分式整式图形和变换知识点整理
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初一数学
分式、整式、图形变换知识点汇总
整式
代数式
：
用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。
单独的数或字母
也是代数式。
代
数式的书写
：
1
、代数式中出现乘号通
常写作“
*
”或省略不写，但数与数相乘不遵循此原
则。
2
、数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的
前面。
3
、带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式。
4
、相同
字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式。
5
、代数式不能含有“
=
、≠、
<
、
>
、≥、≤”符号。
代数
式的值：
用数值代替代数式中的字母，
按照代数式的运算关系计
算出的结果，
叫代数式
的值。
注意：
1
、代数式中省略了乘号，带入数值后
应添加×。
2
、若带入的值是负数时，应添上括号。
3
、注意
解题格式规范，应写“当
…
..
时，原
式
=
……
..
”
.
1
、单项式
：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式，单独一个数或一个字母也是单项
式，
如
a
，
5
。
例：判断下列各代数式哪些是单项式
x
1
（
1<
/p>
）
2
；
(2)y
；
(3)
－
xy2
；
(4)
－
5
2
、单项式系数和次数：
系数：与字母相乘的数字叫单项式的系
数。次数：所有字母的指数
的和叫做单项式的次数
例：
判断下列各代数式是否是单项式。
如不是，<
/p>
请说明理由；
如是，
请指出它的系数和次
数。
①
x
＋
1
；
②
1
x
；
③
r
；
④－
a2b
2
3
2
注
：①圆周率
< br>π
是常数；
②当一
个单项式的系数是
1
或－
1
时，
“
1
”通常省略不写
，如
,
等；
③单项式次数只与字母指数有关
单项
式的特征
：
1
、分母都不含字母。
2
、不含数与字母或字母与字母的加减运算。
3
、不含
数与字母或字母与字母的开方运算。
3
、多项式：
几个单项式的
和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的
项，叫做常数项
2
2
3
x
2
x
< br>
5
3
x
例：多项式
有三项，它们是
，－
2x
，
5
，其中
5
是常数项
多项式的项与次数：
一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式里，次数最高项的次数，就
是这个多项式的次数
2
例：多项式<
/p>
3
x
2
x
5
是一个二次三
项式。
注：
①多项式的次数不是所有
项的次数之和；
②多项式的每一项都包括它前面的符号
多项式的特征：
1
、分母都不含字母。
2
、不含字母的开方运算
例：指出下列多项式的项和次数：
(
1)3x
－
1
＋
3
(2)
－
＋
－
例：已知代数式
－
－
＋
是关于
x
的
三次二项式，求
m
、
n
的条件。
8x
2
y
4
(
x
1
)
7
，
5
例：
4.
降幂、升幂排列
：把多项式
5x2
＋
3x
－
2x3
－
1
按
x
的指数从大到小的顺序排列，可以
写成
－
2x3
＋
5x2
＋
3x
－
1
，这叫做这个多项式按字母
x
的
降幂排列。
若按
x
< br>的指数从小到大的顺序排列，
则写成－
1
＋
3x
＋
5x2
－
2x3
，
这叫做这个多项
式按字母
x
的升幂排列。
例：把多项式
－
－
＋
重新排列。
(1)
< br>按
a
升幂排列；
(2)
按
a
降幂排
列。
注：
①重新排列多项式时，每一
项一定要连同它的符号一起移动，原首项省略的“＋”号交
换到后面时要添上；②含有两
个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升
(
降
)
幂
排列。
5.
整式：
单项式与多项式统称整式
6.
同类项：
所
含字母相同且相同字母的指数也相同的项叫同类项。常数项也是同类项。
注：
对同类项的理解要抓住两个相同和两个无关
两个相同：所含字母相同，相同字母的指数相同。
两个无关：同类项与系数大小无关，与所含字母的排列顺序无关。
合并同类项：
把多项式中的同类项合并成一项叫合并同类项。<
/p>
把同类项的系数相加的结果做
为合并后的系数，所含字母和字母的
指数不变。
注：
1
< br>、如果两个同类项的系数互为相反数，合并结果为
0
.
