走停问题新思考总结(走走停停)
-
走走停停的行程问题
1.
在
40
0
米环形跑道上，
A
、
B
两点的跑道相距
200
米，
甲、乙两人分
别从
A
、
B
两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑
7
米，乙每秒跑
5
米，他们每人跑
100
米都停
5
秒．那么
，甲追上乙需要多少秒？
5m/s
乙
B
200m
A
甲
7m/s
---------------------------
--------------------------------------
经过我认真思考后总结如下：
情况<
/p>
1
，如果在乙休息结束的时候追上，甲比乙多休息
1
次，多
5
秒，用时
最少。
情况
2
，如果在休息过程中且又没有休息结束，那么甲比乙多休息的时间，
就
在这
5
～
10
秒之间。用时介于情况
1
与情况
3
之间
情况
3
，如果在行进中追上，甲比乙多休息
2
次，
多
10
秒。用时最多。
显然我们考虑的顺序是首先看是否在结束时追上，又是否在休息中追上，
最后
考虑在行进中追上。
为了更好一点思考这类题目：
先按情
况
1
，计算出甲乙行走的路程，如果都是
100
（休息间隔距离）的整
数倍，就说明本题答案满足条件
1
了，不用考虑情况
2
和情况
3
了。
如果满足不了情况
1
，
就按
情况
3
计算。
不管满足不满足都要考虑
下面情况
（情况
2
的情形），情况
1
和情况
3
计算出
的甲行走的路程，这两个路程之间
有没有是
100
的整数倍，如果有，情况
2
就是答案了。
否则答案就是情况
3
。
---------------------------
----------------------------------------
本题答案详细解答
:
（
1
）情况
1
，假设在乙休息
结束时被甲追上。
追及时间为：
（<
/p>
200+5*5
）
/
（
7-5
）
=112.5
（秒）
，
这时甲行了
1
12.5*7=787.5
（米），乙行了
112.5*5+<
/p>
5*5
=587.5
（米）。由于
787.5
和
587.5
都不是
100
整
数倍，情况
1
不满足条件。
（
2
）情况
3
，
假设在乙行进过程中被甲追上。
追及时间为：
（
200+10*5
）
/
（
7-5
）
=12
5
（秒）
，
这时甲行了
125*7=875
（米）
，
乙行了
125*5+
10*5
=675
（米）。用时（用甲计算）：
875/7+8*5=165
（秒）。用
时（用乙计算）：
675/5+
6*5=165
（秒）。
（
2
）情况
2
，由于
787.5
和
875
之间有
800
是
100
的整数倍，所以，在乙
休息过程中被甲追上。用时
8
00/7+7*5=149
又
2/7
（
秒）。
【深层思考】
当甲行
800
米时，则就乙行
600
米（不包括甲休息一次乙走的路程），
不算最后一次乙
休息，乙用时间：
600/5+
5*5
=145
（秒）在乙休息
149
又
2/7-145=4
又
2/7
秒时被甲追上。
这时甲乙都在休息，
过
5/7
秒后，
乙开始行走
，
甲还要休息
5-5/7=30/7
秒
。
甲休息结束时，
乙已经行走了
30/7
秒，
追及时间
30/7*5
÷
（
7-5
）
=75/7
（秒）
=
10
又
5/7
（秒）。用时间
149
又
2/7+
5<
/p>
秒
+
10
又
5/7
（加
5
秒的
解释
说明：
4
又
2/7
秒
+5/7
秒
=5
秒，
甲休息够一次后，乙又走了一部分路程，
甲再次追上乙用时
10
又
< br>5/7
秒
，甲这次追上乙，当然是乙在行进中被甲追
上的）
=165
（秒），符合上面计算的情
况
3
。
综合
以上情况，本题答案为最少时间：
149
又
2/7
（秒）
--------
--------------------------------------------------
---------
网上答案
这里分三种情况讨论休息的时间，
