人教版高中数学全册教案
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人教版数学必修二
第一章
空间几何体
重难点解析
第一章
课文目录
1
．
1
空间几何体的结构
1
．
2
空间几何体的三视图和直观图
1
．
3
空间几何体的表面积与体积
重难点：
1
、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
2
、画出简单组合体的三视图。
3
、用斜二测画法画空间几何值的直观图。
4
、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推
导。
5
、了解推导球的体积和面积公
式所运用的基本思想方法。
知识结构
：
表面积
体积
度
量
空间几何体
柱体
球体
锥体
台体
中心投影
平行投影
棱柱
圆柱
棱锥
圆锥
棱台
圆台
三视图
直观图
一、空间几何体的结构、三视图和直观图
1
．柱、锥、台、球的结构特征
（
1
）柱
<
/p>
棱柱：
一般的，有两个面互相平行，
其余
各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公
共边都互相平行，
由这些面所围成的几何体叫做棱柱；
棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的
底面，
简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；
相邻侧面
的公共边叫做棱柱的侧棱；
侧面与底
面的公共顶点叫做棱柱的顶
点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱
柱、四棱柱、五棱柱……
圆柱：
以矩
形的一边所在的直线为旋转轴，
其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做
圆柱；
旋转轴叫做圆柱的轴；
垂直于轴的边旋转而成
的曲面叫做圆柱的侧面；
无论旋转到什
么位置，不垂直于轴的边
都叫做圆柱侧面的母线。
棱柱与圆柱统称为柱体；
（
2
）锥
<
/p>
棱锥：
一般的有一个面是多边形，
其余各
面都是有一个公共顶点的三角形，
由这些面所
围成的几何体叫做
棱锥；
这个多边形面叫做棱锥的底面或底；
有公共顶点的各个三
角形面叫
做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥
的侧棱。
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底面是三角锥、四边锥、五
边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……
圆锥：
以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，
其余两边旋转
形成的曲面所围
成的几何体叫做圆锥；
旋转轴为圆锥的轴；
垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；
斜
边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。
棱锥与圆锥统称为锥体。
（
3
）台
<
/p>
棱台：
用一个平行于底面的平面去截棱锥，
底面和截面之间的部分叫做棱台；
原棱锥的
底面和截面分别叫
做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。
圆台
：
用一个平行于底面的平面去截圆锥，
底面和截面之间的部分叫
做圆台；
原圆锥的
底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；
圆台也有侧面、母线、轴。
圆台和棱台统称为台体。
（
4
）球
<
/p>
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，
半圆面旋转一周形成的几何体
叫做球体，
简称为球；
半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫
做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。
（
5
）组合体
由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。
几种常凸多面体间的关系
一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质：
名称
有两个面互相平
行，而其余每相
邻两个面的
交线
都互相平行的多
面体
平行且相等
平行四边形
棱柱
直棱柱
正棱柱
图
形
侧棱垂直于底面
的棱柱
底面是正多边形的
直棱柱
定
义
侧棱
侧面的形状
平行且相等
矩形
平行且相等
全等的矩形
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对角面的形状
平行于底面的截面
的形状
名称
棱锥
平行四边形
与底面全等的多
边形
正棱锥
矩形
与底面全等的多
边形
棱台
矩形
与底面全等的正多
边形
正棱台
图形
定义
有
一<
/p>
个
面
是
多
边形，
其余各面
是
有
一
个
公
共
顶
点
的
三
角
形
的多面体
相
交
于
一
点
但
不一定相等
三角形
三角形
底
面
是
正
多
边
形，
且顶点在底
面
的
射
影
是
底<
/p>
面
的
射
影
是
底
面
和
截
面
