建模论文(范文)
-
2015
南昌大学第十二届数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了南昌大学数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上
咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的
,
如果引用别人的成果或其他公开的资料
（包括网上查到的资料）
，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献
中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平
性。如有违反竞赛规则
的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从
A/B<
/p>
中选择一项填写）
：
.
报名序号是
(
< br>没有或不清楚可不填
):________________.
参赛队员
(
打印并签名
)
：
所属院系（请填写完整的全名）
：
1.
张
三
签名
:_
____________
__
院系
:
南大共青学院
2.
李
四
签名
:_
_____________
_
院系
:
南大共青学院
3.
王
五
签名
:_
______________
院系
:
南大共青学院
日期：
2015
年
6
月
2
日
2015
南昌大学第十二届数学建模竞赛
编
号
专
用
页
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评阅记录：
评
阅
人
备
注
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
摘
要
嫦娥三号登月对我国有重大意义，为保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，本
文用机理分析法，归纳演绎法，图像处理，软件计算等手法对题目所给条
件和附件所传
达的信息进行了分析、解读，得出了嫦娥三号在
着陆准备轨道上的近月点的速度
1692.2
m
/
s
，在远月点上的速度
1613.9
m
/
s
，方向均为沿运动方向切向向前，再以近月
点线速度开始模拟软着陆过程，
在
6
个阶段的软着陆中，
准备轨道阶段
进行了姿态调整，
使主推进器方向与竖直方向成
73
9 '59
，
待进入主减速阶段后始终使主推进器方向始终
与竖直方向保持在
73
9 '59
，
并启动主推进器使其推力保持在最大值
7500N
持续
353.3
s
< br>之后，进入快速调整阶段，该阶段用于方向调整关闭主推进器
t
< br>2
9.2953
s
，用姿态推进
器调整方向时主推进器
方向竖直向下以获取高程图，并进入粗避障阶段，调整姿态使主
推进器向
UA
（见图
2.4.2
）延长线方向偏移
4
1'30
用
4018.35N
的推力推动
31.9s
后，
再调整姿态使主推进器向
A
所在方向偏
4
1'30
用相同的推力推动相同的时间后进入精
避障阶段，
快速调整姿态使主推进器向
P
A
延长线方向倾斜
49
11'19
以
1500N
的力进行
推进
6.125s
后，快速调整主推进器使其向
P
方向倾斜
49
11'19
并以相同的推力推进相
同的时间后，转而进入缓速下降阶段，该阶段以
5832.556N
的力竖直向下推进，
2.221s
之后关闭主发动机，进行起始高度为
4m
自由落体，
2.216s
后模拟软着陆完成。路线设
计完成后
本文又对运行轨迹的敏感性和误差进行了分析，
并对地球造成的万有引力进行
7
了考虑，该考虑可使整个软着陆过程节省
mt
0
9
.18
10
kg
的燃料。
关键词：
软着陆；归纳演绎法；机理
分析法；
lingo11
；
matla
b
1
一、问题的重述
2013
年
12
月
2
日
1
时
30
分成功发射，
12
月
6
日抵达月球轨道。嫦娥
嫦娥三号于
三号在着陆准备轨道上的运行质量为
2.4t
，其安装在下部的主减速发动机能够产生
1500N
到
7500N
的可调节推力，
2940
m/s
，
