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2021年2月11日发(作者：婚庆礼仪服务)

正多边形与圆

1.

三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)

三角形的内心：是三角形

___ _______

的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到

三角形三边的距离相等，通常用

“I”

表示．

(2)

三角形的外心：是三角形

__________

的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在 三

角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心 到三角

形三个顶点的距离相等，通常用

O

表示．

(3)

三角形重心：是三角 形三边中线的交点，

在三角形内部；

它到顶点的距离是到对边中 点距离的

2

倍，通常用

G

表示．

(4)

垂心：是三 角形三边高线的交点．

2.

三角形的内切圆、外接圆

三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆

三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆

三角形外接圆的圆心叫三角形的外心

三角形的外心到三角形

______ ________

相等

三角形的外心是三角形三边中垂线的交点

三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆

三角形内切圆的圆心叫三角形的内心

三角形的内心到

_________

的距离相等

三角形的内心是三角形三角平分线的交点

3.

圆内接四边形和外切四边形

(1)

四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对 角

________

，外角等于内对角．

(2)

各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四 边形

______________

．

4.

正多边形与圆

< br>在正多边形的有关计算中，如果分别以

α

n

、

a

n

、

< br>r

n

、

R

n

、

P

n

和

S

n

表示正

n (n≥3,n

为整数

)

边形的中心

角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：

14

①α< /p>

n

=

sin

；< /p>

②a

n

=2R

n

·

cos

；

③r

n

=R

n

·

；

④

+

；

⑤P

n< /p>

=na

n

；

< /p>

⑥S

n

=

P

n

r

n

；

⑦S

n

=

< p>
n

sin

.

（因为一个三 角形的面积为：

h·

OB

）

< p>

注意两点：

1.

构造直角三角形（弦心距、边长的一半 、半径组成的）求线段之间的关系等；

2.

准确记忆相关公式。

参考答案：

1.

（

1

）三个角平分线

< p>
(2)

三边中垂线

2.

三个顶点的距离

,

三角形三边

3.(1)

互补

(2)

对边之和相等

1.

利用三角形的内心求角度

【例

1

】

（

2014

湖北宜昌一模）

如图，

点

O

是△

ABC

< p>
的内切圆的圆心，

若∠

BAC=80°

< p>
，

则∠

BOC=

（

）

A

．

130°

B

．

100°

C

．

50°

D

．

65°

【解析】此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点．

< p>

【答案】

A

练习

1.

如 图，

I

是△

ABC

内心，则∠

BIC

与∠

A

的关系是（

D

）

A.

∠

BIC=2

∠

A

∠

BIC=

B.

∠

BIC=180°

< p>
－∠

A

C.

∠

BIC=

D.

【答案】

B

练习

2.

（

2014

湖北恩施一模）如 图，圆

O

是△

ABC

< br>的内切圆，与三角形三边分别切于

D

、

< br>E

、

F

，知∠

< br>B=50°

，∠

C=60°

，则 ∠

EDF=

。

14

【答案】

55°

2.

三角形外接圆问题

< p>
【例

2

】正三角形的外接圆半径是

R

，则它的边长是（

）

A.0.5R

B.

R

C.

R

D.

R

【解析】正三角形的外接圆边长是半径的

3

倍，

圆心与三角形两个顶点的连线是一个顶角为

120°< /p>

的等腰三角形，可证倍数关系，带入即可。

【答案】

B

练习

3

.

若 三角形的三边长分别为

1

，

1

和

，则外接圆的半径为

___________ _

。

【答案】

练习

4

.

等 边三角形的边长为

4cm

，它的外接圆的面积为

____________

。

【答案】

3.

内切、外接、外切问题的综合

【 例

3

】

正方形

ABCD

的四个顶点分别在⊙

O

上，< /p>

点

P

在劣弧

则∠

BPC

的度数是（

）

上不同于点

C

得到任意一点，

A.

B.

C.

D.

。

【解 析】

圆的内接正方形，

内心外心重合，

可求∠

BOC

的度数，

利用同弧所对的 圆周角是圆心

角的一半，∠

BPC

是∠

BOC

的一半即可。

【答案】

A

练习

5

．同一个圆的外切正方形和内接正方形的相似比是（

）

A. 2

：

1

B. 1

：

2

C.

D.

【答案】

C

练习

6

.

< /p>

△

ABC

中设

I

是△

ABC

的内心，

< br>O

是△

ABC

的外心，⑴若∠< /p>

A=80°

，则∠

BIC=______ __

，

∠

BOC=________< /p>

．⑵若∠

A=a

，则∠

< br>BIC=________

，∠

BOC=_______ _

．

14

【答案】

（

1

）

130°

，

160°

（

2

）

90°

+

，

2a

4.