之
间
的部分
相
交
于
一
点
且
相等
全
等
的
等
腰
三
角
形
等腰三角形
与
底
面
相
似
的
正多边形
用
一
个
平
行
于
由
正
棱
锥
截
得
棱
锥
底
面
的
平
的棱台
面去截棱锥，<
/p>
底
面
和
截
面
之
间
的部分
延
长
线
交
于
一
点
梯形
梯形
与
底<
/p>
面
相
似
的
多边形
相
等
且
延
长
线
交于一点
全
等
的
等
腰
梯
形
等腰梯形
与
底
面
相
似
的
正多边形
两
底
中
心
< br>连
线
即高；
侧棱与底
面
、
侧
面
与
底
面、
相邻两侧面
所成角都相等
侧棱
侧面的
形状
对角面
的形状
平行于
与
底
面
相
似
的
底的截
多边形
面形状
其他性
质
高过底面中心；
侧棱与底面、
侧
面与底面、
相邻
两
侧
面
所
成
角
都相等
几种特殊四棱柱的特殊性质：
名称
平行六面体
直平行六面体
长方体
正方体
特殊性质
底面和侧面都是平行四边行
；
四条对角线交于一点，
且被该点平分
侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交
于一点，且被
该点平分
底面和侧面都是矩形；
四条
对角线相等，
交于一点，
且被该点平分
棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交
于一点，且被
该点平分
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2
．空间几何体的三视图
三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。
他具体包括：
（
1
）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；
它能反映物体的高度和长度；
（
2
）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；
< br>
它能反映物体的高度和宽度；
（
3
）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；
它能反映物体的长度和宽度；
三视图画法规则：
高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐
长对正：主视图与俯视图的长应对正
宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等
3
．空间几何体的直观图
（
1
）斜二测画法
①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的
OX
，
OY
，建立直角坐
< br>标系；
'
'
< br>②画出斜坐标系，
在画直观图的纸上
（平面上）
画出对应的
O
X
,O<
/p>
Y
,
使
X
'
OY
=45
0
（或
135
）<
/p>
，它们确定的平面表示水平平面；
‘<
/p>
③画对应图形，在已知图形平行于
X
轴的
线段，在直观图中画成平行于
X
轴，且长度
‘
保持不变；在已知图形平行于
Y
轴的线段，在直观图中画成平行于
Y
轴，且长度变为原来
的一半；
④擦去辅助线，图画好后，要擦去
X
轴、
Y
轴及
为画图添加的辅助线（虚线）
。
（<
/p>
2
）平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。
注意：
画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，<
/p>
因为多边形顶点
的位置一旦确定，
依次连
结这些顶点就可画出多边形来，
因此平面多边形水平放置时，
直
观
图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。
< br>
例题讲解：
’
’
’
’
< br>0
[
例
1]
将正三棱柱截去三个角（如图
1
所示
A
，
B
，
C
分别是
△
GHI
三边的中点）
得到几何体如图
2
，<
/p>
则该几何体按图
2
所示方向的侧视图
（或称左视图）
为
（
）
H
B
A
I
C
G
侧视
B
D
F
图
1
E
F
图
2
A
C
B
E
A
．
B
．
B
B
B
E
D
E
E
C
．
E
D
．
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[
例
2]
在正
方体
ABCD
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
，
F
分别为棱
AA
1
，
CC
1
的中点，则在空间中与
三条直线
A<
/p>
1
D
1
，
EF
，
CD
都相交的
直线（
）
A
．不存在
B
．有且只有两条
C
．有且只有三条
D
．有无数条
[
例
3]
正方体
A
BCD_
A
1
< br>B
1
C
1
D
1
的棱长为
2
，
点
M
是
BC
的中点，
点
P
是平面
A
BCD
内的一
个动点，且满足
PM=2
，
P
到直线
A
1
D
1
的距离为
5
，则点
P
的轨迹
是（
）
A
.
圆
B.
双曲线
C.
两个点
D.
直线
解析：
点
P
到
A
1
D
1
的距离为
5
，则
点
P
到
A
D<
/p>
的距离为
1
，满足此条件的
P
的轨迹
是到直线
A
D
的距离为
1
的两条
平行直线，
又
PM
< br>
2
，
满足此条件的
P
的轨迹是以
M
为圆心，半径为
2
的圆，这两种轨迹
只有两个交点
.
