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2021年2月11日发(作者：元素化合价)

§

3

牛顿迭代法

Newton Iteration

————

切线法

牛顿迭代法是最著名的方程求根方法。已经通过各种方式把它 推广到

解其他更为困难的非线性问题。

【例如】

非线性方程组、非线性积分方程和非线性微分方程。

虽然牛顿法对于给定的问题不一定总是最好的方法，但它的

简单 形式

和

快的收敛速度

常常使得解非线性 问题的人优先考虑它。

迭代一般理论告诉我们，构造好的迭代 函数可使收敛速度提高。然而

迭代函数的构造方法又各不相同，方法多样。牛顿法是受几 何直观启发，

给出构造迭代函数的一条重要途径。

牛顿迭代的基本思想

:

方程

f(x)=0

的根，几何意义是曲线

< p>
y=f(x)

与

ox

轴< /p>

y=0

的交点。求曲线与

y=0

的交点没有普遍的公式，但直接与

0x

轴的交点 容易计算。用直线近似曲线

y=f(x)

，从而用直线方程的根 逐步

代替

f(x)=0

的根。即把

非线性方程逐步线性化

。

方法：

设

x

k

是

f(x)=0

的一个近似根，把

f(x)

在

x< /p>

k

处作一阶

Taylor

展开，得到

f

(

< p>
x

)



f

(

x

k

)



f



(

x

k

)(

x



x

k

)

（

19

）

< /p>

设

f



(

x

k

)

≠

< p>
0

，由于

f

< p>
(

x

k

)



f



(

x

k

)(

x



x

k

)



f

(

x

)



0

所以求得解 记为

x

k



1

，有

牛顿迭代公式：

x

< p>
k



1



x

k



f

(

x

k

)

（

20

）

< /p>



f

(

x

k

)

按牛顿迭代计算称为

牛顿迭代法

。

牛顿法的几何意义 ：

选初值

x

k

以后，过

p

(

x

k

,

f

(

x

k

))

点，作

曲线

y=f(x)

的切线，其切线方程为

f

(

x

)



f

(

x

k

)



f



(

x

k

)(

< p>
x



x

k

)

(21)

切线与

ox

轴的交点，为

x

k



1

，则

x

k



1



x

k



f

(

x

k

)< /p>

/

f



(

x

k

)

（

22

）

< /p>

牛顿迭代法也称为

切线法

。

迭代法的收敛性

：

如果取

g

(

x

)



x



f

(

x

k

)

/

f



(

< br>x

k

)

，则有

< br>x=g(x)

，从而牛顿迭代公式就是

x

k



1



g

(

x

k

)

因此就可以由考察

g(x)

的性质，来讨论迭代法的收敛性及收敛速度。

迭

代过 程的收敛速度

是指迭代过程中误差的下降速度。

【收敛阶定义

1

】

设迭代过程

x

k

< /p>

1



g

(

x

k

)

收敛于方程< /p>

x=g(x)

的根

x*

< br>，

*

如果迭代误差

e

< p>
k



x

k



x

，当

k

< br>→∞时成立

e

k



1

/

e

< br>k

p



c

(

c



0

的 常数

)

（

24

）

< /p>

则称该迭代过程是

p

阶收敛

的。特别

p=1

时称为

线性 收敛

，

p>1

时称

超线

性收敛

，

p=2

时称为

平方收敛

。

【定理

3

】

若

f(x)

在根附近存在连续的二阶导 数，

x*

是

f(x)

< br>的单根，且

初始值

x

0

充分接近

x*

，则牛顿迭代过程收敛，而且有< /p>

x

k



1



x



< p>


f





(

x



)

/

2

f



(

x



)

< /p>

x

k



x



（

25

）

2

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