第
一，如果在乙休息结束的时候追上，甲比乙多休息
1
次，
多
5
秒
，第二，
如果在休息过程中且又没有休息结束，那么甲比乙多休息的时间，就在这
5
～
10
秒
之间，第三，如果在行进中追上，甲比乙多休息
2
次，
多
10
秒
，。显然我
们
考虑的顺序是首先看是否在
结束时追上
，
又是否在
休息中追上
，
最后考虑在
行进
中追上
。
我们假设在同一个地点出发，
甲比乙
晚出发的时间在
200/7
＋
5
＝
235/7
（秒）
和
200/7
＋
10
< br>＝
270/7
（秒）的之间，在以后的行程中，甲就要比
乙少用这么多
时间，
就可以追上乙了。
由于甲行
100
米比乙行
100
米少用
100/5
－
100/7
＝
40/7
（秒）。
因为
235/7
÷
40/7
不是整数，
说明第一次追上不
是在乙休息结束的时候追上
的。因为在这个范围内有
240/7
÷
40/7
＝
6
是整数，说明在乙休息中追上的。即
乙共行了
6
×
100=600
（米），
甲共行了
6
×
100
< br>＋
200
＝
800
（米），休息了
7
次，
计算
出时间就是
800/7
＋
7
×
5
＝
149
又
2/7
秒
=2
又
41/84
分。
我们也可以计算乙在最后一次休息的时间：
< br>600/5=120
（秒），
600
米乙休息
6
次，前
5
次休息时间：
5
×
5=25
（秒），
最后一次休息时间：
149<
/p>
又
2/7-
（
1
20+25
）
=4
又
< br>2/7
秒，也就是乙在休息到第
4
又
2/7
秒时被甲追上
,
或者说乙休息到还剩下
5/7
秒时被甲追上的。<
/p>
注：这种方法不适于休息点不同的题，具有片面性。
-------------------------------------------
------------------------
2.
正方形
ABCD
的边长为
50
米
,
甲
,
乙两人分别同时从点
A
、
B
出发沿
逆
时针行走
,
甲每分钟行
45
米，乙每分钟行
75
米
，并且甲、乙两人走到转弯
的地方都要休息
10
秒钟。求乙从出发多长时间，在何处追上甲？
方法一：新思考的解法。
45m/min
A
D
本题答案详细解答
:
甲
（
1
）情况
1
，假设在甲休息结束时被乙追上。
追及时间为：
50/
（
75-45
）
=5/3
（分）
，
这时乙行了
5/3*75=125
（米）
，
甲行
了
5/3*45=75
（米）。由于
1
25
和
75
都不是
50
整数倍，情况
1
不满足条件。
75m/min
（
2
）情况
3
，假设在甲行进过
程中被乙追上。
乙
B
追及时间为：（
50+1/6*4
5
）
/
（
75
-45
）
=23/12
（分），这时乙
行了
23/12*75=143
又
C
3/4
（米），甲行了
23/12*4
5+
1/6*45
=93
又
3/4
（米）。用时（用甲计算）：
23/12+
1/6*2=2
又
1/4
（分）。用时
（用乙计算）：（
93
又
3/4
）
/45+1/6=2
又
1/4
（分）。
（
3
）情况
2
，由于
125
和
143
又
3/4
之间没有是
50
的整数倍
.
因此本题答案为
2<
/p>
又
1/4
分。即
135
秒。
方法二：我以前的解法
45
米
/
分
=0.75
米
/
秒
75
米
/
分
=1.25
米
/
秒<
/p>
假设不考虑休息，乙追上甲用时
50/
（
1.25-0.75
）
=100
（秒）
.
现在我
们考虑
100
秒时甲乙的位置，这时乙行
1.25*100=125
米，离
D
点
25
米处，休息两次实际用时
120
秒。这时甲行
110*0.75=82.5
米，离
D
点
32.5
米，
乙再追甲
32.5-25=7.5
米，
用时
7.5/
（
1.25-0.75
）
=15
（秒）
。
15*1.25=18.75
（米）
。
所以，乙追上甲在
离
D
点
25+18.75=43.75
米处，用时
120+15=135
秒。
3.
