关于函数一致连续与非一致连续的判定
-
函数一致连续与非一致连续的判定
【摘要】
本文主要给出了判别函数在不同区间上一致连续和非一致连续的几种方法
,
并举例说明了所给方法的有效性
.
【关键词】
康托尔定理
;
一致连续
;
非一致连续<
/p>
;
判定
【中图分类号】
：
【文献标识码】
：
【文章编号】
：
1
引言
函数一致连续性问题是数学分析课程中的一个重要理论，
但教材
中只给出一致连续的概
念和简单判定函数在闭区间上一致连续的定理，
< br>而在实际应用中使用定义判定函数在某个区
间上是否一致连续又极为复杂
.
基于此，本文将给出判定函数在不同区间上一致连续与非一
致连续的几个简单实用的方法
,
并举例说明了所给
方法的有效性
.
2
关于函数一直连续与非一直连续的概念及康托尔定理
定义
1
设<
/p>
f
(
x
)
是定义在区间
I
上的函数
.
若
0,
(
)
0
,
使得
x
,
x
I
,
当
x
x
时
,<
/p>
有
f
(
x
)
f
(
x
)
成立
< br>,
则称函数
f
(
x
)
在区间
I
上一致连续
.
定义
2
设<
/p>
f
(
x
)
是定义在区间
I
上的函数
.
若
0
0
,
0
,
x
，
x
I
，当
x
x
时
,
有
f
(
x
)<
/p>
f
(
x
)
0
,
则称函数
f
(
x
)
在区间
I
上非一致连续
.
若
f
(
x
)
在闭区间
I
上连
续且有定义，则
f
(
x
)
在闭区间
I
上一直连续。<
/p>
3
函数在任意区间上的一致连续性判定
定理
1
函数
f
(
x
)
在
(
a
,
b
)
上一致连续的充要条件是
< br>f
(
x
)
在
(
a
,
b
)
上连续且
f
(
a
0
)<
/p>
与
f
(
b
0
)
都存在
.
证明
充分性
.
构造辅助函数
f
(
a
0),
x
a
,
F
(
x<
/p>
)
f
(
x
),
x
(
a
,
b
),
x
b
.
f
(
b
0),
显然
,
F
(
x
)
在
(
a
,
b
)
上连续
,
所以由
Cantor
定理
,
< br>F
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上一致连续
.
所以
F
(
x
)
在
(
a
,
b
)
上一致连续
,
即
f
(
x
)
在
(
a
,
b
)
上一致连续
.
必要性
.
f
(
x
)
在<
/p>
(
a
,
b
)
内一直连续
,
则对
0,<
/p>
(
)
0
，
当
x
,
x
I
且
x
x
<
/p>
1
时
，<
/p>
有
f
(
x
)
f
(
x
)
成
立
。
显
然
，
对
端
点
a<
/p>
，
当
x
,
x
满
足
a
x
a
，
2
a
x
<
/p>
a
2
，就有
x
x
x
a
+
x
a
，于是有
f
(
x
)
f
(
x
)
，有柯西收
f
x
,
即
f
a
0
存在，同理可得
f
b
o
存在。
敛准则可知
f
a
0
lim
x
a
推论
1
函数
f
(
x
)
在
[
a
,
b
)
上一致连续的充要条
件是
f
(
x
)
在
[
a
,
b
)
上连续且
f<
/p>
b
0
存在
.
推论
2
函数
f
(
x
)
在
(
a
,
b
]
上一致连续的充要条件是
< br>f
(
x
)
在
(
a
,
b
]
上连续且
f
(
a
0
)<
/p>
存在
.
