A. Mie米散射理论基础
-
米散射（
Mie
scattering
）
;
又称
“
粗粒散射
”
。粒
子尺度接近或大于入射光波
长的粒子散射现象。德国物理学家米
(Gustav Mie,1868
—
1957)
指出
,
其散射光强
在各方向是不对称的
,
顺入射方向上的前向
散射最强。粒子愈大
,
前向散射愈强。
米散射
当球形粒子的尺度与波长可比
拟时，必须考虑散射粒子体内电荷的三维分
布。
此散射情况下，
散射粒子应考虑为由许多聚集在一起的复杂分子构成，
它们
在入射电磁场的作用下
,
形成振荡的多极子
,
多极子辐射的电磁波相叠加，就构成
散射波。
又因为粒子尺度可与波长相比拟，
所以入射波的相位在
粒子上是不均匀
的，
造成了各子波在空间和时间上的相位差。<
/p>
在子波组合产生散射波的地方，
将
出现相
位差造成的干涉。
这些干涉取决于入射光的波长、
粒子的大小、
折射率及
散射角。当粒子增大时，造成散射强度变化的干涉也增
大。因此，散射光强与这
些参数的关系
,
不象瑞利散射那样简单
,
而用复杂的级数表达，该级数的收敛
相当
缓慢。这个关系首先由德国科学家
G.
米得出，故称这类散射为米散射。它具有
如下特点：
①散射
强度比瑞利散射大得多，
散射强度随波长的变化不如瑞利散射
那
样剧烈。
随着尺度参数增大，
散射的总能量很快增加，
并最后以振动的形式趋
于一定值。
②散射光强随
角度变化出现许多极大值和极小值，
当尺度参数增大时，
极值的
个数也增加。
③
当尺度参数增大时，
前
向散射与后向散射之比增大，
使粒
子前半球散射增大
。
当尺度参数很小时，
米散射结果可以简化为瑞利
散射；
当尺
度参数很大时，
它的结果又
与几何光学结果一致；
而在尺度参数比较适中的范围
内，
只有用米散射才能得到唯一正确的结果。
所
以
米散射计算模式能广泛地描述
任何尺度参数均匀球状粒子的散射特点。
< br>
19
世纪末，英国科学家瑞利首先解释了天空的蓝色：
在清洁大气中，起主
要散射作用的是大气气体分子的密度涨落。
分子散射的光强度和入射波长四次方
成反比，因此在发生大气分子散射的日光中，紫、蓝
和青色彩光比绿、黄、橙和
红色彩光为强，最后综合效果使天穹呈现蓝色。从而建立了瑞
利散射理论。
20
世纪初，德国科学
家米从电磁理论出发，又称粗进一步解决了均匀球形
粒子的散射问题，建立了米散射理论
，
粒散射理论。质点半径与波长
接近时
的
散射，
特点：
粗粒散射与波长无关，
对
各波长的散射能力相同，
大气较混浊时，
大气中悬浮较多的的尘
粒与水滴时，天空呈灰白色。
米散射理论是由麦克斯韦方程组
推导出来的均质球形粒子在电磁场中对平面
1
波散射的精确解。
一般把粒子直径与入射光波长相当的微粒子所造成的散射称
为
米散射。米散射适合于任何粒子尺度
,
只是当粒子直径相对于波长而言很小时利
用瑞利散射、
很大时
利用夫琅和费衍射理论就可以很方便的近似解决问题。
米散
射理
论最早是由
G
1
Mie
在研究胶体金属粒子的散射时建立的。
1908
年
,
米氏通过电磁波的麦克斯韦方程
,
解出了一个关于光散射的严
格解
,
得出了任意直径、任意成分的均匀粒子的散射规律
,
这就是著名的米氏理论
[4 -
6 ]
。根据米散射理论
,
当入射光强为
I0 ,
粒子周围介质中波长为<
/p>
λ
的自然光平行
入射到直径为
D
的各向同性真球形粒子上时
,
在散射角为
θ
,
距离粒子<
/p>
r
处的散
射光和散射系数分别为
:
从上式中可以看到
,
因为是各向同性的粒子
,
散射光强的分布和
φ
角无关。同时
,
上式中
:
i1
、
i2
为散射光的强度函数
; s1
、
s2
称为散射光的振幅函数
; a
为粒子的尺寸
参数
( a
=
π
D/
λ
) m = m1 +im2
为粒子相对周围介质的折射
率
,
当虚部不为零
时
< br>,
表示粒子有吸收。对于散射光的振幅函数
,
有
:
式中
an
、
bn
为米散射系数
,
其表达式为
:
其中
:
2
是半奇阶的第一类贝塞尔函数
;
是第二类汉克尔函数
;
Pn
(cos
θ
)
是第一类勒让德函数
; P(1)n
(cos
θ
)
是第一类缔合勒让德函数。
M ie
散射理论
M ie
散射理论是麦克斯韦方程对处在均匀介质中的均匀颗
粒
在平面单色波
照射下的
严格数学解。
由
M ie
散射知道
,
距离散射体
r
处
p
点的散射光强为
式中
:
为光波波长
; I 0
为入射光强
; I
sca
为散射光强
;
为散射角
;
为偏振
光的偏振角。
式中
:
S<
/p>
1
(
)
和
S
2
(
)
是振幅函数
; an
和
bn
