圆的学习知识点(资料整理)
-
,.
第三章
圆
一．与圆相关的概念
1.
圆：
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆
心，定长称为半径
.
【圆心决定圆的位
置，半径决定圆的大小，圆心和半径确定了，圆就确定了】
2
.
①圆弧：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆
的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧，等
于半圆的弧叫半圆
.
②等弧：
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相
等）
.
等弧也可以通过它所对
的圆心角、圆周角、弦来进行判断，具体地说：
a.
在同圆或等圆中，所对的圆心角相等的两段弧是等弧。
b.
在同圆或等圆中，所对的圆周角相等的两段弧是等弧。
c.
在同圆或等圆中，所对的弦相等的两段弧是等弧。<
/p>
【
温馨提示
：
半圆是弧，半圆形不是弧；
弧的度数等于弧所对的圆心角的度数
.
】
3.
弦
：
连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。圆中最长的弦是直径
.
【
温馨提示
：一
条弦对着两条弧，对着两个圆心角（选择题），一般让求“弦所对的圆心角的度数”，指
的是“弦所对的小于
180
°的那个圆心角”（填空题）；一条
弧对着一条弦，对着一个圆心角】
4.
圆心角
：顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角
.
【圆心角∠
AOB
< br>的取值范围是
0
°＜∠
AOB<
/p>
＜
360
°】
5.
圆周角：
顶点在圆周上，并且两边
都和圆相交的角叫圆周角
.
6
.
外心：
过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三
角形的外心；这个三角形叫做圆的
内接三角形
.
三角形外接圆的圆心（外心）到三角形三个顶点的距离相等
.
【
温馨提示：
三角形三边垂直平分线的交点叫三角形外
接圆的圆心
;
三角形有且只有一个外接圆，但圆有无
数个内接三角形】
,.
以下图为例
O
为外接圆的圆心，即外心
.
温馨提示：锐角三角形外接圆的圆心（外心）在它的内部；
<
/p>
直角三角形外接圆的圆心（外心）在它斜边的中点上
(R=
c
)
；钝角三角形外接圆的圆心（外心）在它
的外部
.
2
7.
内心：
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，
其圆心称为三角形的内心；这个三角形叫做
圆的外切三角形
.<
/p>
三角形内切圆的圆心（内心）到三角形三边的距离相等
.
【
温馨提
示
：三角形
三条角平分线的交点叫内切圆的圆心
;
三角形有且只有一个内切圆，但圆有无数个外
切三角
形】
附注：
①等边三角形的内切圆和外接圆
设等边△
ABC
的边长为
a
，内切圆的半径为
r<
/p>
，则有
r
3<
/p>
3
a
a
，外接
圆半径
R=
3
6
,.
②直角三角形内切圆
设
Rt
△
ABC
两直
角边分别为
a
、
b
，斜边为
c
，内切圆半径为
r
，则有
r
四边形
IDCB
为正方形
，边长
ID=r.
三角形的外接圆和内切圆比较
名称
外心：三角形外接
圆的圆心
三角形三边中垂线
的交点
.
确定方法
图形
1
ab
(
a
b
c
)
或
r
，其中
2
a
b
c
性质
=OB=OC(<
/p>
即
圆心到三角形三个
顶点的距离相等
).
2.
外心不一定在三
角形的内部
.
内心：三角形内切
圆的圆心
三角形三条内角平
分线的交点
.
1.
圆心到三边的距
离相等
.
、
OB
< br>、
OC
分
别平分∠
BAC
、∠
ABC
、∠
ACB.
3.
内心在三角形内
部
.
等边三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比为
2:1
（如图
1
）
直角三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比为
c
a
b
c
:
=
c
:
(
a
b
< br>
c
)
（如图
< br>2
）
2
2
,.
等腰三角形的内心和外心虽然不同，但都在底边的垂直平分线上
.
三角形外接圆半径的求法
R
ab
【即三角形外接圆的直径等于两边的
乘积除以第三边上的高所得的商】
2
h
三角形内切圆半径
r
的求法
∵
S
△
ABC
∴
r
1
(
a
< br>
b
c
)
r
2
2
S
△
ABC
a
b
c
二．圆的确定：
不在同一直线上的三个点
确定一个圆。
过不在同一条直线上的三点作圆的做法：
三．与圆相关的位置关系
1.
点与圆的位置关系
,.
（
1
）
点在圆内
d
r
点
C
在圆内；
（
2
）点在圆上
d
r
点
B
在圆上；
（
3
）点在圆外
d
r
点
A
在圆外；
2.
直线与圆的位置关系
（
1
）直线与圆相离
d
r
无交点；
（
2
）直线与圆相切
< br>
d
r
有一个交点；
（
3
）直线与圆相交
d
r
有两个交点；
r
d
d=r
r
d
三．与圆相关的性质和定理
1
.
