代数式 人教版
-
代数式
一
.
本周教学内容：
代数式
［学习目标］
1.
掌握整式的有关概念和运算，理解代数式的分类，熟练运算法则；
2.
掌握因式分解的概念、方法、步骤；
3.
理解分式概念及运算
［学习重点、难点］
1.
代数式分类及定义
单项式
整式
有理式
多项式
代数式
分式
无理式
2.
求代数式的值
3.
整式的运算
（
1
）同类项
（
2
）添（去）括号法则
（
3
）整式加减
（
4
）整数指数幂及运算性质
①
a
a
·
a
·„
a
n
< br>
n
个
②
a
0
1
，
a
≠
0
③
a
n
1
，
a
≠
0
，
n
Z
a
n
④
a
m
·
a<
/p>
n
a
m
n
⑤
(
a
m
)
n
a
mn
⑥
(
ab
)
a
b
(
m
、
n
Z
)
（
< br>5
）整式的乘除
①乘法：单×单
单×多
多×多
②乘法公式
(
a
b
)(
a
b
)
a
b
(
a
±
b
)
<
/p>
a
±
2
ab
b
2
2
2
2
2
m
m
m
(
a
±
b
)(
a
2
< br>ab
b
2
)
a
3
±
b
3
a
2
b
2
(
a
b
)
2
2
ab
(
a
b
)
2
2
ab
(
a
b
)
2
(
a
<
/p>
b
)
2
4
ab
<
/p>
a
3
b
3
(
a
b
)
3
3
ab
(
< br>a
b
)
③除法：单÷单
多÷单
4.
因式分解
< br>（
1
）定义：是一种形变是多×多的逆变形。
（
2
）注意：数集，幂的形式，首项不带负号。
（
3
）方法
①提公因式
ma
mb
mc
m
(
a
b
c
)
②公式法
③分组分解法
④十字相乘法
x
< br>2
(
a
b
)
x
ab
(
x<
/p>
a
)(
x
b
)
⑤求根公式分解二次三项式的方法
b
b
2
4
ac
b
b
2
4
ac
ax
bx
c
a
(
x
)(
x
)
2
< br>a
2
a
2
b
2
4
ac
0
，
a
≠
0
（
4
）步骤：一提二套三分组
5.
分式
（
1
）若
A
和
B
均为整式，
B
中含有字母，形如
A
的式子叫做分式。
B
（
< br>2
）最简分式：分子，分母没有公因式的分式。
（
3
）分式运算：
①加减：
a
c
ad
±
bc
a
c
a
±
c
±
，特别
b
d
时，
±
b
d
bd
b
< br>b
b
a
c
ac
·
b
d
bd
a
c
a
d
ad
③
÷
·
b
d
b
c
bc
②乘：
a
n
a
n
④乘
方：
(
)
n
n
Z
b
b
6.
二次根式
< br>（
1
）形如
a
< br>(
a
0
)
叫二次根式。
（
2
）最简二次根式及同类二次根式。
（
3
）性质：
①
a
a
0
a
<
/p>
0
非负数
②
(
a
)
2
a
a
0
③
a
2
|
a
|
④
ab
a
a
0
a
a
0
a
·
b
a<
/p>
0
b
0
a
0
b
0
⑤
a
a
b
b
< br>
⑥若
a
b
0
，则
a
b
（
4
）分母有理化
（
5
）运算：加减乘除。
【典型例题】
例
1.
已知，
a
1
1
3
3
，
b
，求
a
b
ab
的值。
1
2
1
2
解：
∵
a
1
1
(
2
1
)
，
< br>b
2
1
1
2
1
2
∴
a
<
/p>
b
2
，
ab
1
∵
a
3
b
ab
3
ab
(
a
2
b
2
)
ab
[(
a
b
)
2
2
ab
]
(
1
)
·
[(
2
)
2
2
×
(
1
)]
6
∴当
a
1<
/p>
1
，
b
时，
a
3
b
ab
3
6
1
2
1
2
说明：
求代数式的值，
有时要把已知条件化简，得出字母的值或字母之间的关系，然后把它们代入化简（或变形）
后的所要求值的代数式里，进行计算求值。
例
2.
