牛顿第二运动定律
-
牛顿第二运动定律
百科名片
牛顿第二运动定律
1
．定律内容
物体的加速度跟物体所受的合外力
F
成正比，跟物体的质量成
反比，加速度
的方向跟合外力的方向相同。而以物理学的观点来看，牛顿运动第二定律亦
可以表述为
“
物
体随时间变化之动量变
化率和所受外力之和成正比
”
。即动量对时间的一阶导数等于外
力之
和。
牛顿第二定律说明了在宏观
低速下，
∑F
∝
a
，
∑F
∝
m
，
用数学表达式可以写成
∑F=kma
，
其中的
k
是一个常数。
但由于当时没有规定
1
个单位的力的大小，
于是取
k=1
，
就有
∑F=ma
，
这就是今天我们熟悉的牛
顿第二定律的表达式。
目录
2
．公式
3
．几点说明
4.
牛顿第二定律的适用范围
牛顿第二定律的应用
展开
编辑本段
2
．公式
F
合
=m
a
（单位：
N
（牛）或者
千克米每二次方秒
）
牛顿发表
的原始公式：
F
=d(m
v
)/dt
（见
自然哲学之数学原
< br>理
）
动量为
p
的
物
体，在合外力为
F
的作用
下，其动量随时间
的变化率等于作用
于
物体的
合外力。
用通俗一
点的话来说，就是以
t
为自变量，
p
为因
变量的
函数的导数，就是该点
所受的合外力
。
即：
F
=d
p
/dt=d(m
v
< br>)/dt
而当物体
低速运动，速度远低于光速时，物体的质量为
不依赖于速度的常量，所
以有
F
=m(
d
v
/dt)=m
a
< br>
这也叫
< br>动
量定理
。在相对论中
F=
m
a
是不成立的，因为质
< br>量随速度改变，而
F
=d(m
v
)/dt
依然使用。
由实验可得
F
∝
m,F
∝
a
(
只有当
F
以
N,m
以
kg
，
a
以
m/s^2
为单位时
，
F
合
=m
a
成立）
编辑本段
3
．几点说明
（
1
）牛顿第二定律是力的瞬时
作用规律。力和
加速度
同时产生
、同时变化、同
时消失
。
（<
/p>
2
）
F=ma
是
一个
矢量
方程，应用时应规
定正方向，
凡与正方向相同的
力或加
速度均取正值
，反之取负值，一般常取加速度
的方向为正方向。
（
3
）根据力的独立作用原理，
用牛顿第二定律处理物体在一个
平面内运动的问
题时，可将物体所受各力
正交分
解
[
1]
，在两个互相垂直的方向上分
别
应用牛顿第二定
律的分量形式
：
Fx=max
，
Fy=may
列方程。
4.
牛顿第二定律的六
个性质：
< br>
（
1
）因果性：力是产生加速度
的原因。
（
2
）矢量性：力和加速度都是
矢量，物体加速度方向由物体所
受合外力的方向
决定。牛顿第二定律数学表
达式
∑
F
= m
a
中，等号不仅表示左右两边数值相等，也表
示方向一致，
即物体加速度方向与所受合外力
方向相同。
根据他的
< br>矢量性可以用正交分解法讲力合
成或分解。
（
3
）瞬时性：当物体（质量一
定）所受外力发生突然变化时，
作为由力决定的
加速度的大小
和方向也要同时发
生突变；当合外力为
零时，加速度同时为零，加速度
与合外力保
持
一一对应关系。牛顿第二定
律是一个瞬时对应的规律，表明了
力的瞬间
效应。
（
4
）相对
性：自然界中存在着
一种
坐标系
，在这
种坐标系中，
当物体不受力时
将保持
匀
速直
线运动
或静止状态，这样的
坐标系
叫惯性参照系。地面
和相对于地面静
止或作匀速直
线运动的物体可以看作是惯性参
照系，
牛顿定律
只在惯
性参照系中才成
立。
（
5
）独立性：作用在物体上的
各个力，都能各自独立产生一
个
加速度，各个力
产生的加速度
的矢量
和等于合外力产生的加速
度。
（
6
）同一
性：
a
与
F
与
同一物体某一状态相
对应。
编辑本段
4.
牛顿第二定律的适用范围
1.
