牛顿的流数术
-
6.4
牛顿的流数术
牛顿微积分理论研究的
工作大致经历了三个阶段：第一阶段，像他的
前人那样使用静态的无穷小量观点，凭借二
项式定理的推广形式，使微积
分的计算方法变得程序化；第二阶段，用变量流动生成法，
创造了流数术
基本概念体系；第三阶段则用“最初比与最末”方法完善其流数术的思想。
在不断的发展和变化中形成了其特有的微积分理论体系。
6.4.1
二项式定理的推广
对于
（
a
+
b
< br>）
的展开式中系数的表述，
在杨辉
（
1261
年）
和帕斯卡
（
1653
年）的著作中已经出现。而牛顿对它的
贡献在于：给出了求二项式系数的
公式，并且将指数
n
从整数推广到了有理数和负数（大约
150
年后
，挪威
数学家阿贝尔证明了所有复指数都成立的二项式定理）。尽管牛顿没能对
自己的发现提供完整的证明，但他的见识和直觉，以及巧妙的应用，都十
分令人叹服。
1676
年，牛顿在给友人的信中，提到了自己早
年发现的二项
式定理，使用现代的方法它可以表示为
：
n
=1+
Q+
其
中
牛
顿
写
到
：“
用这
一
定
理
进
行
开方
运算
非
常
简
便
”。
例
如求
的近似值的方法如下：
7 =
9
（
）
= 9
（
1
－
），则
3
代入牛顿二项式定理，并取前
6
项，
得：
=
= 3
（
1
－
－
－
－
－
）
= 2.645 76
如果取二项式展开式中更多项，就可以得到更精确的近似值。
牛顿二项式定理是他在
1665
年大学
期间得到的，
其中涉及到无穷级数，
这为他的微积分研究提供了
工具。牛顿应用无穷级数，建立了曲线下面积
的计算方法，其基本原理相当于现今的积分
法则“和函数的积分是各函数
积分的和”。这使得积分学的研究取得了突破性的进展。<
/p>
1669
年牛顿写了第一篇有关微积分
的论文。这篇论文沿袭了费马、巴
罗所使用的无限小算法思想，借助于二项式定理而拓广
了无限小算法的应
用范围。
在这篇论文中，
牛顿采用了面积无限小矩形
（牛顿称之为
“瞬”
）
，
亦即无穷小增量的思想。他指出：如果平面曲
线下的面积（曲边梯形）面
积
的
公
式
是
则
曲
线
的
公
式
是
y
=
。
事实上
，假如横坐标的瞬或无限小增量为
o
，则新的横坐标是
x
+
o
，
面积为
Z
+
oy
=
a
用<
/p>
二项式
定理
把
Z
=
那些包含
o
的项，结果就是
展开，
减掉
o
除两边，
最后舍去
。
，然后用
牛
顿
进
一
步
指
出
：
反
之
，
如<
/p>
果
曲
线
是
，则曲线下的曲边梯形的面积便是
Z
=
。
牛顿运用二项式定理进行微积分
的计算，使他的方法可以适用于更加
广泛的函数，而不再象费马等人的方法只适用于有理
函数。在牛顿以前都
是把求积问题归结为无限小量求和问题，而牛顿则首先确定面积的瞬
间变
化率，这个量就是曲线的纵坐标，然后把这一关系颠倒过来而达到求积分
的目的。求切线问题与求积问题是互逆关系，牛顿的老师巴罗已经知道，
给
出了一条纯粹几何的命题。牛顿的贡献，是把它转化成微分和积分两种
运算的互逆关系。
在这篇论文中，牛顿还给出了求不定积分运算的若干条性质，
用现在
的符号表示是：
k y
d
x =
k
·
y
d
x
，
y
1
d<
/p>
x
±
y
2
d
x =
（
y<
/p>
1
±
y
2
）
d
x
等等。
6.4.2
流数法
1671
年，牛顿在其《流数法与无穷级数》中给出了流数法的概念和符
号。牛顿把一条曲线
看作是由一个点的连续运动生成的，而时间是基本的
自变量。依照这个概念，生成点的横
坐标和纵坐标，一般是变动的量。变
动的量被称为流（
Flue
nt
），流的变化速度（即变化率）称为它的流数
（
Fluxion
）
。
如果
一个流
（比如，
生成一条曲线的点的纵坐标）
< br>用
y
表示，
< br>则这个流的流数用
现在的符号
d
y
/d
t
，在这里，
< br>t
表示时间。
表示。它相当于
牛顿还引进另一个概念，他称之为流的矩。指的是流（例如
x<
/p>
）在无穷
小的时间间隔
o
中增加的无穷小量，即在无限小时间内流的增量。于是，
流
x
的矩由乘积
o
给出。
牛顿指出：
在任何问题中，可以略去所有包含
o<
/p>
的二次或二次以上幂的项。这样，我
们
就
能
得
到
曲
线
生
成
的
坐
标
x
和
y
与
它
们
< br>的
流
数
和