巧算巧算面积
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第六章
巧算巧算面积（二）
思维导航
在计算比较复杂的平面图形面积时，常用方法是：
(1)
“割补法”
：把原来的图形
剪拼成我们所熟悉的“基本”图形。
(2)
“分解法”
：把复杂的图形分成几个简单的图形。
除此之外，还可以运用平移、旋转等方法，对图形进行恰当
合理的变形，再经过分析推导
来寻求解题的有效途径。
精典例题
【例
1
】把
△
ABC
的边
AB
三等分，
AC
四等分，如图所示。已知△
< br>ADE
的面积为
l
平方厘米，<
/p>
求△
ABC
的面积。
做一做
1
如下图，
BD=3AD
，
CE=5
AE
，问：△
ABC
的面积是△
ADE
的面积的（
）倍。
【
例
2
】在下图所示的长方形中，
E
，
F
分别是
AD<
/p>
和
DC
的中点。如果已知长方形
ABCD
的面积
是
64
平方厘米，求阴影部分的面积。
做一做
2
如下图所示，长方形
ABCD
的面积为
36
平方厘米，
E
，
F
，
G
分别为
AB
，
BC
，
CD
的中
点，
< br>H
为
AD
边上任意一点。问：阴
影部分的面积是多少？
【例
3
】一个正方形，如果一边增加
6
厘米，另一边增加
2
厘
米，那么所得的长方形面积比原
正方形面积多
92
平方厘米。求原正方形的边长。
做一做
3
一个正方形，一边截去
6
厘米，另一边截
2
厘米，剩下的长
方形面积比原正方形面
积少
68
平方厘
米。求原正方形的边长。
【例
4
】图
1
是一块长方形草地。长方形长
16<
/p>
米，宽
10
米，中间有两条宽
2
米的道路，一条
是长方形，另一条是平行四边形
。求有草部分（阴影部分）的面积。
做一做
4
求下图阴影部分的面积（单位：厘米）
。
< br>【例
5
】下图中的每个长方形小格的面积都是
1
平方厘米，求阴影部分的面积。
做一做
5
如下图，每个长方形小格的面积都是
1
，求阴影部分的面积。
【例
6
】如
图
1
，直角梯形
ABCD
的上底和腰相等，正方形
DEFG
的边长等于
6
厘米，阴影部分
的面积。
< br>
做一做
6
< br>如下图，正方形
ABCD
的边长为
l
，
E
是
A
D
的中点，
P
为
CE
的中点，那么△
BPD
的面
积是多少？
【例
7
】如图
1
，
ABCD
是平行四边形，面积为<
/p>
72
平方厘米，
E
，
F
分别为
AB
，
BC
的中点，则
图中阴影部分的
面积为多少平方厘米？
做一做
7
如图，
E
是矩形
ABCD
的边
BC
的中点，
BD
与
AE
的交点为
F
，那么，图中阴影部分
< br>(
三
角形
FAB)
与矩形
ABCD
的面积之比是（
）
。
快乐闯关
(1)
在下图中，
BC=CD
，
CE=3AE
，
△
ABC
的面积是
12
平方厘米，求△
CDE
的面积。
(2)
在下图所示的长方形内有
一个钝角三角形，按照图上的数值，求出这个三角形的面积。
(3)
如下图，△
< br>ABC
是一个等腰直角三角形，它与一个正方形叠放在一起。已知
AE
，
EF
，
BF
三
条线段一样长，且△
E
FD(
阴影部分
)
的面积是
4
，求△
ABC
的面积。
(4)
一个平行四边形
ABCD
被
CE
分成两部
分（如下图）
，梯形
ABCE
与△
ECD
的面积差是
18.6
平方厘米，又知平行四边形
ABCD
的高为
6.2
厘米，
BC
=15
厘米。求梯形的上底长。
(5)
如
下图，△
ABC
的面积为
1,AE=E
D,BD=2DC
，求阴影部分的面积。
(6)
一个长方形，如果长增加
2
厘米，宽增
加
5
厘米，那么面积就增加
60
平方厘米，这时恰
好是一个正方形，求原长方形的面积。
(7
下图中，正方形
ABCD
的边长为
12
，
P<
/p>
是
AB
边上任意一点，
< br>M
，
N
，
I
，
H
分别是边
BC
，
AD
的三等分点，
E
，
F
，
G
是边
CD
的四等分点，求
图中阴影部分的面积。
(9)
三条边长分别为
6
厘米、
8
厘米、
10
厘米的直角三角形，
将它的短直角边对折到斜边上去，
与斜边相重合（如下图）
，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
< br>
第七章
巧解长方体和正方体（一）
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在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复
杂的立体图形问题要注意
几点：
1.
