勾股定理与图形变换
-
学习必备
欢迎下载
勾
股
定
理
专
题<
/p>
（
勾
股
定
理
与
图
形
变
换
）
例
1
、
（
2002
•泰
州
）
如
右
图
，
折
叠
矩
形
的
一
边
AD
，
点
D
落
在
BC
边
上
点
F
处
，
已
知
AB=8cm
，
BC=
10cm
，
则
EC
的
长
是
3
cm
．
考<
/p>
点
：
翻
折
变
换
（
折
叠
问
题
）
；
勾
股
定
理
；
矩
形
的
性
质
．
<
/p>
专
题
：
数
形
结
合
．
分
析
：
利
用
勾
股
定
理
易
得
BF
的
长
，
也
就
求
得
了
CF
的
长
，
进
而
根
据
△
CEF
是
直
角
三
角
形
利
用
勾
股
定
理
可
得
CE
的
长
．
解
答
：
解
：
由
折
叠
可
得
AD=AF=10cm
，
DE=EF
，
又
AB=8cm
，
在
Rt
△
ABF
中
，
根
据
勾
股
定
理
得
：
BF=
AF
2
−
AB
2
=6
（
< br>cm
）
，
∴
FC=BC-BF=10-6=4
（
cm
）
，
<
/p>
∵
CE
2
+CF
2
=EF
2
，
∴
CE
2<
/p>
+4
2
=
（
8-CE
）
2
，<
/p>
解
得
CE=3
cm
，
故
答
案
为
3
．
点
评
：
考
查
折
叠
问
题
；利
用
勾
股
定
理
求
解
是
解
决
本
题
的
基<
/p>
本
思
路
；求
得
FC
的
长
是
解
决
本
题
的
突
破
点
．
练
习
：
在
Rt
△
ABc
中
，
∠
C=90
度
，
AC=6
，
BC=8
，
D
，
E
分
别
为
斜
边
AB
和
直
角
边
CB
上
的
点
，
把
△
AB
C
沿
着
直
线<
/p>
DE
折
叠
，
顶
点
B
的
对
应
点
为
F
(1)
如
图
，
如
果
点
F
与
A
重
合
，
求
CE
的
长
(2)
如
图
，
如
果
F
点
落
在
直
角
边
AC
的
中
点
上
，
求
CE
的
长
< br>
A
A(F)
D
F
D
C
B
E
C
B
E
学习必备
欢迎下载
例
2
：
如
图
所<
/p>
示
：
是
一
段
楼
梯
，
高
BC
是
3m
，
斜
边
AC
是
5m
，
如
果
在
楼
梯
上
铺
地
毯
，
那
么
至
少<
/p>
需
要
地
毯
（
）
A
．
5m
B
．
6m
C
．
7m
D
．
8m
:
考
点
：
勾
股
定
理
．
分
析
：
先
根
据
直
< br>角
三
角
形
的
性
质
求
出
AB
的
长
，再
根
据
楼
梯
高
为
BC
的
高
=3m
，楼
梯
的
宽
的
和
即
为
AB
的
长
，再
把
AB
、
BC
的
长
相
加
即
可
< br>．
解
答
：
解
：
∵
△
ABC
是
直
角
三
角
形
，
BC=3m
，
AC=5m
∴
AB=
A
C
2
−
BC
2
5
2
−
3
2
=
=4m
，
∴
如
果
在
楼
梯
上
铺
地
毯
，
那
么
至
少
需
要
< br>地
毯
为
AB+BC=7
米
．
故
选
C
．
< br>点
评
：
本
题
考
查
的
是
勾
股
定
理
，
解
答
此
题
的
关
键
是
找
出
楼
< br>梯
的
高
和
宽
与
直
角
三
角
形
两
直
角
边
的
等
量
关
系
．
练
习
1
< br>、
如
图
，
是
一
个
三
级
台
阶
，
它
的
每
一
级
的
长
、
宽
和
高
分
别
< br>等
于
5cm
，
< br>3cm
和
1cm
，
A
和
B
是
< br>这
个
台
阶
的
两
个
相
对
的
端
点
，
A
点
上
有
一
只
蚂
蚁
，
想
到
B
< br>点
去
吃
可
口
的
食
物
．
请
你
想
一
想
，
这
只
蚂
蚁
从
A
点
出
发
，
< br>沿
着
台
阶
面
爬
到
B
点
，
最
短
线
路
是
多
少
？
考
点
：
勾
股
定
< br>理
的
应
用
．
分
析
：
此
类
题
目
只
需
要
将
其
展
开
便
可
直
观
的