故点
P
的轨迹是两个点。选项为
C
。
点评：
该题考察空间内平面轨迹的形成过程
，考察了空间想象能力。
[
例
4]
两相同的正四棱锥组成如图
1
所示的几何体，可放棱长为
1
的正方体内，使正四
棱
锥的底面
ABCD
与正方体的某一个
平面平行，且各顶点
均在正方体的面上，则这样的几何
．．．<
/p>
体体积的可能值有（
）
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．无穷多个
解析：
由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形
ABCD
中心，
有对称性知正四棱锥的高为正方
体棱长的一半，
影响几何体体积的只能是正四棱锥底
面正方形<
/p>
ABCD
的面积，问题转化为边长为
1<
/p>
的正方形的内接正方形有多少种，所以选
D
。
点评：
本题主要考查空间想象能
力，
以及正四棱锥的体积。
正方体是大家熟悉的几何体，
它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。
题型
2
：空间几何
体的定义
[
例
5]
长方体
ABCD
A
1
B
1
< br>C
1
D
1
的
8
个顶点在同一个球面上，且
AB
=2
，
AD=
3
，
AA
1
1
，则顶点
A
、
B
间的球面距离是
(
)
A
．
D<
/p>
1
A
1
D
B
1
O
C
1
2
2
B
．
C
．
2
D
．
2
2
< br>4
2
解析：
BD
1
AC
1
< br>
2
R
2
2,
R
2,
设
B
D
1
AC
1
O
,
则
OA<
/p>
OB
R
2,
C
AOB
2
,
l
R
2
2
,
故
选
A
B
Ｂ
.
点评：
抓
住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。
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[
例
6]
已知
直线
m,n
和平面
< br>,
满足
m
n
,
m
a
,
<
/p>
,
则
(
)
A
.
n<
/p>
B
.
n
//
,
或
n
C
.
n
D
.
n
//
,
或
n
解析：
易知
D
正确
.
点评：
对于空间
几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。
题型
3
：空间几何体中的想象能力
[
例
7]
如图
所示，四棱锥
P
ABCD
的底面
ABCD
是边长为
1
的菱形，
BCD
< br>
60
0
，
E
是
CD
的中点，
PA
底面
ABCD
，
PA
（
I
）证明：平面
PBE
平面
PAB
；
（
II
）
求二面角
A
—
BE
—
P
和的大小。
P
A
3
。
D
E
B
C
解析：
解法一（
I
）如图所示
,
连结
BD
,
由
ABCD
是菱形且
BCD
60
知，
0
△
BCD
是等边三角形
.
因为
E
是
CD
的中点，所以
BE
⊥
CD
,
又
AB
/
/
CD
,
所以
BE
⊥
AB
,
又因为
PA
平面
ABCD
，
BE
平面
ABCD
，
所以
PA
⊥
BE
,
而
PA
AB
A
,
因此
BE
⊥
平面
PAB.
又
BE
平面
PBE
，所以平面
PBE
平面
PAB.
（
II
）由（
I
）知，
BE
⊥
平面
PAB,
PB
平面
P
AB,
所以
PB
< br>BE
.
又
AB
⊥
BE
,
所以
PBA
是二面角
A
BE
P
的平面角．
在
Rt
△
PAB
中
,
tan
PBA
PA
3,
PBA
6
0.
．
AB
故二面角
A
BE
P
的大小为
60.
解法二：如图所示
,
以<
/p>
A
为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是
3
3
1
3
3
0
，
3),
E
(1
，
，
0),
D
(
，
，
0),
P
(0
，
0).
A
(0
，
0
，
0),
B
(1
，
0
，
0),
C
(
，
，
2
2
2
2
2
（
I
）因为
BE
(0,
3
< br>，
0),
平面
PAB
的一个法向量是
n
0
<
/p>
(01
，
，
0)
,
所以
BE
和
n
0
共线
.