当考察物体的运动
线度可以和该物体的德布罗意
波长相比拟时，由于测不准原
< br>理，物体
的动量和位置已经是不能同时准
确获知的量了，
因而牛顿动
力学方程缺少准
确的初始条件
无法求解。
也就是说经
典的描述方法由于测不准原理已
经失效或者需要
修改。量子力学用希尔
伯特空
间中的态矢概念代替位
置和动量（或速度）的概念来描
述物体的
状态
，用薛定谔方程代替牛顿动
力学方程（即含有力场具体
形式的牛顿第二
定律）。
用态矢代
替位置和动量的原因是由于测不
准原理我们无法同时知道位置
和
动量
的准确信息
，但是我们可以知道位置和动
< br>量的概率分布，测不准原理
对测量精度的限
制就在于两者
的概率分布上有一个确定的关系
。
2.
由于
牛顿动力学方
程不是洛伦兹协变的
，因而不能和狭义相对论相容
，因而当
物体做高速移
动时需要修改力
，速度，等力学变量的定义，使动力学
方程能够满足洛
伦兹协变
的要
求，在物理预言上也会随速度接
近光速而与经典力学有不同
。
但我
们仍
可以引入
“
惯性
< br>”
使牛
顿第二定律的表示形式在非惯性
< br>系中使用。
例如：如
果有一
相对地面
以
加速度为
a
做直线运动的车厢
,
车厢地板上放有质量
为
m
的小球
,
设小球所受的合外力为
F
,
相
对车厢
的加速度为
a'
,
以车厢为参考系
,
显然
牛顿运动定律
不成立
< br>.
即
F=ma'
不成立
若以地面
为参考系
,
可得
F=m
a
对
地
式中
,
a<
/p>
对
地是
小球相
对
地面
的加速度
.
由运动的相对性可知<
/p>
a
对
地
=a+a'
将此式带
入上式
,
有
F=m(a+a')=ma+ma'
则有
F+(-ma)=ma'
故此时
,
引入
Fo=
-ma,
称为惯性力
,
则
F+Fo=ma'
此
即为在
非惯性系中使用
的牛顿第二定律的
表达形式
.
< br>由此
,
在非惯性系中应用牛
顿第
二定律时
,
除
了真正的和外力外
,
还必须引入惯性
力
Fo=-ma,
它的
方向与
非惯性系相
对
惯性系
(
地面
)
的加速度
a
的
方向相反
,
大
小等于被
研究物
体的质量乘以
a
。
注意：
当物体的
质量
m
一定
时，物体所受合外力
F
与物体的加速度
a
是成正比
的是错
误的，因为是
合力决定
加速度。但当说是物体
的质量
m
一定时
，物体的加速度
a
与
物体所受合外力<
/p>
F
成正比时
则是正确的。
解题技巧
：
应用牛顿
第二定律解题时，首先分析
受
力情况，运动图景，列出各
个方向（一般
为正交分解）
的受力的方程与运动方程。
同时，寻找题目中的几何约束条件
（
如沿绳速度相等等）列出约束
方程。联立各
< br>方程得到物体
的运动学方程，然后依据题目要
求积分求出
位移、速度等。
编辑本段
牛顿第二定律的应用
牛顿第二
定律是经典力学的基础和核
心
，是分析、研究和解决力
学问题的三大法
宝之一，同时也是高考
考查的重点和热点。因此，深刻理解和灵活应
用牛顿第二定律
是力学中非常
重要的内容，下面阐述应
用
牛顿第二定律时的几类典型问题
，供大家参
< br>考。
一、连
接体问题
两个或两
个以上物体相互连接并参与运动
的系统称为有相互作用力的系
统
，
即为
连接体问题，
处理非平衡状态下
的有相互作用
力的系统问题常常用整体法和
隔离法。
当需要求
内力时，常把某个物体从系统中
“
隔离
”
出来进行研究
，当系统中各物体
加速度相同时
，可以把系统中的所有物体看成
一个整
体进行研究。
< br>例
1
：如图
1
< br>所
示的三个物体质量分别为
m1
、
m2
和
m3
。带
有滑轮的物体放光
滑水平面上
，滑
轮和所有接触面的摩擦以
及绳子的质量均不计。为使
三个物体无
相对
滑动，试求水
平推力
F
的大小。
解答：本题是
一道典型的连接体问题。
由题意可
知，三个物体具有向右的相同的加速度，设为
a
，把它们三者看
成一个
整体，则这个
整体在水平方向只受外力
< br>F
的作用。
由牛顿第
二定律，即：
F=
（<
/p>
m1+m2+m3
）
a
……
①
隔离
m2
，受力如图
< br>2
所示
在竖直方
向上，应有：
T=m2g ……
②