计算：
（
1
）
1
5
3
1
a
b<
/p>
÷
(
a
3
b
)
·
(
3
a
)
2
；
2
4
（
2
）
(
3<
/p>
xy
3
12<
/p>
x
4
y
2
)
÷
3
xy
(
x
2
2
xy
)
·
4
x
2
解：
（
1
）
1
5
3
1
a
b
÷
(
a
3<
/p>
b
)
·
(
3
a
)
2
2
4
1
5
3
1
a
b
÷
(
a
3
b
)<
/p>
·
9
a
2
2
4
1
4
a
< br>5
b
3
×
(
3
)
·
9
a
2
2
a
b
18
a
4
b
2
（
2
）
(
3
xy
3
12
x
4
y
< br>2
)
÷
3
xy
(
x
2
2
xy
)
·
4
x
2
y
2
4
x
3
y
4<
/p>
x
4
8
x
3
y
y
4
x
y
4
x
2
3
4
说明：
正确运用幂的运算法则是进行幂的运算的关键。单项式相
乘除时，要注意运算顺序，先做乘方，然后按从左
到右的顺序做乘除法。
例
3.
计算：
（
1
）
8
x
2
(
x<
/p>
2
)(
3
x
1
)
2
(
x
1
)(
x
5
)
；
（
2
< br>）
(
2
a
b
1
)
2
(
a
2
b
1
)
2
(
a
b
< br>
1
)(
a
b
1
)
；
解：
（
1
）
8
x
2
(<
/p>
x
2
)(
3
x
1
)
2
(
x
1
)(
x
5
)
8
x
2
(
3
x<
/p>
2
5
x
2
)
2
(
x
2
4
x
5
)
8
x
2
<
/p>
3
x
2
5
x
2
2
x
2
8
x
10
3
x
2
13
x
12
（
2
）
(
2
a
b
<
/p>
1
)
2
(
a
2
b
1
)
2
(
a
b
1
)(
a
b
1
)
[(
2
a
b
1
)
(
a
2
b
1
)][(
2
a
< br>b
1
)
(
a
2
b
1
)]<
/p>
[
a
(
b
1
)][
a
(
b
1
)]
3
(<
/p>
a
b
)(
a
b
2
)
a
(
b
< br>1
)
2
2
3
(
a
b
)(
a<
/p>
b
)
6
(
a
b
)
a
2
(
b
2
2
b
1
)
4<
/p>
a
2
4
b
2
6
a
4
b
1
例
4.
把下列各式分解因式：
（
1
）
x
x
y
xy
y
；
（
2
）
x
y
< br>
y
2
2
2
2
3
2
2
3
1
；
4
（<
/p>
3
）
x
y
1
2
xy
；
（
4
）
x
y
1
xy
< br>；
2
2
2
（
5
）
4
x
2
y
2
1
4
x
2
y
< br>2
解：
（
1
）
x
< br>3
x
2
y
xy
2
y
3
x
2
(
x
y
)
y
2
(
x
y
)
< br>
(
x
y
)(
x
2
y
2
)
(
x
y
)
(
x
y
< br>)
2
2
（
2
）
x
y
<
/p>
y
2
1
4
1
x
2
(
y
2
y
)
4
1
x
2
(
y
)
2
2
1
1
(
x
< br>
y
)(
x
y
)
2
2
（
3
）
x
2
y
2
1
2
xy
1
(
x
2
2
xy
y
2
)
(
1
x
y
)(
1
x
y
)
（
4
）
x
< br>2
y
2
1
xy
2
(
x
2
< br>1
)
y
2
(
x
1
)
(
x
1
)(
x
1
y
2
)
（
5
）
4
x
2<
/p>
y
2
1
4
x
2
y
2
(
4
x
2
4
x
2
y
2
)
<
/p>
(
y
2
1
)
(
y
1
)(
4
x
1
)
2
2
(
y
2
1
)(
2
x
1
)(
2
x
< br>1
)
说明：
用分组分解法分解因式，关键在于分组后各组之间是否有公因式可以提取，分组的目的是为前三种方 法创造
条件。
对于四项的多项式，经常需要先判断是“二、二分组”还是“一、三分组”。能“一、三分组”的多项
式的特点是，
有三项的绝对值能表示成完全平方形式，
而且这三
项异号，
其中同号的两项能与多项式中的剩余项配成完全平方形式
（如
第（
2
）、（
< br>3
）题）。对于不符合这个特点的四项多项式，可结合它们各项系数之间的规律考
虑“二、二分组”。用第
一项分别与第二、三、四项分组进行试验，一般都能找到两种恰
当的分组方法。
例
5.
把下列各式分解因式：
（
1
）
x
4
xy
4
y
2
x
4
y
3
；
2
2