2
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从而
BE
⊥
平面
PAB.
又因为
BE
平面
PBE
，所以平面
PBE
平面
PAB.
0,
3),
BE
(0,
（
II
）
易知
PB
(1
，
3
，
0),
设
n
1
(
x
1
，
y
1
，
z
1
)
是平面
PBE
的一个法向量
,
2
x
1
0
y
1
3
z
1
0
，
n
PB
0
，
1
则由<
/p>
得
所以
y
1
=0
，
x
1
3
z
1
.
3
y
1
0
z
1
0
<
/p>
n
1
BE
0
0
x
1
2
0
，
< br>1).
而平面
ABE
的一个法向
量是
n
2
(
0
，
故可取
n
1
(
3
，<
/p>
01).
，
于
是
,
cos
n
1
,
n
2<
/p>
n
1
n
2
1
.
．
|
n
1
|
|
< br>n
2
|
2
故二面角
A
BE
< br>
P
的大小为
60.
点评：
解决此类题目
的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能力。
< br>[
例
8]
如图，在三棱锥
P
ABC
中，
AC
BC
2
，
ACB
90
，
AP
BP
AB
，
PC
AC
．
（Ⅰ）求证：
PC
AB
；
（Ⅱ）求二面角
B
< br>AP
C
的大小．
解析：
解法一：
（Ⅰ）取
< br>AB
中点
D
，连结
PD
，
CD
．
AP
BP
，
PD
AB
．
< br>AC
BC
，
< br>
CD
AB
．
PD
CD
D
，
P
A
C
B
P
A
B
平面
PCD
．
PC
平面
PCD
，
PC
AB
．
（Ⅱ）
AC
BC
，
AP
BP
，
△
APC
≌△
BPC
．
又
PC
AC
，
PC
BC
．
又
ACB
90
，即
AC
BC
，且
AC
A
C
D
B
P
PC
C
，
A
E
B
C
BC
平面
PAC
．
取
AP
中点
E
．连结
BE
，
CE
．
AB
BP
，
B
E
AP
．
EC
是
BE
在
平面
PAC
内的射影，
CE
AP
．
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BEC
是二面角
B
AP
C
的平面角．
在
△
BCE
中，
BCE
90
，
BC
2
，
BE
3
AB
6
，
2
sin
BEC
BC
6
．
BE
3
6
．
3
z
P
y
A
C
E
x
B
二面角
B
AP
C
的大小为
arcsin
解法二：
（Ⅰ）
AC
BC
，
AP
BP
，
△
APC
≌△
BPC
．
又
PC<
/p>
AC
，
PC
BC
．
AC
BC
C
，
PC
平面
ABC
．
AB
平面
ABC
，
PC
AB
．
（Ⅱ）如图
，以
C
为原点建立空间直角坐标系
C<
/p>
xyz
．
<
/p>
则
C
(0
，
0
，，
0)
A
(0
，
2
，，
0)
B
(2
，
0
，
0)
．
0
，
t
)
．
设
P
(0
，
PB
AB
2
< br>2
，
0
，
2)
．
t
2
，<
/p>
P
(0
，
取
AP
中点
E
，连结
BE
，
CE
．
AC
PC
，
AB
BP
，
CE<
/p>
AP
，
BE<
/p>
AP
．
BEC
是二面角
B
AP
C
的平面角．
1
，
1)
，
EB
(2
，
1
，
1)
，
E<
/p>
(011)
，
，
，
EC
(0
，
cos
BEC
EC
EB
EC
EB
2
3
．
3
2
6
3
．<
/p>
3
二面角<
/p>
B
AP
C
的大小为
arccos
< br>点评：
在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、
想图、画图的角度考查了
空间想象能力。
而对空间图形
的处理能力是空间想象力深化的标志，
是高考从深层上考查空
学
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间想象能力的主要方向。
[
例
9]
画正五棱柱的直观图，使底面边长为
3cm
侧棱长为
5cm
。
解析：
先作底面正五边形的直