必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；
2.
依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后
物体的表面积或体积所发生的变化；
3.
求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
精典例题
【例
1<
/p>
】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘
米？（单位：厘米）
，剩下部分的
做一做
1
一个长
5
厘米，宽
1
厘米，高
3
厘米的长
方体，被切去一块后（如图）
表面积和体积各是多少？
【例
2
】有一个长方体形状的零件，中间挖
去一个正方体的孔（如图）
，你能算出它的体积和
表面积吗？（
单位：厘米）
（单位：厘米）
。
< br>做一做
2
有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积
。
【例
3
】
一个正方
体和一个长方体拼成了一个新的长方体，
拼成的长方体的表面积比原来的长
方体的表面积增加了
50
平方厘米。原正方体的表面
积是多少平方厘米？
这个大长方体的表面积比原来两个
做
一做
3
把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，
长方体的表面积的和减少了
46
平方厘米，而
长是原来长方体的
2
倍。如果拼成的长方体的长
是
24
厘米，那么它的体积是多少立方厘米？
【例
4
】把
11
块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是
288
立方厘米，求
大长方体的表面积
。
做一做
4
一块小正方体的表面积是
6
平方厘米，那么，由
1000
个这样的小正方体所组成的大
正方体的表面积是多少平方厘米？
【例
5
】一
个长方体，前面和上面的面积之和是
209
平方厘米，这个长方
体的长、宽、高以厘
为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？
做一做
5
有一个长方体，它的前面和上面的
面积和是
88
平方厘米，且长、宽、高都是质数，
那么这个长方体的体积是多少？
快乐闯关
（
1
）把一根长
2
米的长方体木料锯成
1
米长的两段，表面积增加了
2
平方分米，求这根木料
原来的体积是（
）立方分米。
（
2
）有一个长
8
厘
米，宽
1
厘米，高
3
< br>厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方
体（如图）
< br>，求切掉正方体后的表面积是（
）平方厘米，体积是（
）立方厘米。
（
3
）有一个棱长是
4
厘米的正方体，从它的一
个顶点处挖去一个棱长是
1
厘米的正方体后，
< br>剩下物体的体积是（
）立方厘米，表面积是（
）平方厘米。
（
4
）
如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上
（如图）
，
那么得到的物体的体积是
（
）
立方厘米，表面积是（
）平方厘米。
（
5
）一根长
80
厘
米，宽和高都是
12
厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个
最大的正方
体后，它的表面积减少了（
）平方厘米。
（
6
）把
4
块棱长都
是
2
分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少（
）平
方分米。
（
7
）一个长方体的体积是
385
立方厘米，且
长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面积是
（
）平方厘米。
（
8
）有
24
个正方体，每个正方体的体积都是
1
立方厘
米，用这些正方体可以拼成（
）种
不同的长方体。
（
9
）
一个长方体的长、
宽、
< br>高是三个连续偶数，
体积是
960
立方厘米，
求它的表面积是
（
）
平方厘米。
第八章
巧解相遇和追及问题（二）
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相遇问题常用关系式：路程和
=
速度和×相遇时间
速度和
=
路程和÷相遇时间
相
遇时间
=
路程和÷速度和
<
/p>
相遇时间
=
路程差÷速度差
追及问题常用关系式：追及时间
=
路程差÷速度差
速度差
=
路程差÷追及时间
路程差
=
速度差×追及时间
常用思考方法：①整体思考法，②转化法。
精典例题
【例
1
】
甲、乙、丙三人中，甲每分钟走
50
米，乙每分钟走
60
米，丙每分钟走<
/p>
70
米。甲、
乙两人从东镇，丙从西镇同
时相向出发，丙遇到乙后再经过
2
分钟遇到甲。求两镇之间的距
离。
做一做
1
甲、乙、丙三人走路，甲每分钟走
6
0
米，乙每分钟走
50
米，丙每分钟走
40
米。甲
从
A
地，乙和丙从
B
地同时出发，相向而
行。甲和乙相遇后，过了
5
分钟又与丙相遇。求
A
，
B
两地间的距离。
【例
2
】
A
、
B
两车同时从甲、乙两站相对开出
，两车第一次是在离甲站
50
千米处相遇。相
< br>遇后两车各以原速度继续行驶，到达乙、甲两站后立即原路返回，第二次是在离乙站
30
千米
处相遇。问：如此继续下去，
A
，
B
两车第三次在何处相遇？