中考数学复习4图形与图形的变换
-
.
.
.
.
四．图形与图形的变换
【课标要求】
1
．图形的初步认识
①掌握画基本几何体
(
直棱柱、圆柱、圆锥、球
)
的三视图，会判断简单物体的三视图，能根
据三视图描述基本几何体或实物原型．
②了解直棱柱、圆锥的
侧面展开图，能根据展开图判断立体模型．
③了解几何体与其
三视图、展开图
(
球除外
)
之间的关系．
④掌握比较角的大小，估计一个角
的大小，计算角度的和与差，进行度、分、秒简单换算．
⑤了
解角平分线及其性质，了解补角、余角、对顶角；理解等角的余角相等、等角的补角相
等
、对顶角相等．
⑥了解两点之间，线段最短；了解经过两点有
一条直线，并且只有一条直线．
⑦了解垂线、垂线段等概念，
垂线段最短的性质，点到直线距离的意义；了解过一点有且仅
有一条直线垂直于已知直线
．
⑧掌握用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；了解线
段垂直平分线及其性质．
⑨理解平行线的特征和平行线的识别
；
了解过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线；
掌握用
三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．
⑩理解
平行线之间距离的意义；掌握度量两条平行线之间的距离的方法．
2
．轴对称
①认识轴对称．
②理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．
③掌握能按要求作简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形．
④掌握简单图形之间的轴对称关系，并指出对称轴．
⑤掌握基本图形
(
等腰三角形、矩形、菱形、等
腰梯形、正多边形、圆
)
的轴对称性质及相关
< br>性质．
⑥掌握利用轴对称进行图案的设计．
3
．平移和旋转
①认识平移，
理解对应点连线平行且相等的性质；
掌握按要
求作简单平面图形平移后的图形；
掌握选用平移进行图案设计．
②认识旋转
(
含中心对称
)
；
理解对应点到旋转中心的距离相等、
对应点与旋转中心连线所成
的角彼此相等的性质．
③了解平行四边形、圆是中心对称图形．
④掌握按要求作简单平面图形旋转后的图形．
⑤掌握图形之间的轴对称、平移、旋转及其组合四种关系形式．
⑥掌握运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．
⑦在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，培养学生的数学说
理的习惯与能力．
. . . .
.
.
.
.
【课时分布】
图形与图形的变换在第
一轮复习时大约需要
3
个课时，
下表为
容及课时安排
(
仅供参考
)
课时数
1
1
1
1
【知识回顾】
1
．知识脉络
容
基本图形的认识
轴对称与轴对称图形
平移与旋转
图形与图形的变换单元测试与评析
图
形
的
初
步
认
识
立体图形
视图
平面展开图
角
相交线
平行线
平面图形
点和线
2
．基础知识
(1)
两点之间线段最短；连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
(2)
视图有正视图、俯视图、侧视
图
(
左视图、右视图
)
．
(3)
平行线间的距离处处相等．
<
/p>
(4)
平移是由移动的方向和距离决定的．
(5)
平移的特征：
①对应线段平行
(
或共线
)
且相等；连结对应的线段平行
(
或共
线
)
且相等；
②对应角分别相等；
③平移后的图形与原图形全等．
(6
)
图形的旋转由旋转中心、旋转角度和旋转方向决定．
(7)
旋转的特征：
①对应点与旋转中心的距离相等；对应线段相等，对应角相等；
②每一点都绕旋转中心旋转了相同的角度；
③旋转后的图形与原图形全等．
3
、能力要求
. . . .
图
形
之
间
的
变
换
关
系
轴对称
平移
旋转
旋转对称
中心对称
.
.
.
.
例
1
选择、填空题
(1)
如图
6-1
，小军将一个直角三角板绕它的一条直角边
所在的直线旋转一周
形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开得到的大致图形是
（
）
Ａ．
B
．
C
．
D
．
【分析】图形的旋转与展开．
【解】
D
．
(2)
如图
6-2
，
已知
□
ABCD
的对角线
BD
=4cm
，
将
□
ABCD
绕其
对称中心
O
旋转
180
°，则点
D
所转过的路径长为
（
）
< br>A
．
4
π
cm
C
．
2
π
cm
【分析】图形的旋转与圆弧问题结合．
【解】
C
．
(3)
有两个完全重合的矩形，
将其中
一个始终保持不动，
另一个矩形绕其对称中心
O
按逆
时针方向进行旋转，
每次均旋转
< br>45
，
第
1
次旋转后得到图①，
第
2
次旋转后得到图②……，
则第
10
次旋转后得到的图形与图①～图④中相同的是（
）
图①
图②
图③
图④
A
．图①
B
．图②
C
．图③
D
．图④
B
．
3
π
cm
D
．π
cm
图
6-1
A
O
B
图
6-2
D
C
O
O
O<
/p>
O
【分析】图形的旋转与操作．
【解】
B
．
(4)
如图
6-3
，在
Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，
AC<
/p>
＝
8
，
BC
＝
6
，按图中
所示
方法将△
BCD
沿
BD
折叠，使点
C
落在边
AB
上的点
C
′处，则折
痕
BD
的长为
__________
．
A
【分析】图形的折叠与勾股定理应用．
【解】
3
5
．
C
’
D
图
6-3
C
B
.
