牛顿科特斯公式的特点总结
-
牛顿
-
科特斯公式
<
/p>
(
n
)
f
(
x
)
d
x
(
b
a
)
C
i
f
(
x
i
)
<
/p>
b
n
a
i
0
科特斯
(Cot
es)
系数
C
i
，特点：
Cotes
系数仅取决于
n
和
i
，可通过查表得到。与被积函数
f
(
n
)
(x)
及积分区间
[a, b]
均无关。
n = 1:
C
(
1
)
< br>0
1
,
C
(
1
)
2
1
1
2
为梯形求积公式
b
a
f
(
x
)
dx
b<
/p>
a
2
[
f
(
a
)
f
(
b
)]
梯形求积公式的几何意义：用梯形面积近似代替曲边梯形的面积
梯形公式的余项为
(
b
a
)
3
12
f
(
)
代
数精度
=
1
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-0.5
0
0
0.5
1
1.5
n
= 2:
C
(
2
)
(
2
)
(
2
1
0
1
2
6
,
C
3
,
C
)
1
2
< br>
6
Simpson
求
积
公
式
（
为
抛
物
< br>线
b
dx
b
a
a
f
(
x
)<
/p>
6
[
f
(
a
)
4
f
(
a
b
2
)
f
(
b
)]
辛普森公式的余项为
b
a
b
a
180
(
2
)
4
f
(
< br>4
)
(
)
代数精度
=
3
求
积
公
式
）
n = 4:
科特斯
(Cotes)
求积公式（五点公式）
a
b
f
(
x
)
dx
b
a
< br>90
[
7
f
(
x
0
)
32
f
(
x
1
)
12<
/p>
f
(
x
2
)
32
f
(
x
3
)
7
f
(
< br>x
4
)]
x
i
a
i
h
,<
/p>
h
(<
/p>
b
a
)
/
4
柯特斯公式的
余项为
2
(
b
a
)
b<
/p>
a
6
(
6
)
(
)
f
(
)
柯特斯公式具有
5
次代数精度
495
4
科特斯系数具有以下特点：<
/p>
(1)
C
i
n
i
0
n
(
)
1
(2)
C
i
(
n
)
(
n
)
C
n
i
(3)
当
n
8
时，出现负数，稳定性得不到保证。而且当
n
较大时，由于
Runge
现象，收
敛性也无法保证。一般不采用高阶的牛顿
-
科特斯求积公式
。
当
n
7
时，牛顿
-
科特斯公式是稳定的。
当
n
为偶数时，牛顿－科特斯公式至
少有
n
+1
阶代数精度。
牛顿
< br>-
柯特斯公式的舍入误差只是函数值误差的
(
b
a
)
倍
复化求积公式特点
当积分区间
[
a
,
b
]
的长度较大
,
而节点个数
n
< br>1
固定时
直接使用牛顿
-
柯特斯公式余项
,
即
n
1
增加时
当
n>8
时，公式的舍入误差又很难得到
将会较大
而如果增加节点个数