其比冲
（即单位质量的推进剂产生的推力）
为
< br>可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的
推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥
三号
19.51W
，
44.12N
，海拔为
-2641m
< br>。
的预定着陆点为
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域
内实现软着陆，关键
问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着
陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月
点
15km
，远月点
100km
的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程
共分为
6
个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料
消耗。
根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：
（
1
）确定
着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与
方向。
6
个阶段的最优控制策略。
（
2
）确定嫦娥三号的着陆轨道和在
（
3
）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应
的误差分析和敏感性分析。
二、问题的分析
2.1
问题一
拱点在天文学上的意义是在椭圆轨道上运行的天体最接近或最
远离它的引力中心，
通常也就是系统的质量中心的点。在阿波
罗计划中，环绕月球的轨道上，最常用的是近
月点和远月点来描述拱点。
结合数学中的椭圆的性质和物理中的天体运动公式可以对近月点和远月点的速度
进行计算，在外力介入前在同一位置的运动速度和运动方向始终不变。
2.2
问题二
<
/p>
该问题共有
6
个阶段，每个阶段需要做的
操作和调整除了题目本身所加的限制之
外
还要看之前一个阶段所处的状态，也就是说
6
个阶段里每个
阶段都相互限制，若第
一个
阶段少考
虑了某因素则相当于整个运算所算出的结果几乎没有现实意义。
每个阶段都有若干个未知量需要用微分求解，
如果为追求模型的简单易行则需要进
行适当的估算才能，对下一个阶段进行求解，若某一个阶段错误估
计则后面的求解就可
能出现巨大的偏差。
2.3
问题三
该问题完全是为了进一步完善问题二，对问题二的合理性进行分析，原问题并不属
<
/p>
于数据处理类的题目，无法进行预测检验，以及走势检验，所以并不适合纯数据类的误
差分析，反而更加适合对某些估算值的误差进行文字性的分析，若
有能力找到标准答案
进行误差分析，就反而没有必要进行误差
分析，不如直接在问题二中求解出最完美的答
2
案，所以问题三的额外作用应该
是对模型假设的合理性进行判断。
三、模型的假设
< br>1
、嫦娥三号绕月飞行轨道恰好满足开普勒第一定律，即月球刚好是嫦娥三号准备
着陆椭圆轨迹的一个焦点。
2
、姿态调整消耗燃料非常少，可以忽略不计。
3
、姿态调整花费时间很短，认为瞬间完成。
4
、在登陆月球之前，姿态调整发动机可以使主发
动机保持在任何一个角度。
5
、着陆
准备轨道过虹湾区两短边中点正对上方坐标。
6
、
月球自转约周期约为地球自转周期的
1/29
，而整个软着陆过程只有
750
秒左右，
所以不考虑月球自转带来的影响。
7
、在图示中由于嫦娥三号卫星的形状对问题研究没有影响，故此在图示中只作为
质点，用小圆点表示，主推进器喷出火焰方向用带箭头的线段表示。<
/p>
8
、模型求解过程中搜集的资料准确无
误。
9
、每次相机进行拍摄时，相机
所呈图像都为卫星正下方区域，即若不水平移动定
会降落拍摄图片的几何中心处。
10
、嫦娥三号着陆过程中没有任何物体对嫦娥三号进行撞击。
四、符号的说明
m
v
r
w
v
h
T
a
b
l
G
M
R
c
F
thru
st
面积速度
卫星到月球中心的距离
角速度
速度
高度
周期
