牛顿二项式定理
-
牛顿二项式定理
目录
二项式定理
发现历程
应用
二项式的递推
加法定理
数形趣遇
算式到算图
二项式定理
发现历程
应用
二项式的递推
加法定理
数形趣遇
算式到算图
展开
编辑本段
二项式定理
binomial
theorem
二项式定理
，又称
牛顿二项式定理
< br>，由
艾萨克·牛顿
于
1664<
/p>
、
1665
年
间
提出。
此定理指出：
其中，
二项式系数
指
...
等
号右边的
多项式
叫做二项展开式。
二项展开式的
通项公式
为
其
i
项系数可表示为<
/p>
:
见图右，即
n
取
i
的组合数目。
因
此系数亦可表示为
帕斯卡三角形
(Pascal's
Triangle)
二项式定理
(Binomial
Th
eorem)
是指
(a+b)n
在
n
为正整数时的展开式。
(a+b)n
的系数表为：
1 n=0
1 1 n=1
1 2 1 n=2
1 3
3 1 n=3
1 4 6 4 1 n=4
1 5
10 10 5 1 n=5
1 6 15 20 15 6 1 n=6
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„
（左右两端为
1
，其他数字等于正上方的两个数
字之和）
编辑本段
发现历程
在我国被称为「
< br>贾宪三角
」或「
杨辉三角
」，一
般认为是北宋数学家
贾宪
所首创。它记载于
杨辉
的《详解九章算法》
(1261)
之中。在
阿拉伯数
学
家
卡西
的著作《算术之钥》
(1427)
中也给出了一个二项式定理系数表，
他所用的计算方法与贾宪的完全相同。
在
欧洲
，德国数学家阿皮安努斯在
他<
/p>
1527
年出版的
算术书
的封面上刻有此图。但一般却称之为「帕斯卡三角
形」，因为
< br>帕斯卡
在
1654
年也发现了这
个结果。无论如何，二项式定理的
发现，在我国比在欧洲至少要早
300
年。
1665
年，
牛顿
把二项式定理推广到
n
为分数与
负数的情形，给出了的
展开式。
编辑本段
应用
二项式定理在组合理论、开高次方
、
高阶等差数列
求和，以及差分法
中有
广泛的应用。
排列与组合
1
、Cn0+Cn1+Cn2„„Cnk„„Cnn=2^n
2
、
Cno-
Cn1+Cn2-
Cn3+„„(
-1)^nCnn=0
证明：由
(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^
2+...+C(n,n)b^
n
当
a=b=1
时，代入二项式定理可证明
1
但
a=-1
，
b=1
时代入二项式定理可证明
2
二项式定理
二项式定理
:
叫二项式系数（0≤r≤n）
.
通项用
Tr+1
表示，为展开
式的第
r+
1
项，且
,
注意项的系数和二项式系数的区别
.
系数性质
①对称性：
②增减性和最大值：先增后减
n
为偶数
时，中间一项的二项式系数最大，为：
Tn/2
＋
1
n
为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为：
T(n+1)/2
，
T[(n+1)/2
＋
1]
赋值法
掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想
.
证明：
n
个（
a+b
）相乘，是从（
a+b
）中取一个字母
a
或
b
的积。所以
（
a+b
）
^n
的展开式中每一项都
是
)a^k*b^(n-k)
的形式。对于每一个
a^k*b^(n-k)
，是由
k
< br>个
(a+b)
选了
a,
（
a
的系数为
n
个中取
k
个的组合数
（就是那个
C
右上角一个数，右下角一个数））。（
n-k
）个
(a+b)
选
了
b
得到的（
b
的系数同理）。由此得到二项式定理。
二项式系数之和
:
2
的
n
次方
而且展开式中奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之
和等于
2
的
(n-1)
次方
二项式定理的推广：
二项式定理推广到指数为非自然数的情况：
形式为
注意：
|x|<1