< br>得
出
解
题
思
路
．
将
台
阶
展
开
得
到
的
是
一
个
矩
形
，
蚂
蚁
要
从
< br>B
点
到
A
点
的
最
短
距
离
，
便
是
矩
形
的
对
角
线
，
利
用
勾
股
定
< br>理
即
可
解
出
答
案
．
解
答
：
解
：
将
台
阶
展
开
，
如
下
图
，
< br>因
为
AC=3
×
3+1
×
3=12
，
BC=5
，
所
以
AB
2
=AC
2
+BC
2
=16
9
，
所
以<
/p>
AB=13
（
cm
）
，
所
以
蚂
蚁
爬
行
的
最
短
线
路
为
13cm
．
答
：
蚂
蚁
爬
行
的
最
短
线
路
为
13cm
．
学习必备
欢迎下载
2
、
如
图
，
在<
/p>
一
个
高
为
3
米
，
长
为
5
米
的
楼
梯
表
面
铺
地
毯
，
则
地
毯
长
度<
/p>
为
7
米
．
考
点
：
勾
股
定
理
的
应
用
；
平
< br>移
的
性
质
．
专
题
：
应
用
题
．
分
析
：
当
地
毯
铺
满
楼
梯
时
< br>其
长
度
的
和
应
该
是
楼
梯
的
水
平
宽
度
与
垂
直
高
度
的
和
，
根
据
< br>勾
股
定
理
求
得
水
平
宽
度
，
然
后
求
得
地
毯
的
长
度
即
可
．
解
< br>答
：
解
：
由
勾
股
定
理
得
：
楼
梯
的
水
平
宽
度
=
5
2
−
3
< br>2
=4
，
∵<
/p>
地
毯
铺
满
楼
梯
是
其
长
度
的
和
应
该
是
楼
梯
的
水
平
宽
度
与
垂
直<
/p>
高
度
的
和
，
地
毯
的
长
度
至
少
是
3+4=7
米
．
故
答
案
为
7
．
点
评
：
本
题
考
查
了<
/p>
勾
股
定
理
的
知
识
，
与
实
际
生
活
相
联
系
，
加
深
了
学
生
学
习
数<
/p>
学
的
积
极
性
．
点
评
：
本
题
考
查
的
是
利
用
勾
股
定
理
解
直
角<
/p>
三
角
形
和
图
形
的
展
开
的
问
题
例
3
、
有
一
个
长
为
12cm
，
宽
4cm
，
高
3cm
< br>的
长
方
形
铁
盒
，
在
其
内
部
要
放
一
根
笔
直
的
铁
丝
，
则
铁
丝
最
< br>长
是
13
cm
< br>．
考
点
：
勾
股
定
理
的
应
用
．
分
析
：
本
题
根
据
题
目
中
所
< br>给
的
信
息
，
可
以
构
造
出
直
角
三
角
形
，
再
利
用
勾
股
定
理
解
答
< br>即
可
．
解
答
：
解
：
铁
丝
的
长
为
12
2
+4
2
+3
2
144+16+9
=
=13cm
．
点
评
：
本
题
考
查
正
确
运
用
勾
股
定
理
．
善
于
观
察
题
< br>目
的
信
息
是
解
题
以
及
学
好
数
学
的
关
键
．
学习必备
欢迎下载
练
习
：如
图
：一
个
长
、宽
、高
分
别
为
4cm
、
3cm
、
12cm
< br>的
长
方
体
盒
子
能
容
下
的
最
长
木
棒
长
为
（
）
A
．
11cm
B
．
12cm
C
．
13cm
D
．
14cm
考
点
：
勾
股
定
理
的
应
用<
/p>
．
分
析
：
首
先
利
用
勾
股
定
理
计
算
出
BC
的
长
，
再
利
用
勾
股
定
理
计
算
出
AB
的
长
即
可
．
解
答
：
∴
CB=5m
，
∵
AC=12m
，
∴
AB=
解
：
∵
侧
面
对
角
线
BC
2
=3
2
+4
2
=5
2
，
12
2
+5
2
=13
（
m
）
，
∴
空
木
箱
< br>能
放
的
最
大
长
度
为
1
3m
，
故
选
：
C
．
点
评
：
此
题
主
要
考
查
了
勾
股
< br>定
理
的
应
用
，
关
键
是
掌
握
勾
股
定
理
：
在
任
何
一
个
直
角
三
角
< br>形
中
，
两
条
直
角
边
长
的
平
方
之
和
一
定
等
于
斜
边
长
的
平
方
．
< br>
4
、
已
