例析平面直角坐标系中三角形面积的求法
-
例析平面直角坐标系中面积的求法
我们常常会
遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题
.
解题时我们要注
意其中的解
题方法和解题技巧
.
现举例
说明如下
.
一、有一边在坐标轴上
例
1
如图
1
，平面直角坐标系中，△
ABC
的顶点
坐标分别为（－
3
，
0
），（
0
，
3
），
（
0
，－
1
），你能求出三角形
ABC
的面积吗？
分析：
根
据三个顶点的坐标特征可以看出，
△
ABC
的边
BC
在
y
轴上，
由图形可得
BC
＝
4
，
点
A
到
BC
边的距离就是
A
点到
y
轴的距离，也就是
< br>A
点横坐标的绝对值
3
，然后根
据三角
形的面积公式求解
.
解：
因为
B(0,3),C(0,-1),
所以
BC=3-
（
-1
）
=4.
因为
A(-3,0),
所以
A
点到
y
轴的距离，
即
B
C
边上的高为
3
，
二、有一边与坐标轴平行
例
2
如图
2
，三角形
ABC
三个顶点的坐标分别为
A
（
4
，
1
），
B
（
4
，
5
），
C
（
-1
，
2
），
求三角形
ABC<
/p>
的面积
.
1
分析：
由
A
（
4
，
1
），
B
（
4
，
5
）两点的横坐标相同，可知边
AB
与
y
轴平行，因而<
/p>
AB
的长度易求
.
作
AB
边上的高
CD
，
则
D
点的横坐标与
A
点的横坐标相同，
也是
4
，
这样就可求
得线段
CD
的长，进而可求得三角形
ABC
的面积
.
解：
因为
A
，
B
两点的横坐标相同，所以边
AB
∥
y
轴，所以
AB=5-1=4.
作
AB
边上的高
CD
< br>，
则
D
点
的
横
坐
标
为
4
，
所
以
CD=4-
（
-1
）
=5
，
所
以
2
=
.
三、三边均不与坐标轴平行
例
3
如图
2
,
平面直角坐标系中，已知点
A
（
-3
，
-1
），<
/p>
B
（
1
，
3
），
C
（
2
，
-3
），你
能求出三角形
ABC
的面积吗？
3
分析：
由
于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另
想办法
.
根据平面直角坐标系的特点，
可以将三角
形围在一个梯形或长方形中，
这个梯形
（长
方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行
.
这样，梯形（长
方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边
缘部分的直角三角形的面积，即可
求得原三角形的面积
.
解
：如图，过点
A
、
C
分别作平行于
y
轴的直线，与过点
B
平行于
x
轴的直线交于点
D
、
E
，则四边形
ADEC
为梯形
.
因为
A
（
-3
，
-1
），
B
（
1
，
3
），
C
（
2
，
-3
），所以
AD
＝
4
，
CE=6
，
DB=4<
/p>
，
BE=1
，
D
E
＝
5.
所
以
=
4