. . .
.
.
.
.
(5)
如图
6-4
，
在
8
6
的网格图
（每个小正方形的边长均
为
1
个单位长度）中，⊙
A
的半径为
2
个单位长度，⊙
B
的半径为
1
个单位长度，要使运动
的⊙
B
与静止的⊙
A
< br>切，应将⊙
B
由图示
位置向左平
移
个单位长度．
【分析】图形平移、圆的位置关系与发散思维结合
【解】
4
或
6
(6)
如
图
6-5
所示，在折纸活动中，小明制作了一
< br>△
ABC
纸片，
点
D
、
E
分别是边
AB
、
AC
上，
将
△
ABC
沿着
DE
折叠压平，
A
与
A
'
重合，
若
A
=70
，
则
1+<
/p>
2
（
）
A.
140
B.
130
C.
110
D.
70
【分析】图形折叠、三角形角和与平角的结合
【解】
A
(7)
如图
6-6-1
和
6-6-2
，四边形
ABCD
是边长为
1
的正方形，四
边形
EFGH
是边长为
2
的正方形，点
D
与点
F
重合，点
B
，
D
（
F
）
，
H
< br>在同一条直线上，将正
方形
ABCD
沿
F
→
H
方向平移至点
B
与点
H
重合时停止，设点
D
、
F
之间的距离为
x
，正方形
< br>图
6-5
图
6-4
ABCD
与正方形
EFGH
重叠部分的面积为
y
，则能大致反映
y
与
x
之间函数关系的图象是
·····························<
/p>
（
）
图
6-6-1
图
6-6-2
【分析】图形的平移、动点问题及函数图像
【解】
B
【说明】由于概念、
性质比较多，复习时可以通过基本练习题的训练，
使学生熟练掌握图形
与图形变换的基本知识、基本方法和基本技能．重视平移、旋转、折叠、展开过程中学生
思
维的训练，重视平移、旋转、折叠、展开的操作过程，提高学生的分解、组合图形的能
力和
. . . .
.
.
.
.
动手能力。
例
2
图中的小方格都是边长为
1
的正方形，△
ABC
的顶点和
O
点都在正方形的顶点上．
(1)
以点
O
为位似中心，在方格图中将△
ABC
放大为原来的
2
倍，得到△
A
’
B
’
C
’；
(2
）△
A
’
B
’
C
’绕点
B
’顺时针旋转
9
0
，画出旋转后得到的△
A
B
’
C
，并求边
A
’
B
’
在旋转过程中扫过的图形面积．
< br>
根
律．
【解
】
(1)
见图中△
A
< br>’
B
’
C
’
(2)
见图中△
A
B
̋’
C
< br>
90
1
2
2
π
(
2
+4
)=
π
·20=5
π
(
平方单位
)
360
4
B
A
O
C
B
图
6-7
A
O
C
A
′
【
分
析
】
据
位
似
，
C
′
B
′
A
″
C
″
旋转变
化图形的特征在网格线作图，
重点考察学生的动手操作能力，
熟
悉网格中图形变换规
S
=
【说明】
这是一个旋转变化与网格结合的题目，
重点考察学生的动手操作能力
，
考察学生数
形结合的能力．这类题在复习中应引起重视．
例
3
如图
6-8-1
，将一组对边平行的纸条沿
EF
折叠，点
A
、
B
分别落在
A
’
、
B
’
处，
A
’
线
段
FB
’
与
A
D
交于点
M
．
图
6-8-1
图
6-8-2
D
C
B
’
A
’
M
F
E
A
B
D
C
B
’
N
M
E
F
D
’
C
’
A
B
(1)
试判断△
MEF
的形状，并证明你的结论；
(2)
如图
6-8-2
，将纸条的另一部分
CFMD
沿
MN
折叠，点
C
、
D
分别落在
C
’
、
D
’
处，且
使
MD
’
经过点
F
，试判断四边形
MNFE
的形状，并证明你的结论；
(3)
当∠
BFE
＝
_________
度时，四
边形
MNFE
是菱形．
. . . .
.
.
.
.
【分析】图形翻折与三角形、特殊四边形
【解】
(1)
△
MEF
是等腰三角形
证明：∵
AD
∥
BC
∴∠
MFE=
∠
EFB
∵∠
MEF=
∠
EFB
∴∠
MEF=<
/p>
∠
MFE
∴<
/p>
ME
=
MF
<
/p>
即
△
MEF
是等
腰三角形
(2)
四边形
MNFE
为平行四边形
∵
ME
=
MF
，
同理
NF
=
MF
∴
ME
=
NF
又∵
ME
=
NF
∴四边形
< br>MNFE
为平行四边形
(3)60
【说明】
加强图形与图形
变换知识与学科知识之间的联系，
提高学生综合运用数学知识的能
力，培养学生良好的思维习惯，这是数学常见的解题方法．
例
4
已知，点
P
是正方形
ABCD
的一点，连<
/p>
PA
、
PB
、<
/p>
PC
.