知
A
、
B
两
个
村
庄
的
坐
标
分
别
为
（
2
，
2
）
，
（
< br>7
，
4
）
，
一
辆
汽
车
（
看
成
点
P
）
在
x
轴
置
：
上
行
驶
．
< br>试
确
定
下
列
情
况
下
汽
车
（
点
P
）
的
位
（
1
）求
直
线
AB
的
解
析
式
，且
确
定
汽
车
行
驶
到
什
么
点
时
到
A
、
B<
/p>
两
村
距
离
之
差
最
大
？
（
2
）
汽
车
行
驶
到
什
么
点
时
，
到
A<
/p>
、
B
两
村
距
离
相
等
？
考
点
：
一
次
函
数
综
合
题
；
两
点
间
的<
/p>
距
离
公
式
．
专
题
：
应
用
题
．
分
析
：
（
1
）利
用
待
定
系
数
法
即
可
求
得
直
线
AB
的
解
析
式
，当
汽
车
行
驶
到
直
线
< br>AB
上
时
，
到
A
，
B
两
村
的
距
离<
/p>
之
差
最
大
，
即
可
求
得
点
的
坐
标
；
（
2
）
本
题
即
为
求
线
段<
/p>
AB
的
中
垂
线
与
x
轴
的
交
点
．
根
据
两
点
< br>之
间
的
距
离
公
式
即
可
求
解
．
解
答
：
解
：
（
1
）
设
直
线
AB
的
解
析
式
是
y=kx+b
．
根
据
题
意
< br>得
：
7
k
+
b
＝
4
学习必备
欢迎下载
2
k
+
b
＝
2
，
解
得
：
k
＝
2
5
b
＝
6
5
，
则<
/p>
直
线
AB
的
解
析
式
是
y=
2
5
x+
6
5
．
在
解
析
式
中
，
令
y=0
，
解
得
：
x=-3
．
即
当
汽
车
行
使
到
（
-3
，
0
< br>）
时
，
到
A
、
B
两
村
距
离
之
差
最
大
．
（
2
）
设
汽
车
行
驶
到
（
x
，
0
）
点
< br>时
，
到
A
、
B
两
村
距
离
相
等
．
根
据
题
意
得
：
（
7-x
）
2
+16=
（
x-2
）
2
+4
．
解
得
：
x=5.7
．
故
所
求
点
的
坐
标
是
（
5.7
，
0
）
．
点
< br>评
：
本
题
主
要
考
查
了
两
点
之
间
的
距
离
公
式
，
正
确
理
解
所
求
< br>的
点
满
足
的
条
件
是
解
决
本
题
的
关
例
4
、如图，在长方体上有一只蚂蚁从项点
A
出发，
要爬行到顶点
B
去找食物，一只长方体的长、宽、高
分别为
4
、
1
、
2
，如果蚂蚁走的是最短路径，你能画出蚂蚁走
的路线吗？
考点：
平面展开
-
最短路径问题
；
勾股
定理
．
专题：
计算题
．
分析：
< br>分为两种情况：如图
1
根据勾股定理求出
AB
长，如图
2
根据勾股定理
求出
AB
长，得出图
1
时最短，画出即可．
解答：
∠
C=90°
，由勾股定理得：
AB=
5
；
解：线段
AB
的长就是蚂蚁走的最短距离，
分为两种情况：如图
1
：
AC=4
，
BC=2+1=3
，
学习必备
欢迎下载
如图
2
：
AC=4+1=5
，
BC=2
，
∠
C=90°
，在△
A
BC
中，由勾股定理得：
AB=
29
＞
5
，
∴沿图
1
路线走时最短，
< br>
即能画出蚂蚁走的最短路线：如图从
A
到
C′
再到
B
．
点评：
本题考查了勾股定理，最短路线问题的应用，关键是能求出符合条件的最短路线的长，题目比较好，
但是一道比较容易出错的题目．
练习
1
、如图，长方体的底面边长分别为
2cm
和
4cm
，高为
5cm
．若一只蚂蚁从
P
点开始经过
4
个侧面
爬行一圈到达
Q
点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（
）
A
．
13cm
B
．
12cm
C
．
10cm
D
．
8cm
考点：
< br>平面展开
-
最短路径问题
．
专题：
常规题型
．
分析：
要求长方体中两点之间的最
短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最
短解答．