如图，甲、乙两人环绕边长为<
/p>
9
米的正方形花坛的四周散步，甲每
分钟
走
30
米，乙每分钟走
18
米，两人每绕过一个顶点要多花
6
秒钟，请问
甲在出发多少分钟，在什么地方刚好追上乙？
A
甲
B
D
本次思考后新的解法：
本题答案详细解答
:
乙
C
<
/p>
30
米
/
分
=0.5
米
/
秒<
/p>
18
米
/
分
=0.3<
/p>
米
/
秒
（
1
）情况
1
，假设在乙休息结束时被甲追上。
追及时间
为：
（
9*2+6*0.3
）
/
（
0.5-0.3
）
=99
（秒）
，
这时甲行了
99*0.5=49.5
（米）
< br>，
乙行了
99*0.3+
0.3
*6
=31.5
（米）
。
由于
49.5
和
31.5<
/p>
都不是
9
整数倍，
情况
1
不满足条件。
（
2
）情况
3
，假设在乙行进过程中被甲追上。
追及时间为：<
/p>
（
9*2+6*0.3*2
）
/
（
0.5-0.3
）<
/p>
=108
（秒）
，
这时甲行了
108*0.5=54
（米）
，
乙行了
108*0.3+6*2*0.3=36
（米）
。
54
米和
36
米都是
9
米的
倍数关系。
用时（用甲计算）：
54/0.5+(54/9-1
)*6=138
（秒）。用时（用乙计算）：
36/0.3+(
36/9-1)*6=138
（秒）
=2.3
< br>分钟。上面的分析中甲恰好在
C
点追上乙，
此时甲、乙都恰好跑完
BC
这条边，都恰好要绕过顶
点
C
，这个时刻既可以理解
为
甲不是在顶点处追上乙，
又可理解为甲是在顶点处追上乙
，
所以如果假设
“甲
是在顶点
处追上乙”
再进行计算，
所得的结果肯定与上面的结果相同，<
/p>
所以可以
确定，甲是在出发后
2.3
分钟在
C
点追上乙的。
（
3
）情况
2
，由于
49.5
和
54
之间没有
9
的整数倍，
所以，不是在乙休息
过程中被甲追上。
综合得到本题答案：
2.3
分钟。
----------------------------------
解法一：
如果甲不是在顶点处追上乙
，那么甲追上乙时比乙要多绕
2
个顶点，多用
< br>6
×
2=12
（秒），所以甲需
追上的路程为起始时的路程差
9
×
2=
18
米以及乙在
12
秒内所走的路程之
和：
9
×
2+18
×（
12
÷
60
< br>）
=21.6
（米）。
先不计甲绕过顶点时多用的时间，甲追上乙时甲走路的时间为：
21.
6
÷
（
30-18
）
=1.8
（分钟）
，
甲共行了
30
×
1.8=
54
（米）
，
共走了正方形花坛的
54/9=6
条边，
此时甲恰好在
C
点追上乙，
可以视为甲、
乙都恰好跑到
BC
这条边的终点，
符合“甲不是在顶点处追上乙”的假设，所以甲走了
54
米后追
上乙，此时由于
绕了
5
个顶点，所以共
用时间
1.8+
（
6/60
）×
5=2.3
（分钟）。
上面的分析中甲恰好在
C
点追上乙
，此时甲、乙都恰好跑完
BC
这条边，都
恰好要绕过顶点
C
，这个时刻既可以理解为
< br>甲不是在顶点处追上乙，又可理解为
甲是在顶点处追上乙
，所以如果假设“甲是在顶点处追上乙”再进行计算，所得
的结果肯定与上面的结果相同
，所以可以确定，甲是在出发后
2.3
分钟在
< br>C
点追
上乙的。
解法二：
30
米
/
分
=0.5
米
/
秒
18
米
/<
/p>
分
=0.3
米
/
秒
如果是从同一个地点
A
出发，
甲比乙晚出发的时间在
(9*2)/0.5
＋
6
＝
42
（秒）
和
(9*
2)/0.5
＋
6*2
＝
48
（秒）之间，在以后的行程中，甲就要比乙少用这么多时
间，就可以追上乙了。由于甲行
9
米比乙行
9
米少用
9/0.3
－<
/p>
9/0.5
＝
12
（分）。
因为
48÷12=4
是整数，
说明第一次追上是在两人行进中追上的。
< br>即乙共行了
4×9=36
（米），甲共行了
4×9
＋
18
＝
54
（米），
54/9=6
，甲行
6
个边到
C
< br>点，甲
休息了
6-1=5
次，休
息时间
5*6=30
（秒），
36/9
=4
，乙休息了
4-1=3
次，休息时
间为
3*6=18
（秒），乙行
4
个边也到
C
，乙共
行的时间为
36/0.3+18=138
（秒）
=2.3
（分）。即乙刚到
C
点就被甲追上了。这个时刻既可以理解为
甲不是在顶点
处追上乙
，又可理解为甲是在顶点处追上乙
。
4.