是与贝塞尔函数和汉克尔函数有关
的函数
;
< br>
n
和
n
是连带勒让得函数的函数
,
仅与
散射角
有关。其中
3
式中
:
n
(
)
和
n
(
)
分别是贝塞尔函数和第一类汉克尔函数
;
n
(
)
和
n
(
)
是
n
(
)
和
<
/p>
n
(
)
的导数
;
为无因次直径
,
< br>
D
, D
为颗粒的
实际直径
;
是入射光的波长
; m
是散射颗粒相对于周围介质的折射率
,
它是一
个复数
,
虚部是颗粒对光的吸收的量化。由以上公式可见
,M ie <
/p>
散射计算的关键
是振幅函数
S
1
(
)
和
S
2
(
)
,
它们是一个无穷求和的过
程
,
理论上无法计算。
求解
振幅函数的关键是计算
an
和
bn ,
所以
M ie
散射的计算难点是求解
an
和
bn
。
M ie
散射理论的数值计算
通过以上分析可知
, M ie
散射计算的核心是求解
an
和
bn ,
我们编制程序也
是围绕它进行编写。在
an
和
bn
的表达式中
< br>
n
(
)
,
n
满
足下列递推关系
:
(
)
,
< br>n
(
)
和
n
(
)
这些函数的初始值为
;
与散射角有关的
n
(<
/p>
)
和
n
(
)
满足下列递推公式
:
4
有了这
些递推公式可以很方便地通过计算机程序求解。但是对于
n
的大小
,
因为计算机不可能计算无穷个数据
,
所以
n
在计算之前就要被确定。
散射理论基础与
Matlab
实现
若散射体为均匀球体
,
如图
1
所示
,
照射光为线偏振平面波
,
振幅为
E ,
光强
I0
,
沿
z
轴传播
,
其电场矢量沿
x
轴振动。散射体位于坐标原点
O , P
为观测点。散射
光方向
( OP
方向
)
与照射光方向
( z
轴
)
所组成的平面称为散射面
,
照射光方向
至散射光方向之间的夹角
θ
称为散射角
,
而<
/p>
x
轴至
OP
在
xy
平面上投影线
(
OP
′
)
之间的夹角
φ
称为极化角。观测点与散射体相距
r
。根据经典的
Mie
散射理论
,
散射粒子的尺度参数为
α
< br>
= 2
π
a/
λ
,
其中
a
为球形粒子的半径
,
散射粒子相对周
< br>围介质的折射率为
m = m1 +i
*
m2
。则散射光垂直于散射面和平
行于散射面的两
个分量的振幅函数为
:
5
以上式中：
J n+1/ 2 ( z )
和
Y
n+1/ 2 ( z )
分别为半整数阶的第一类
,
第二类贝塞尔函数。
P
(1)
n
(cos
θ
)
为一阶
n
次第一类缔合勒让德函数
; Pn
(cos
θ
)
为第一类勒
让德函数。在数值模拟过程中选取初始下
:
6
微粒
子对光的散射和吸收是电磁波与微粒子相互作用的重要特征
,
而
微粒对
电磁辐射的吸收与散射与粒子的线度有密切关系
,
对于不同线度的粒子必须应用
不同的散射理论。
Mie
散射理论主要用于从亚微米至微米的尺寸段
;
在微米以下
至纳米的光散射则近似为形式更明晰简单的瑞利散射定律<
/p>
,
散射光强烈依赖于光
波长
λ
( I
～
λ
射规律了。
Mie
散射理
论给出了球型粒子在远场条件下的散射场振幅
an
、
bn
以及粒子
内部电磁场振幅
cn
、
dn
的计算表达式
,
通常称为
Mie
散射系数
-
4
)
;
而对大于微米至毫米的大粒子
则近似为意义明确的夫朗和费衍
式中
m
表示微粒子外部介质的相对折射率
,x
=
κ
a ,a
为球的半径
,
κ
= 2
π
/
λ
称为波数
,
μ
为相对磁导率
,
即球
的磁导率与介质磁导率的比值
,j
n(x)
和
h
(1)
n
(x)
分
别为第一类虚宗量
球
Bessel
函数和
Hankell
函数。
散射系数
,
消光系数及偏振状态下散射相位函数：
7
散射截面
σ
吸收截面
σ
abs
(
吸收率
Q
abs
)
、
消光截面
σ
ext
(
消光
sca
(
散射率
Q
sca
)
、
率
Q
ext
)
、后向散射截面
σ
b
< br> (
后向散射率
Q
b
)
以及辐射压力
σ
pr
(
辐射压力效率
Q
pr
)
。其表达式如下
:
其中
i
为
sca
、
abs
、
ext
、
pr
分别表示散射、吸收、消光、
辐射压力。按照
能量守恒定律有
:
Q
pr
（辐
射压力效率的计算公式）
:
Q
b
（后向散射系数）
：
给出了级数项最大值取舍的标准
:
这些都是无穷级数求和
,
在实际计算过程中
必须取有限项
,Bohren
和
Huffman
对于单位振幅入射
波经微粒散射后
,
其散射场振幅的大小与散射角有关
,
在球
坐标系下
,
远场散射振幅的大小为
:
8