三角形的内切圆和外接圆
-
三角形外接圆半径的求法及应用
方法一：
R
＝
ab/(2h)
三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。
AD
是△
ABC
的高，
AE
是△
ABC
的外接圆直径．求证
AB
·
AC
＝
AE
·
AD
．
证
：连接
AO
并延长交圆于点
E
，连接
BE
，
则∠
ABE
＝
90
°
.
∵∠
E
＝∠
C
，
∠
ABE
＝∠
ADC
＝
90
°，
∴
Rt
△
ABE
∽
Rt
△
ADC<
/p>
，
AD
AC
∴
AB
AE
，
∴
AB
·<
/p>
AC
＝
AE
·<
/p>
AD
方法二：
2R
＝
a/SinA
，
a
为∠
A
的对边<
/p>
在锐角△
ABC
中，外接圆半径为
R
。求证：
2
R
＝
AB/SinC
证
：连接
AO
并延长交圆于点
E
，连接
BE
，
则∠
ABE
＝
90
°
.
∴
AE
＝
AB
/SinE
∵∠
C
＝∠
E
，
SinC
＝
SinE
∴
< br>AE
＝
AB/SinC
∴
2
R
＝
AB/SinC
若
C
为钝角，则
SinC
＝
Sin
（
180
o
－
C
）
应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。
例
1
已知：如图，在△
ABC
中，
AC
＝
13
，
BC
＝
14
，
AB
＝
15
，求△<
/p>
ABC
外接圆⊙
O
的半径
r.
分析：作出直径
AD<
/p>
，构造
Rt
△
A
BD.
只要求出△
ABC
中
BC
边上的高
AE
，用方
法一就可以求出直径
AD.
解：作
A
E
⊥
BC
，垂足为
E.
C
设
CE
< br>＝
x,
E
D
2
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
2
∵
AC
-CE
＝
AE
＝<
/p>
AB
-BE
，∴
13
-x
＝
15
-(14-x)
∴
x=5,
即
CE
＝
5
，∴
AE
＝
12
R
＝
ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8
A
O
B
∴△<
/p>
ABC
外接圆⊙
O
的半径
r
为
65
.
8
例
2
已知：在△
ABC
中，
AB
＝
13
，
BC
＝
12
，
AC
＝
5
，求△
ABC<
/p>
的外接圆的半径
R.
分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。
应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角）
，求外接圆的半径。
例
3
已知：如图，在△
ABC
中，
AC
＝
2
，
BC
＝
3
，∠
C
＝
60
°，求△
ABC
外接圆⊙
O
的半径
R.
分析：考
虑求出角的对边长
AB
，然后用方法一或方法二解题
.
解：作直径
AD
，连结
BD.
作
AE
⊥
BC
，垂足为
E.
C
E
A
3
则∠
DBA
＝
90
°，∠<
/p>
D
＝∠
C
＝
60
°，
∠
CAE
＝∠
DAB
＝
90
°－
60
°＝
< br>30
°
CE<
/p>
＝
1
AC
＝
1
，
AE
＝
2
D
B
O
3
，
AB=
√
7
∴
R=AC
·
AB/2AE=2x
√
7
/(2x
)
应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度
数（特殊角），求它的外接圆的半径。
用方法二
例
4
已知
AD=5,AC=7,CD=3,AB=10
√
3
，求它的外接圆的半径
解
从
A
作
AM
⊥
BC
于
M
，则
AD
2
－
MD
2
＝
A M
2
＝
AC
2<
/p>
－
(MD
＋
CD
)
2
．即
5
2
－
MD
2
＝
7
2
－
(MD
＋
3)
2
．<
/p>
得
R
＝
14
，
则△
ABC
外接圆面积
S
＝
π<
/p>
R
2
＝
196<
/p>
π
．
例
5
如图<
/p>
3
，已知抛物线
y
＝
x
2
－
4
x
＋
h
的顶点
A
在直线
y
＝－
4x
－
1
上，
求①抛物线的顶点坐标；
②抛物线与
x
轴的交点
B
、
C
的坐标；
③△
ABC
的外接圆的面积．
解
①
A(2
，－
9)
；
②<
/p>
B(
－
1
，
0)
；
C(5
，
0)
．
③从
A
作
AM
⊥
x
轴交于
M
点，
则
BM<
/p>
＝
MC
＝
3
．
AM
＝
9
．
∴
R
＝
5 <
/p>
△
ABC
外接圆面积
S
＝
π
R
2
＝
25
π
三角形内切圆半径
r
的求法
1
∵
S
△
ABC
=1/2(a+b+c)r
∴
r=2S
△
ABC
/(a
+b+c)
2 Rt
△
ABC<
/p>
中
,r=(a+b-c)/2
三角形的内切圆和外接圆【知识要点】
1
、三角形的外接圆
（
1
）过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形
的外
心。三角形的外心到各顶点的距离相等．
（
< br>2
）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三
角形
c
的外心在斜边中点，外接圆半径
R
(
c
为斜
边长
)
．
2
2
、三角形的内切圆
（
1
）到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线
的交
点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．
（
2
）若三角形的面积为
S
ABC
，周长为
a+b+c,
则内切圆半径为
:
r
2
S
ABC
，当
a
,
b
为
a
b
< br>c
直角三角形的直角边，
c
为斜
边时，内切圆半径
r
3
、圆内接四边形的性质
（
1
）圆内接四边形的对角互补；
ab
a
b
c
或
r
.
a
b
c
2
（
2
）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．
注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形．
4
、两个结论：
圆的外切四边形对边和相等；
圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．
【典型例题】
一、填空和选择
B
< br>（
1
）一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三
角形一定是
( )
A
、直角三角形
B
、锐角三角形
C
、钝角三角形
D
、等腰三角形
（
< br>2
）如右图，
I
是
ABC
的内心，则下列式子正确的是（
）
A
I
·
C<
/p>
A
、∠
BIC=
180
-2
∠
A B
、∠
BIC=2
∠
A C
、∠
BIC=
90
+
∠
A/2 D
、∠
BIC=
90
-
∠
A/2 <
/p>
（
3
）
ABC
外切于⊙
O
，
E
、
F
、
G
分别是⊙
O
与各
边的切点，
则
EFG
的外心是
ABC
的
。
（<
/p>
4
）直角三角形的两条直角边分别为
5<
/p>
和
12
，那么它的外接圆的半径为
，内切圆半
径为
．
（
5
）等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为
r
,
R
，则
r
:
R
=
．
（
6
）圆外切等腰梯形底角为
60
，腰长为
10
，则圆的半径长为
< br>
．
（
7
）等边三角形一边长为
2
，则其内切圆半径等于
．
（
8
）等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是
．
（
9
）
ABC
的内切
圆⊙
I
与
AB
、
BC
、
CA
分别切于
D
、
E
、
F
点，
且∠
FID=
∠
EID=
135
，
则
A
B
C
为
< br>
．
例<
/p>
2
．如图，△
ABC
中，
I
是内心，
AI
交
BC
于
D
，交△
ABC
的外接圆于
E<
/p>
。
求证：
（
1
）
IE=EC
，
（
2
）
IE
2
=ED
< br>·
EA
。
B
A
I
D
E
C