内切圆综合题

< br>【例

4

】

已知：

如图，

△

ABC

三边

BC=a

，

CA=b

，

AB=c

，

它的内切圆

O

的半径长为

r

．

< p>
求△

ABC

的面积

S

．

【解析】连接圆心和切点，把三角形分成三个小三角形，而且有现成的底和高就可以求出每

个小三角形的面积，加起来可得大三角形的面积。

< br>【答案】解：设△

ABC

与⊙

O

相切与点

D

、

E

、

F

．连接

OA

、

OB

、

OC

、

OD

、

OE

、

OF

．

则

OD

⊥

AB

，

OE

⊥

BC

，

OF

⊥

AC

．

∵

S

△

AOB=

AB

•

OD=

AB

•

r

，

AC

•

r

．

同理，

S

△

OBC=

BC

•

r

，

S

△

OAC=

∵

S

△

ABC=S

△

AOB+S

△

OBC+S

△

OAC

，

即

S=

AB

•

r+

BC

•

r+

AC< /p>

•

r

，

则

S=

（

a+b+c

）

•

r

．

练习< /p>

7

．已知：如图，⊙

O

< br>内切于△

ABC

，∠

BOC=1 05°

，∠

ACB=90°

，

AB=20cm

．求

BC

、

AC

的长．

【答案】解：∵⊙

O

是△

ABC

的内切圆，

∴∠

O BC=

∠

ABC

，∠

< br>OCB=

∠

ACB

，

< p>

∵∠

BOC=105°

，

∴∠

OBC+

∠

OCB=180°

-105°

= 75°

，

∴∠

ABC+

∠

ACB=2×75°

=1 50°

，

∴∠

A=180°

-

（∠

ABC+

∠

ACB

）

=30°

，

∵∠

C= 90°

，

AB=20cm

，

< p>

14

< p>
∴

BC=

AB=10cm

，

AC=10

cm

练习

8

．已 知：如图，⊙

O

是

Rt

△

ABC

的内切圆，∠

C=9 0°

．

(1)

若

AC=12cm

，

BC=9cm< /p>

，求⊙

O

的半径

r

；

(2)

若

A C=b

，

BC=a

，

< br>AB=c

，求⊙

O

的半径

r

．

【答案】解：如图；

(1)

在

Rt

△

ABC

，∠

C=90°

，

A C=12cm

，

BC=9cm

；

根据勾股定理

AB=AC

< br>2

+BC

2

=15cm

；

四边形

OFCD< /p>

中，

OD=OF

，∠

ODC=

∠

OFC=

∠

< p>
C=90°

；

则四边形

OFCD

是正方形；

由切线长定理，得：

AD=AE

，

CD=CF

，

BE=BF

；

则

CD=CF=

（

AC+BC-AB

）；

即：

r=

（

12+9-15

）

=3

．

< /p>

(2)

当

AC=b

，

BC=a

，

AB=c

，

由以上可得：

CD=CF=

（

AC+BC- AB

）；

即：

r=

（

a+b-c

）．

（

a+b-c

）．

则⊙

O

的半径

r

为：

5.

正多边形和圆

【例

< br>5

】正六边形两条对边之间的距离是

2

< br>，则它的边长是（

）

A.

3

3

B.

2

3

3

C.

2

3

D.

2

2

3

【解析】正六边形是正多边形中最 重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。△

ABF

14

是含

12 0°

角的等腰三角形，以△

ABF

为研 究对象即可求。

【答案】解：如图所示，

BF

＝

2

，过点

A

作

AG

⊥

BF

于

G

，则

FG

＝

1

F

E

A

G

D

B

C

又∵∠

FAG

＝

60°



AF



故选

B

练习

9.

求 证圆的外切正多边形的面积等于其周长与圆的半径的积的一半

.

【解析 】外切正多边形可分成与边数相同个数的等腰三角形

,

其面积之 和为正多边形的面积

,

而

每个小三角形 的面积恰是边长与圆半径积的一半

,

故题易证

< br>.

圆的外切（或内接）正多

边形的周长

.

面积的计算要通过所分成的

n

个等腰三角形进行，

这也是由复杂到简单的

一种转化，象四边 形的问题一样，正

n

边形的问题首先应转化为三角形的问题，转 化

是解决数学问题的关键。

【答案】证明

:

设外切多边形周长为

P

,

内切圆⊙

O

半径为

R,

连结

O

与正多边形的各顶点及切点

,< /p>

如图

FG< /p>

1

2

3





sin



FAG< /p>

3

3

2

∵

OM

⊥

AB,ON

⊥

BC,……,

∴

S

△

OAB

=

S

△

OBC

=

OM·

A B

＝

R·

AB,

ON·

BC

＝

R·BC……,

∴

正多边 形

ABCD……

面积为

S=

< p>
R(AB+BC+……)=

R·

P.

练习

10

． 如图

,

若正六边形的面积为

6

,

求正六边形内切圆的内接正三角形的面积

.

【解析】如下图，线段

OC

是正六边形的边心距，由内接正三边形的边长，则线段

OC

可以将

14

两图形联系起来。

【答案】

解

:

如图

< p>
,

设

AB

是正六边形的一 条边长

,C

点为切点

,CD

< p>
为正六边形内切⊙

O

的内接正三

< br>角形的一条边长

,

过

O

点作

OE

⊥

CD

于

E,

分别连结

OA

、

OB

、

OC

、

OD.

∴

OC=R,

AB=a

6

,

BC=

a

6

,

∠

BOC=30°

,

CD=a

3

,

CE=

a

3

,

OE=r

3

,

∠

COE=60°

,

∵

S

6

=6 ·

S

△

OAB

,

∴

S

6

=6×

a

6

·

OC=6

,

∵

OC=BC·

cot30°

,

∴

OC=

a

6

,

∴

6×

a

6

·

a

6

=6< /p>

,

∴

a

6

=2,

∴

OC=

,

∵

OE=OC·

cos60°

,

∴

OE=

,

∵

CE=OC·

sin60°

,

∴

CE=

,

∴

CD=2CE=3,

∴

S

3

=3×

CD·

O E,

∴

S

3

=3×

×3×

=

.

练习

11

.

正三角形的边心距、半径和高的比是（

）

A. 1

∶

2

∶

3

B.

1

∶

2

∶

3

C.

1

∶

2

∶

3

【答案】解：如图所示，

< br>OD

是正三角形的边心距，

OA

是半径，

AD

是高

14

D.

1

∶

2

∶

3

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