}<
/p>
只
定理
2
函数
f
x
在区间
I
上一致连续的充要条件是：<
/p>
对
I
上任意二数列
{
x
n
},{
x
n
0
，就有
f
x
n
f
x
n
0
（当
n
0
时）
要
x
n
< br>x
n
。
证明：
（必要性）
因
f
x
一
致连续，所以任意
0
，存在
0
，当
x
,
x
I
,
x
x
时有
f
x
f
x
< br>
（
1
）
0
（当
n
0
时）
但
x
n
x
n
< br>，故对
0
< br>，存在
N
0
< br>当
n
N
时
x
x
，
从而由（
1
）
f
x
f
x
，
< br>
0
（当
n
0
时）
即
f
x
n
f
x
n
。
（充分性）
若
f
(
x
)
在
I
上非一致连续，则存在
0
0
，任意
1
0
，
n
I
，虽然
x
n
x
n
存在
x
n
,
x
n
1
，但
f
x
n
< br>f
x
n
n
。
n
0
，但
f
x
n
f
x
n
0
当
n
时
矛盾。
可见
x<
/p>
n
x
n
即
f
x
在区间
I
上一致
连续。
定理
3
函
数
f
(
x
)<
/p>
在
[
a
,
)
上一致连续的充分条件是
f
(
x
)
< br>在
[
a
,
)
上连续且
< br>
f
(
)
存在
.
证明
因为
f
(
)
=<
/p>
lim
f
(
x<
/p>
)
存在，所以由
Cauchy
收敛准则，对于
x
2
<
/p>
0,
X
,
x
1
,
x
2
[
X
< br>1
,
)
时
,
有
f
(
x
1
)
<
/p>
f
(
x
2
)
成立
.
所以
f
(
x
)
在
[
X
1
,
< br>
)
上一致连续
.
因为
f
(
x
)
在
[
a
< br>,
)
上连续
.
所以
f
(
< br>x
)
在
[
a
,
X
1
]
上连续
,
从
而
一致连续
.
又因为
< br>[
a
,
X
1
]
[
X
1
,
)
,
从而可知
f
(
x
)
在
[
a
,
)
上一致连续
.
推论
3
函数
f
(
x<
/p>
)
在
(
a
,
)
上一致连续
的充分条件是
f
(
x
< br>)
在
(
a
,
)
上连续且
< br>f
(
a
o
)
与
f
(
)
都存在
.
推论
4
函数
f
(
x
)
在
(
,
b
]
上一致连续的充分条件是
f
(
x
)
在
(
,
b
]
上连续且
f
(
)
存在
.
推论
5
函数
f
(
x
)
在
(
,
b
)
上一致连续的充分条件是
f
(
x
)
在
(
,
b<
/p>
)
上连续且
f
(
b
o
)
和
f
(
)
都存在
定理
4
函数
f
(
x
)
在
(
,
)
上一致连续的充分条件是
f
(
x
)
在
(
,
)
上连续且
f
(
)
和
f
(
)
都存在，同时均有
界。
证明
因为
f
(
x<
/p>
)
在
(
,
)
上连续，
所以
f
(
x<
/p>
)
在
[
0
,
)
上连续
.
又由于
f
(
)
存
在，所以由定理
2
知
f
(
x
)
在<
/p>
[
0
,
)
上一致连续
.
同
理由定理
3
可知，
f
< br>(
x
)
在
(
,0]
上一
< br>致连续
.
因为
(
,
0
]
< br>
[0,
)
.
从而可知
f
(
x
< br>)
在
(
,
)
上一致连续
定理
5
若对于定义
在区间
I
上的函数
f
< br>(
x
)
和
g
(
x
)
,
L
0
,
x
,
x
I
,
有
f
(
x
)
f
(
x
)
<
/p>
L
g
(
x
)
g
(
x
)
成立
,
而
< br>g
(
x
)
在
I
上一致连续
,
< br>则
f
(
x
)
在
I
上也一致
连续
.
证明
对于任给
0
，由于
g
(
x
)
在
I
上一致连续，所以<
/p>
0
,
使得对于
x
,
x
I
,
只
要
x
< br>
x
,
就
有
g
(
x
)
g
(
x
)
L
成
立
< br>.
故
对
于
上
述
0
，
结
合
已
知
条
件
有
f
(
x
)
f
(
< br>x
)
L
g
(
x
)
g
(
x
)
L
=
成立，从而可知
f
(
x
)
在
I
上一致连续
.
L
推论
6
若函数
f
(
x
)
在区间
I
上
满足下述
Lipschitz
条件
,<
/p>
即
L
0
,
x
,
x
I
,
有
f
(
x
)
f
(<
/p>
x
)
L
x
x
成立
,
则
f
< br>(
x
)
在
X
上一致连续
.
定理
6
设函数
f
(
x
)
在区间
I
上连续
,
且满足
f
(
x
)
在
I
上有界
,
则
f
(
x
)
在<
/p>
I
上一致
3