轨道半长轴
轨道半短轴
半正焦弦
万有引力常数
月球质量
月球半径
半焦距
发动机的推力，单位是牛顿
v
x
v
y
t
i
g
i
水平方向速度
竖直方向速度
i
取
1~4
，各阶段运动时间
i
取
1~4
，各阶段重力
i
取
1~
3
，各阶段主推进器方向与
竖
直方向的夹角
i
取
1~2
，各阶段质量
质量差
i
取
1~3
，各阶段速度
i
取
1~
4
，各阶段与月心之间的距
离
i
取
1~2
，各阶段合外力
有竖直分速度的时间
地球吸引力造成
m
地球吸引力产生的加速度
水平位移
i
m
i
m
v
i
r
i
F
i
t
0
m
1
地
x
a
3
v
e
m
a
xi
a
yi
是
以米
/
秒为单位的比冲
单位时间燃料消耗的公斤数
y
竖直位移
对应月心的圆心角
i
取
1~5
，
各阶段
水平方向加速度
i
取
1~5
，各阶段竖直方向加速度
a
合
总加速度
五、模型的建立与求解
5.1
问题一的模型建立与求解：
拱点在天文学上的意义是在椭圆轨道上运行的天体最接近或最远离它的引力中心，
通常也就是系统的质量中心的点。在阿波罗计划中，环绕月球的轨道
上，最常用的是近
月点和远月点来描述拱点。
于是只需
求出椭圆拱点处的速度即可，下面将对拱点速度进行推导：
为便于公式的
m
，轨道运行周期为
T
,
轨道半长轴为
a
，
推导，设：嫦娥三号质量为
c
，面积速度为
w
，月球平均半径为
m
v
，角速度为
轨道半短轴为
b
，半焦距为
R
，卫星
v
。
r
，半正焦弦为
l
，运行速度为
到月球中心的距离为
m
v
1
r
2
w
1
rv
面积速度公式
2
2
h
=2
m
v
,
可得
令
h
2
m
v
r
v
（
1
）
h
m
v
，
根据
开普勒第二定律，
星星在单位时间内扫过的面积是常数
即
但在周期
T
内，
2
星星扫过的面积等于椭圆面积
ab
，由于假设
1
，所以同样适用于嫦娥三号与月球系统
中（下文同理不再赘述）
：
1
hT
ab
2<
/p>
即
T
2
ab<
/p>
h
两边同时平方
2
2
2
4
a b
T
h
2
2
由解析几何可知
b
2
al
4
2
a
3
h
2
2
T
l
（
2
）
将其代入上式
（
3
）
4
<
/p>
将
（
1
）
式代入
（
3
）
得
4
2
a
3
(
r
v
)
2
2
T
l
（
4
）
根据牛顿力学导出式
4
2
a
3
GM
[1]
2
T
将（
4
）式
代入（
3
）中可得
（
5
）
(
rv
)
2
GM
l
v
GMl
r
（
6
）
即
2
b
a
、
c
即可
由（
2
）式变式可得
l
，且在椭圆解析几何中
b
2
a
2
c
2
,
只需解出
a
算出
l
以及拱点速度：
1
a
(2
R
100
15)
1794.513
km
2
c
a
R
15
42.5
km
a
2
c
2
l
1793.516
km
a
将
l <
/p>
代入（
6
）式可算得
v
远
GMl
r
=1613.9
m
/
s
速度
方向为过远月点的切线方向且沿运动方向向前，与嫦娥三号姿态无关
GMl
1692.2
m
/
s
v
近
r
速度方向为过近月点的切线方向且沿运动方向向前，与嫦娥三号姿态无关
5.2
问题二的模型建立与求解：
（
1
）第一阶段（着陆准备轨道）
5
2.1.1
图
建立如
图所示月心系，由于月球半径较小，主减速阶段产生位移较大，所以单独一
个直角坐标系并不方便描述操作，于是在每个瞬间都以月球表面切线为水平面，即嫦娥
三号的位置与月心的连线总为
Y
轴，且始终认为
Y
轴即为竖直方向
,X
轴正方向总为附
1
中虹湾区向右延伸方向。
件
研究落
月并不需要考虑整个月球，只需考虑包括虹湾区在内的小区域即可，故此对
月心系进行局部放大：
2.1.2
图
由题目本身可知预定着陆点的海拔为
-2641
米，而虹湾区又为预定着陆区，故此直
接认为虹湾区的平均海拔为
-2641
米，据附件
1
可知虹湾区总长
356
千米，于是虹湾区
对应的角度为
13
31'14
，嫦娥三号将在此区域内着陆。
在
该阶段时几乎不消耗燃料，该阶段主要操作为调整嫦娥三号姿态，使其能够在进
入最佳着陆时间段之前做好姿态的调整，即在图
2.1.1
中近月点位置的坐标系下将主发
6