观图，再沿平行于
Z
轴方向平移即可得。
作法：
（
1
）画轴：画
X
′，
Y
′，
Z
′轴，使∠
X
′
O
′
Y
′
=45
°（或
135
°）
，∠
X
′
O
′
Z
′
=90
°。
（
2
）画底面：按
X
′轴，
Y
′轴画正五边形的直观图
ABCDE
。
（
3
）画侧棱：过
A
、
B
、
C
、
D
、
E
各点
分别作
Z
′轴的平行线，并在这些平行线上分
< br>别截取
AA
′，
BB
′，
CC
′，
DD
′，
EE
。′
（
4
）成图：顺次连结
A
′，
B
′，
C
′，
D
′，
F
′，加以整理，去掉辅助线，改被遮
挡的部分为虚线。<
/p>
点评：
用此方法可以依次画出棱锥、棱
柱、棱台等多面体的直观图。
[
例<
/p>
10]
A
<
/p>
B
C
是正△
ABC
的斜二测画法的水平放置图形的
直观图，若
A
B
C
的面积
为
3
，那么△
< br>ABC
的面积为
_______________
。
解析
：
2
6
。
点评：
该题属于斜二测画法的应用，
解题的关键在于
建立实物图元素与直观图元素之间
的对应关系。特别底和高的对应关系。
[
例
11]
如图，在棱长为
1
的正方体
ABCD
A
B
C
D
中，
AP=BQ=b<
/p>
（
0<
b
<1<
/p>
）
，截面
PQEF
∥
A
D
，
截面
PQGH
∥
AD
< br>
．
D
（Ⅰ）
证明：平面
PQEF
和平面
PQGH<
/p>
互相垂直；
C
（Ⅱ）
证明：截面
PQEF
和截面
PQGH<
/p>
面积之和是定值，
并求出这个值；
（Ⅲ）若
D
E
与平面
PQEF
所成的角为
45
，求
D
E
与
平
H
A
G
B
Q
C
P
E
面
PQGH
所成角的正弦值．
B
本小题主要考查空间中的线面关系，
面面关系，
解三角形等基础知识，
考查空间想象能力与
逻辑思维能力。
解析：
解法一：
（Ⅰ）证明：在正方体中，
AD
A<
/p>
D
，
AD
AB
，又由已
知可得
D
A
F
PF
∥
A
D
，
PH<
/p>
∥
AD
，
PQ
∥
AB
，
所以
PH
PF
，
PH
PQ
，
所以
PH
平面
PQE
F
．
所以平面
PQEF
和平面
PQGH
互相垂直．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
H
A
D
C
G
B
Q
M
B
E
C
P
N
D
A
F
PF
2
AP
，
PH
2
P
A
，又截面
PQEF
和截面
PQGH
都是矩形，且
PQ
=1
，所以截面
PQEF
和截面
PQGH
面积之和是
学习必备
欢迎下载
(
2
AP
2
P
A
)
PQ
2
，是定值．
（
III
）解：连结
BC
′交
EQ
于点
M
．
因为
PH
∥
AD
，
PQ
∥
AB
，
所以平面
ABC
D
和平面
PQGH
互相平行，因此
D
E
与平面
PQGH
所成角与
D
E
与平面
ABC
D<
/p>
所成角相等．
与（Ⅰ）同理可证
EQ
⊥平面
PQG
H
，可知
EM
⊥平面
< br>ABC
D
< br>，因此
EM
与
D
E
的比值就
是所求的正弦值
．
设
AD
交
PF
于点
N
，
连结
EN
，
由
FD
1
b
知
D
E
(1
b
)
2
2
，
ND
2
2
< br>
(1
b
)
．
2
2
因为
AD
⊥平面
PQEF
，
又已知
D
E
与平面
PQEF
成
45
角，
所以
D
E
2
ND
，即
2
2
2
< br>
(1
b
)
(1
b
)
2
2
，
2
2
解得
b
1
，可知
E
为
BC
中点．
2
2
3
2
，又
D
E
(1
b
)
2
< br>
，
4
2
EM
2
．
D
E<
/p>
6
所以
EM=
故
D
E
与平面
PQCH
所成角的正弦值为
解法二：<
/p>
以
D
为原点，
射线
DA
，
DC
，
DD
′分别为
x
< br>，
y
，
z
轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系
D
－
< br>xyz
由已知得
DF
1
b
，故
A
(1
，
0
，
0)
，
A
(1
，
< br>01)
，
，
D
< br>(0
，
