牛顿与微积分的发展
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牛顿与微积分的发展
牛顿（
< br>1642~1727
）
，英国数学家、物理学家、天文学
家和自然哲学家。牛顿
在数学上最卓越的贡献是创建微积分。传记作家理查德·威斯法说
，伊萨克·牛
顿是“塑造了人类才智诸领域的寥寥无几的超级天才之一，一个无法归结为
我们
用以理解同类的标准的人”
，
因为
微积分仅仅是他对我们理解周围世界作出重大贡
献的许多领域中的一个。
在
17
世纪
60
年代的短短几年里牛顿成功地将他
17
世纪
的前辈们发展出的关于切线和面积的所有材料统一并推广成为我们今天的微积分
< br>教科书中展示的神奇的解决问题的工具。
牛顿于
1661
年入剑桥大学三一学院，
受教于巴罗
，
同时钻研伽利略、
开普勒、
笛卡儿和
沃利斯等人的著作。牛顿在通过自学掌握了
17
世纪的全部成就
后，从
1664
年后期到
1666
年后期花费了两年时间理出了他关于微积分的基本思想。就
数学思想
的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最
深，正是这两部著
作引导牛顿走上了创立微积分之路。他对微积分的研究大致可
分三个阶段
:
第一阶段是静态的无穷小量方法，象费尔马那样把变量看作是无穷
小元素的集合
;
第二阶段是变量流动生成法，
认为变量是由点、线或面的连续运
动产生的，因此他把变量称为
“
流
”
，变量的变化率称为
“
流数
”;
第三阶段是
牛顿称
之为最初比和最后比的方法，这种方法又是牛顿对第一阶段无穷小量方法的彻底<
/p>
否定．
第一阶段：
1667
年牛顿完成了他的第一篇微积分论文
:
《
运用无穷多次方程的分析学》
，
正式发表于
1711
年．这篇论文是牛顿第一阶段工作的具体体现．在这篇文章中
他总结了前人各种求积方法．
给出了求一个变量对另一个变量的
瞬时变化率的普
遍方法，而且证明了
:
求积运算是求变化率的逆过程．这就揭示了微积分的基本
性质，即得到现在成为微积分
学基本定理的牛顿
——
莱布尼茨公式．这篇文章是
牛顿创立微积分的标志．但其中还有不少含混的地方．
第二阶段：
牛顿第二阶段的工作，主
要体现在
1671
年的《流数法和无穷级数》中，在
这篇论文中牛顿主要解决了两个问题
:
(1)
已知变量的关系
y = f(x)
，求
它们流数比
(
牛顿用
表示
y
的流数
);
(2) <
/p>
已知一个含流数的方程，求变量之间的关系，这是问题
(1)
的逆问题，相
当于求积分或解微分方程．
当时牛顿把微积分叫做流数法，并明确指出流数法的普遍意义
:
流数法
“
不
仅
可以用来做出任何曲线的切线，而且还可以用来处理其他关于曲度
(
即曲率
)
、
面积、曲线的长度、重
心等深奥的问题
”
．这个认识远远超过了费尔马等所有的
前期微积分学者．
牛顿的《流数法》写于<
/p>
1671
年，直到
1736
年才发表。在这部著作中，牛顿
把一条曲线看作是由一个点的连续运动生成的
。依照这个概念，生成点的横坐标
和纵坐标，一般是变动的量。变动的量被称为流，流的
变化度称为它的流数。文
中提出了微积分的基本问题：ⅰ设有两个或更多个物体
A
，
B
，
C
，„„在同一时
刻内描画线段
x
,
y
,
z
,
„„。已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度
p
p
,
q
,
r
,
„„的关系。ⅱ已
知表示线段
x
和运动速度
p
、
q
之比
q
的关系方程式，
求另一线段
y
。对于这两个问题，牛顿都给出了解答，而对于问题ⅱ的解法实际
上是问题ⅰ的解的逆
运算。特别重要的是，
《流数简论》中讨论了如何借助于这种
逆
运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理”
。当然，
《
流数简论》中对
微积分基本定理的论述还不能算了现代意义下的严格证明。牛顿在后来的
著作中
对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明。
< br>
在牛顿以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的
变化率入手通过反微分计算面积。虽然面积计算与求切线问题的互逆关系以往也
曾被少数人在特殊场合模糊地指出，但牛顿却能以足够的敏锐与能力将这种互逆
关系明确地作为一般规律提示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础。在
《流数
简论》的其余部分，牛顿将他建立的统一算法应用于求曲线切线、曲率、
拐点、曲线求长
、求积、求引力与引力中心等
16
类问题，展示了他的算法的极
大
的普遍性与系统性。
《流数简论》
标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的。从
1667
年
到
1693
年大约四分之一世纪的时
间里，
牛顿始终不渝努力改进、
完善自己的微积
分学说，先后写成了三篇微积分论文，分别是：
《运用无限多项方程的分析》<
/p>
，简
称《分析学》
，完成于
1669
年；
《流数法与无穷级数》
，简称《流数法》
，完成于
1671
< br>年；
《曲线求积术》
，简称《求积术》
< br>，完成于
1691
年。这三篇论文反映了牛
顿微积分学说的发展过程，
并且可以看到牛顿对于微积分先后给出了不同的解
释。
第一篇论文《分析学》是牛顿为了维护自己在无穷级数方
面的优先权而作。
《分析学》利用无穷级数来计算流数、积分以及解方程等，因此《分析
学》体现
了牛顿的微积分与无穷级数紧密结合的特点。关于微积分，
《分析学》一开始就叙
述了计算曲线
y
f
(
x
)
下面积的法则。
设有
y
ax
m
n
表示的曲线，
牛顿论证所求面
na
(
m
n
)
n
x
积为
z
。牛顿在论证中取
x
而不是时间
t
的无限小增量“瞬”为
< br>
，
m
n