环形
跑道周长是
500
米，甲、
乙两人从起
点按顺时针方向同时出发。
甲每分跑
120
米，乙每分跑
100
米，两人都是每跑
200
米停下休息
1
分。甲
第一次追上乙需多少分？
本题解答过程：
甲比乙多跑
500
米，应比乙多休息
2
次，即
2
分
。在甲多休息的
2
分内，
乙又跑了
2
00
米，所以在与甲跑步的相同时间里，甲比乙多跑
500
＋
200
＝
700
（米）
，
甲跑步的时间为
700
÷
（
120
－
100
）
＝
35
（分）
。
共跑了<
/p>
120
×
35
＝
4200
（米），中间休息了
4200
÷
200
－
1
＝
20
（次
），即
20
分。所以甲第一次追上
乙需
35
＋
20
＝
55
（分）。
5.
<
/p>
甲乙两人同时从一条
800
环形跑道同一
地点同向行进，甲
100
米
/
分，乙
80
米
/
分，两人每跑
200
米休息
< br>1
分钟，甲需多久第一次追上乙？
【解答】
这样的题有三种情况：
在乙休息结束时被追上、<
/p>
在休息过程中被追
上和在行进中被追上。
很显然首先考虑在休息结束时的时间最少，
如果不行再考
虑在休
息过程中被追上，最后考虑行进中被追上。
由此首先考虑乙在
休息结束时，
被甲追上。
休息
800<
/p>
÷
200
－
1<
/p>
＝
3
次的情况。
甲就要比乙多休息
3
分钟，就相当于甲要追乙
< br>800
＋
80
×
3
＝
1040
米，需要
1040
÷（
100
－
80
）＝
52
分钟，
52
分钟甲行了
52
×
100
＝
5200
米
52+3
=55
分钟乙行了
52
×
80+3
×
80
＝
4400
米，
520
0
是
200
的整数倍，
4400
是
200
的整数倍，
满足在乙休息结束时被甲追
上条件。
5200
米要甲要休息
5200
÷
200
－
1
＝
25
分钟。
因此甲需要
52
＋
25
＝
77
分钟第一次追上乙。用乙算
时间
4400/80+4400/200=77
分钟。
6.
如图
,
等边三角形花坛
ABC
的边长为
100
米
,
甲从点<
/p>
A
、乙从点
B
同
时出发
,
都按顺时针方向沿着三角形的
边行进。甲每分钟走
60
米
,
乙每分钟
走
80
米他们
在过每一个顶点时都因转角而耽误
10
秒
(
出发时
,
不用转角
),
那么乙在出发多少分钟后就可以追上甲
?