2
、不要漏掉不能合并的项。
3
、
只要不再有同类项就是结果。
整式的运算
7
、整式的加减：
本质上就是去括号，合并同类项。非同类项间用加号连接。
添、去括号法则：
变括号，看符号；是正号，不
变号；是负号，全变号。
举例
:
，
，
(
a
)
a
a
m
a
n
=
a
m
< br>
n
；
8
、
幂的运算：
1
、
< br>同底数幂相乘：
2
、
幂的乘方：
4
、同底数幂相除：
a
m
a
n
=
a
m
n
m
n<
/p>
mn
(
ab
)<
/p>
a
b
；
3
、
n
n
n
其中
m
、<
/p>
n
为正整数（
4
中满足
m>n
，
a
≠
0
）
，
a
、
b
可以是单项式也可以是多
项式。
9
、单项式
乘以单项式的法则
：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母的幂分别相
乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
10
、单项式乘以多项式的法则
：单项式与多项式相乘，就
是根据分配律，用单项式去乘多
项式的每一项，再把所得的积相加．
11
、多项式乘以多项式的法则
：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个
多项式的每一项，再把所得的
积相加．
12
、单项式除以单项式的
法则
：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因
式；对于只在被除数里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
13
、多项式除以单项式的法则
：多项式除以单
项式，先把这个多项式的每一项分别除以单
项式，再把所得的商相加．
< br>
整式乘法的常见错误：
（
1
）
所含不相同字母虽不做相乘运算，但结果不要漏写．
（
2
）
结果书写不规范：在书写代数式时，项的系数不能用带分数表示，若有带分数一律
要化成假分数或小数形式．
（
3
）
忽略混合运算中的运算顺序
整式的混
合运算与有理数的混合运算相同，
“有乘方，
先算乘方，再算乘
除，最后算加减：如果有括号，先算括号里面的．
”
（
4
）
运算结果不是最简形式
运算结果中有同类项时，要合并同类项，化成最简形式．
（
5
）
忽略符号而致错
在运算过程中和计算结果中最容易忽略“一”号而致错．
14
、乘法公式应用：
1
．
乘法公式
：平方差公式
（
a+b
）
（
a
－
b
）
=a
2
+b
2
，完
全平方公式：
（
a±b
）
2
=a
2
±2ab+b
2
2
．
运用平方差公式应注意的问题
：
（
1
）公式中的
a
和
b
可以表示单项式，也可以是多
项式；
（
2
）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但
通过适当变形后可以用公式．如（
a
＋
b
－
c
）
（<
/p>
b
－
a+c
）
=[
（
b+
（
a
－
c
）
]
［
b
－（
a
－
c
）
］
=b
2
－（
a
－
c
）
2
3
．
运用完全平方公式应注意的问题
：
（
1
）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项
式、
多项式，
只要符合公式的结构特征，
就可以用公式计算；
（
2
）
在利用此公式进行计算时，
不要丢掉中间项“
2ab
”或漏了乘积项中的系数积的“
2
”
倍；
（
3
）计算时，应先观察所给题
目的特点是否符合公式
的条件，
如符合，
则可以直接用公式进行计算；
如不符合，
应先变形
为公式的结构特点，
再利用公式进行计算，
如变形后仍不具备公式的结构特点，
< br>则应运用乘
法法则进行计算．
分式
分式的定义
一般地，如果
A
，
B
表示两个整式，并
且
B
中含有字母，那么式子
B
为分母。
与分式有关的条件
①分式有意义：分
母不为
0
（
B
0
）
②分
式无意义：分母为
0
（
B
0
）
< br>③分式值为
0
：分子为
0
且分母不为
0
（
<
/p>
A
叫做分式，
A
为分子，
B
A
0
）
B
0
A
0
A
0
或
）
B
< br>
0
B
0
A
0
A
0
或
）
B
0
B
< br>
0
④分式值为正或大于
0
：分子分母同号（
⑤分式值为负或小于<
/p>
0
：分子分母异号（
< br>⑥分式值为
1
：分子分母值相等（
A=B
）
⑦分式值为
-
1
：分子分母值互为相反数（
A+B=0
）
分式的基本性质
分式的分子和分母同
乘（或除以）一个不等于
0
的整式，分式的值不变。
字母表示：
A
A
C
A
A
C
，
，其中
A
、
B
、
C
是整式，
C
0
。
< br>
B
B
C
B
B
C
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式
的
值不变，即
A
A
A
A
<
/p>
B
B
B
B
注意：在应用分式的基本性质时，要注意
C
0
这个限制条件和隐含条件