(1)
将△
PAB
绕点
B
顺时针旋转
90
°到△
P
′
CB
的位置（如图
6
-9-1
）
.
①设
< br>AB
的长为
a
，
PB
的长为
b
（
b
<
a
）
< br>，求△
PAB
旋转到△
P
′
CB
的过程中边
P
A
所扫过
区域（图
6-9-1
中阴影部分）的面积；
②若
< br>PA
=2
，
PB
=4
，∠
APB
=135
°，求
PC
的长
.
(2)
A
D
如
图
6-7-2
，若
A
< br>PA
2
+
PC
< br>2
=2
PB
2
< br>，
请
D
说明点
< br>P
上
.
B
P′
C
P
必
在对
角线
AC
P
B
C
图
6-9-2
图
6-9-1
< br>【分析】旋转、正方形、勾股定理与逆定理、面积的割补，图形变换在几何问题中的作用．
【解】
(1)
①
S
阴影
=
a
4
< br>2
b
2
②
连
结
PP
′，证△
PBP
′为等腰直角三角形，从而
PC
=6
< br>；
(2)
将△
PAB
绕点
B
顺时针旋转
90
°到△
P
′<
/p>
CB
的位置，由勾股逆定理证
. . . .
.
.
.
.
∠
P
’
CP
=90
°，
再证∠
BPC
＋∠
APB
=180
°，即点
P
在对角
线
AC
上．
【说明】加强图形与图形变换知识与学科知识之间的联系，旋转、
面积的割补，图形变换
在
几何问题中的作用在本题中充分体现，
这样的方法在几何中经
常出现，
也有一定难度。
适当
练习可以
提高学生综合运用数学知识的能力，
可以培养学生良好的思维习惯，
这是数学中常
见的解题方法．
例
5
如图
6-10-1
，在△
ABC
中，点
P
为
BC
边中点，
直线
a
绕顶点
A
旋转，若
B
、
P
在
直线
a
的异侧，
BM
直线
a
于点
M
，
CN
直线
a
于点
N
，连接
PM
、
PN
；
(1)
延长
MP
交
CN
于点
E
(
如图
6-10-2).
①求证：△
BPM
△
CPE
；②求证：
PM
=
PN
；
(2
)
若直线
a
绕点
A
旋转到图
6-10-3
的位置时，
点
B
、
P
在直线
a
的同侧，
其它条件不变。
此时
PM
=
PN
还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)
若直线
a
绕点
A
旋转到与
BC
边平行的位置时，
其它条件不变。
请直
接判断四边形
MBCN
的形状及此时
P
M
=
PN
还成立吗？不必说明理由．<
/p>
A
N
B
M
P
C
B
M
a
P
A
a
N
C
图
6-10-1
图
6-10-2
A
N
a
M
C
B
P
图
6-10-3
< br>【分析】
图形变换，全等三角形、直角三角形的结合
<
/p>
【解】
(1)
证明
:
①如图
2
，∵
< br>BM
直线
a
< br>于点
M
，
CN
< br>
直线
a
于点
< br>N
，
∴
BMN
=
CNM
=90
，∴
BM
//
CN
，∴
MBP
=
ECP
，
又∵
P
为
BC
边中点，∴
BP
=
CP
，又∵
BPM
=
CPE
，∴△
BPM
△
CPE
，
②∵△
BPM
△
< br>CPE
，∴
PM
=
PE
，∴
PM
=
1
1
ME
，∴在
Rt
△
MNE
中，
PN
=
ME
，
2
2
∴
PM
=
PN
；
(2)
成立，如图
3
，证明：延长
MP
与
NC
的延长线相交于点
E
，
∵
BM
直线
a
于点
M
，
CN
直线
a
于点
N
，
∴
BMN
=
CNM
=90
，∴
BMN
CNM
=180
，∴
BM
//
CN
，∴
MBP
=
ECP
，
又∵
P
为
BC
中点，∴
BP
=
CP
，又∵
BPM
=
CPE<
/p>
，∴△
BPM
△
CPE
，∴
PM
=
PE
，
1
1
ME
，则在
Rt
△
MNE
中，
PN
=
ME
，∴
PM
=
PN
.
2
2
(3)
四边形
MBCN
是矩形，
PM
=
PN
成立
.
∴
PM
=
【说明】在旋转过程中的变与不变，
变化的
仅是图形的位置，
有很多不变的因素，
万变不离
其宗．
我们只要选取其中的一种情形来证明就可以．
另
外要加强变式与引申训练，
让学生举
一反三、触类旁通．这类几
何综合题经常出现，图形改变，方法不变，前面小题往往起提示
作用，复习时应加以训练
。
. . . .