时间
（
2
）常见的等量关系：甲的工作量
+
乙的工作量<
/p>
=
甲、乙合作的工作总量