0
，
0)
，
D
(0
，
0
，
1)
，
z
P
(1
，
0
，
b
)
，
Q
(11
，
，
b
)
，
E
(1
b
，
1
，
0)
，
F
(1
b
，
0
，
0)
< br>，
G
(
b
，
11)
，
，
H
(
b
，
0
，
1)
．
（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得
H
A
P
D
C
G
B
Q
C
B
E
y
PQ
(
0
，
1
，，
0
)
PF
(
b
，
0
，
b
)
，
PH
(
b
1
，
0
，
1
b
)
，
AD
(
1
，
0
，，<
/p>
1)
A
D
(
1
，
0
，
1)
．
x
D
A
F
AD
PF
0
，所以
AD
是平面
PQEF
的法向量．
因为
AD
PQ
0
，
学习必备<
/p>
欢迎下载
A
D
PH
0
，所以
A
D
是平面
PQGH
的法向量．
因为
A
D
PQ
0
，
因为
AD
A
D
0
，所以
A
D
AD
，
所以平面
PQEF
和平面
PQGH
互相垂直
．
1
，<
/p>
0)
，
所以
EF
∥
PQ
，
（Ⅱ
）
证明：
因为
EF
(0
，
EF
PQ
，
又
P
F
P
Q
，
所以
PQEF
为矩形，同理
PQGH
为矩形．
<
/p>
在所建立的坐标系中可求得
PH
所以
PH
PF
2(1
b
)
，
PF
2
b
，
2
，又
PQ
1
，
所以截面
PQEF
和截面
PQGH
面积之和为
2
，是定值．
1
，
1)
，
AD
(
1
，
< br>0
，
1)
可得
< br>
（Ⅲ）解：由已知得
D
E
与
AD
成
45
角，又
D
E
(1
b
，
D
E
AD
D
< br>E
AD
2
b
(1
b
)
2
2
1
2
b
2
2
(1
b
)
2
2
1
，解得
b
2
，
2
即
1
．
2
，<
/p>
，
1
)
，所以
D
E
与平面
PQGH
所成角的正弦值为
1
，
1
，又
A
< br>
D
(
10
所以
D
E
，
1
1
2
|
cos
D
E
，
A
D
|
2
< br>．
3
6
2
2
点评：
考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、
操作能力和思维的灵活
性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向。
< br>[
例
12]
多面体上，位于同一
条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点
A
在平<
/p>
面
内，其余顶点在
的同侧，正方体上与顶点
A
相邻
的三个顶点到
的距离分别为
1
，
2
和
4
，
P
是正方体的其余四个顶点中的一个，
则
P
到平面
的距离可能是：
①
3
；
②
4
；
③
5
；
④
6
；
⑤
7
以上结论正确的为
________________________
（写出所有正确结论的
编号）
解析：
如图，
B
、
D
、
A
1
到平面
的距离分别为
1
、
C
1
2
、
4
，则
D
、
A
< br>1
的中点到平面
的距离为
3
，所以
D
1
D
1
到平面
<
/p>
的距离为
6
；
B
、
A
1
的中点
到平面
的距离为
A
< br>1
B
1
5
< br>，所以
B
1
到平面
的距离为
5
；则
D
、
B
的中点到
2
3
平面
的距离为
，所以
C
到平
面
的距离为
3
；
C
、
2
D
C
B
A
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欢迎下载
A
1
的中点到平面
的距离为
7
，所以
C
1
到平面
的距离为
7
；而
P
为
C
、
C
1
、
B
1
、
D
1
中的一
2
点，所以选①③④
⑤。
点评：
该题将计算蕴涵于射影知
识中，属于难得的综合题目。
[
例
13]
（
1
）
画出下列几何体的三视图
解析：
这二个几何体的三视图如下
（
2
）如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位
：
cm
）
点评：