这类问题应该分成三种情况讨论：（
1
）在甲休息结束时追上，两人休息次
数相同。（
2
）在甲休息过程中追上，休息时间相差
0-10<
/p>
秒之间。（
3
）在甲乙
< br>行进过程中追上。
正确答案：
乙在甲休息结束时追上，
两人用的时间相同，
速度比即为二人路
程之比。因此就有速度比为
80:60=4:3,
即当乙行
4
条边，甲行
3<
/p>
条边时，在甲
刚休息结束时被乙追上。
乙
行
400
米休息
3
次，
甲行
300
米休息
3
次。
用时：
400
÷
80+
3
×
10
=5.5
（分钟）。用乙计算时间为<
/p>
300/60+3*(1/6)=5.5
分钟。
< br>
60
7.
如图
,
等边三角形
ABC
的边长为
100
米
,
甲从点
A
、乙从点
B
同时出
发
,
按顺时针方向沿着三角形的边行进
.
甲每分钟走
60
米
,
乙每分钟走
90
米
,
他们在过每一个顶点时都因转角而耽误
10
秒
,
那么乙在出发
后多少分钟后
就可以追上甲
?
正确答案：
乙在甲休息结束时追上，
两人用
的时间相同，
速度比即为二人路
程之比。因此就有速度比为
90:60=3:2,
即当乙行
3
条边，甲行
2
条边时，在甲
刚休息结束时被乙追上。
乙行
300
米休息
2
次，
甲行
< br>200
米休息
2
次。
用时：
300
÷
90+<
/p>
2
×
10
=11
/3
（分钟）。答案不是网上的
4
又<
/p>
1/6
分钟。
一个是
11/3
分钟，
60
另一个是
25/6,
最小数应该是
11/3
，不应该是
25/6.
8.
如图是一个边长为
100
米的正三角形
,
甲自
A
点
,
乙自<
/p>
B
点同时出发
,
按顺时针方向沿三角形的边行进
.
甲每分走
120
米
,
乙每分走
150
米
,
但过每
个顶点时
,
因转弯都要耽误
10
秒
.
乙出发
< br>
长时间在
处追上甲
.
正确答案：
乙在甲休息结束时追上，
两人用的时间相同，
速度比即为二人路
程之比。因此就有速度比为
150:120=5:4,
即当乙行
5
条边，甲行
4
条边时，在
甲刚休息结
束时被乙追上。乙行
500
米休息
4<
/p>
次，甲行
400
米休息
< br>4
次。用时：
500
÷
150+
4
×
10
=4
分钟。答案不是网上的
4
又
5/6
分钟。
一个是
4
分钟，另一
60
个是
29/6,
最小数应该是
4
，不应该是
29/6.
以下为网上本题的一些答案：
方法一：
甲、乙的速度比为
4
∶
5
，所以甲走
4
条边的时间乙走
5
条边。注意：乙追
上甲时两人都转了
4
个弯。
甲走
100
米要花
50
秒加上转角花的
1
0
秒，
就是每过一边要花
1
分钟，
甲行
4
个边，转弯
4
次，即
4
分
钟，最后一次刚转弯被乙追上，乙还没有转弯，这样
乙也转弯
4
次。
结论：
4
分后乙在
C
点追上甲。
方法二：
甲走
100
米要花
50
秒加
上转角花的
10
秒，就是每过一边要花
60
秒
乙走
100
米要花
40
秒加上转角花的
10
秒，就是每过一边要花
50
秒
那么甲每次转过弯时，
乙能缩小和甲差距为：
(60-50)
×
（
150
÷
60
< br>）
=25
（米）
那么
100
米的差距要
10
0
÷
25=4
（分）
< br>
方法三：
甲走
100
米要花
50
秒加上转
角花的
10
秒，就是每过一边要花
60
秒
乙走
10
0
米要花
40
秒加上转角花的
10
秒，就是每过一边要花
50
秒
由
60*4=240
，
240=50*4+40
知，甲转过
4
条边时，乙转过
5
条边，最后一次
没转弯就追上甲了。
方法四：
我们假设甲乙从同一个点<
/p>
B
地出发，乙比甲晚出发的时间为
100
÷
150
×
6
0=40
（秒）与
100
÷
150
×
60+10=50
（秒）之间。在以后的行程中，乙就要比甲
少用这么多时间，才可能追上甲。