B
0
。
分式的约分
定义：根据分式的基本性
质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：
①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、
分母系数的最大公约数，然
后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先
对分子分母进行因式分解，再约分。
知识点四：最简分式的定义
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
分式的通分
①
分式的通分：根据分式的基本性质
，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的
同分母分式，叫做分式的通分。
②
分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最
简公分母。
确定最简公分母的一般步骤：
Ⅰ
取各分母系数的最小公倍数；
Ⅱ
单独出现的字母（或含有字母的式
子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；
Ⅲ
相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ
保证凡出现的字母（或含有字母的
式子）为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
分式的四则运算与分式的乘方
①
分式的乘除法法则：
分式乘分式，用
分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
a
c
a
c
b
d
b
d
分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为
a
c
a
d
a
d
<
/p>
b
d
b
c
b
c
②
分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子
a
n
a
n
b
b
③
分式的加减法则：
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
<
/p>
n
a
b
a
b
c
c
c
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为
<
/p>
a
c
ad
bc
b
d
bd
整式与分式
加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分
母为
1
的分式，再通分。
④
分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也
要注意灵活，提高解题质量。
注意：
在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，
注意解题的格式要规范，
不要随便
跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）
。
整数指数幂
①
引入负整数、零指数幂后，指数的
取值范围就推广到了全体实数，并且正整数幂的法则
对负整数指数幂一样适用。即
★
a
m
a
n
a
m
n
★
a
m
n
n
a
mn
n
n
★
a
b
a
b
★
a
m
a
n
a
m
n
（
a
0
）
1
a
n
a
★
< br>
n
★
a
n
n
（
a
0
）
a
b
b
★
a
< br>0
1
（
a
0
）
（任何不等
于零的数的零次幂都等于
1
）
其中
m
，
n
均为整数。
科学记数法
若一个数
x
是
0
0
的数，
则可以表示为
a
1
0
n
（
1
<
/p>
a
10
，
即
a
的整数部分只有一位，
n
为整数）
的形式，
n
的确定
n=
从左边第一个
起到第一个不为
0
的数为止所有
的
0
的个数
的相反数。如
0.000000125=
1.25
10
-7
7
个
0
n<
/p>
若一个数
x
是
x
>10
的数则可以表示为
a
10
n
（
1
a
10
，即
a
的整数部分只有一位，
n
为整数）的形式，
n
的确定
n=
比整数部分的数位的个数少
1
。如
120 000 000=
1.2
10
8
9
个数字
分式方程的解的步骤
⑴去分母，把方
程两边同乘以各分母的最简公分母。
（产生增根的过程）
⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为
0
，则原方程无解，这个未知
数的值是原方程的增根；如果最简公分母不
为
0
，则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的
整式方程的解；②代入最简公分母后值为
0
。
< br>
列分式方程
基本步骤
①
审—仔细审题，找出等量关系。
②
设—合理设未知数。
③
列—根据等量关系列出方程（组）
。
④
解—解出方程（组）
。注意检验