画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，
< br>选择一个合适的主视方向。一般先画
主视图，其次画俯视图，
最后画左视图。
画的时候把轮廓线要画出来，
被遮住的轮廓
线要画
成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。
< br>
[
例
14]
< br>某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状
解析：
该几何体为一个正四棱锥分析
：
三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三
个视图。
点评：
主视图反映物体的主要形状特征，
主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。
而
俯视图和主视图共
同反映物体的长要相等。左视图和
俯视图共同反映物体的宽要
相等。据
此就不难得出该几何体的形状。
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二、空间几何体的表面积和体积
1
．多面体的面积和体积公式：
名称
棱
柱
棱
锥
棱柱
直棱柱
棱锥
正棱锥
棱台
棱
台
正棱台
侧面积
(S
侧
)
直截面周长×
l
ch
各侧面积之和
全面积
(S
全
)
S
侧
+2S
底
体
积
(V)
S
底
·
h=S
直截面
·
h
S
底
·
h
1
ch
′
2
各侧面面积之和
< br>S
侧
+S
底
1
S
底
·
h
3
1
(c+c
′
)h
′
2
S
侧
+S
上底
+S
下底
1
h(S
上底
< br>+S
下底
3
+
< br>S
下底
S
下底
)
表中
S
< br>表示面积，
c
′、
c
分别表示上、下底面周长，
h
表斜高，
h
′表示斜高，
l
表示<
/p>
侧棱长。
2
．旋转体的面积和体积公式：
名称
S
侧
S
全
V
圆柱
2
π
rl
2
π
r(l+r)
< br>π
r
h(
即
π
r
l)
2
2
圆锥
π
rl
π
r(l+r)
圆台
π
(r
1
+r
2
)l
π
(r
1
+r
2
)l+
π
(
r
1
+r
2
)
2
2
球
4
π
R
2
1
2
π
r
h
3
1
2
2
π
h(r
1
+r
1
r
2
+r
2
)
3
4
3
π
< br>R
3
表中
l
、
h
分别表示母线、高，
r
表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，
r
1
、
r
2
分别表示圆台
上、下底面半径，
R
表示半径。
3
．探究柱、锥、台的体积公式：
<
/p>
1
、棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，
两个底面积相等、高
也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．
柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积
S
和高
h
的积，即
V
柱体
Sh
．
2
、类似于柱
体，底面积相等、高也相等的两个锥体，它们的体积也相等．棱锥的体积
公式可把一个棱
柱分成三个全等的棱锥得到，由于底面积为
S
，高为
h
的棱柱的体积
1
V
棱锥
Sh
，所以
V
锥体
Sh
．
3
3
、台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来计算．如果台体的上、下底面
面积分别为
S
，
S
，高为
h
，可以
推得它的体积是
V
台体
4
、柱体、锥体、台体的体积公式之间关系如下：
1
h
(
S
SS
S
)
．
3
1
1
V
柱体
Sh
(
S
S
)
V
台体
h
(
S
SS
<
/p>
S
)(
S
0)
V
锥体
Sh
．
3
3
4
．探究球的体积与面积公式：
1
．球的体积：
（
1
）比较半球的体积与其等底等高的旋转体的体积
结论：
（
2
）
利用“倒沙实验”
，探索底面半径和高都为球半径的圆柱、
圆锥与半球三者体积之
V
圆锥
V
半
球
V
圆<
/p>
柱