圆的对称性：
圆是轴对称图形
,
对称轴是任意一条经过圆心的直线（或直径所在的直线）
,
它有无数条对称轴
.
圆也
是中心对称图形
,
它的对称中心就是圆心
.
圆的旋转不变性：
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角
度
,
都能与原来的图形重合
.
★★★
2.
垂径定理
垂径定理
：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论：
（
1
）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（
2
）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（
3
）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平
分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3.
圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
,.
E
F
O
D
A
C
B
B
D
C
O
A
4.
圆周角定理
（<
/p>
1
）圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半
。
（
2
）圆
周角定理的推论：
推论
1
：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
< br>
推论
2
：半圆或直径所对的圆
周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径
.
推论
3
：若
三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（
3
）
圆心角、弧、弦、弦心距关系定理
：在同圆或等圆中，如果两个圆心
角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都
分别相
（补充）
平行弦定理：
圆的两条
平行弦所夹的弧相等
.
5.
圆内接四边形
C
D
等．
<
/p>
（
1
）性质定理：
性质定理
1
：圆内接四边形的对角
互补
即：在⊙
O
中，
∵四边形
ABCD
是内接四边形
B
A
E
,.
∴
C
BAD
180
B
D
180
DAE
C
性质定理
2
：圆内接四边形的一个外角等于
它的内对角
（
2
）判定定理：（很重要）
如果一个四边形的对角互补
,
那么它的四个顶点共圆
.
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆
.
附注：
圆的内接平行四边形是矩形；
圆的外切平行四边形是菱形
.
★★★
6.
切线的判定定理与性质
（
1
）
切线的判定定理
：
过半径外端且垂直于半径的直线是
切线；
两个条件
：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵
M
N
OA
且
M
N
过半径
OA
外端
∴
MN<
/p>
是⊙
O
的切线
（
2
）
性质定
理：
切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论
1
：<
/p>
过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论
2
：
过切点垂
直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
7.
切线长及切线长定理
（
1
）切线长的定义：经过圆外一点作圆的
切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长
.
(2
)
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分
两条切线的夹角。
即：∵
PA
、
PB
是的两条切线
∴
PA<
/p>
PB
PO<
/p>
平分
BPA
M
O
A
N
,.
（
3
）圆外切四边形两组对边的和相等
.
10.
圆的内正多边形
（
1
）正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多
边形叫做正多边形
.
（
2
）
正多边形与圆的有关定理
把圆分成
n(n
≥
3)
等份：
①依次连结各分点所得的多边形是这个圆
的内接正
n
边形；
< br>②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正
n
边形；
③任何正多边形都有一个外接
圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆
.
注意：
①依据正多边形与圆的有关定理①、②，只要能将一个圆分成
n(n
≥
3)
等份，就可以得到这个圆的内接正
n
边形及外切正
n
边形
.
(3)
正多边形的其它性质
①正多边形都是轴对称图形，一个正
n
边形共有
n
条对称轴，每条对称轴都通过正
n<
/p>
边形的中心，边数为偶数的
正多边形还是中心对称图形，它的中心
就是对称中心
.
②边数相同的正多边形相似，正多边形的内切
圆和外接圆是同心圆
.
(4)
正多边形的有关计算
正多边形的外接圆
(
或内切圆
)
的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的
半径
叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心
角
.
,.
正
n
边形的有关计算公式
360
180
（
n
2
）
< br>360
；每个外角
180
-
n
n
n
180
180
正
n
边形边长
a
2
R
.
sin
，内切圆半径
r
R
.
cos
，
正
n
边形周长
P
n
.
a
n
n
1
1
180
180
2
正
n
边形面
积
S
n
.<
/p>
r
.
a
Pr
n
R
.
sin
.
cos
2
2
n
n
每个内角
注意：<
/p>
①同一个圆的内接正
n
边形和外切正
n
边形是相似形，相似比是圆的内接正
n<
/p>
边形边心距与它的半径之比
180
180
.
这样
，同一个正
n
边形的内切圆和外接圆的相似比
< br>
cos
n
< br>n
1
②常用辅助线：连半径，作边心距，由正多边形的半
径、边心距和
边长构成的直角三角形集中反映了正多边形各
2<
/p>
cos
元素间的关系，
是解计算问题的基本图形，
并且正
n
< br>边形的半径和边心距把正
n
边形分成
2n
个全等的直角三角形
.
附注：
（
1
）正三角形
在⊙<
/p>
O
中△
ABC
是
正三角形（如图
1
），有关计算在
Rt
BOD
中进行：
OD
:
BD
:
OB
1:
3
:
2
（
2
）正四边形
同理，四边形的有关计
算在
Rt
OAE
中进行（如图
2
），
OE
:
AE
:
OA
1:1:
2
（
3
）正六边形
<
/p>
同理，六边形的有关计算在
Rt
OAB
中进行（如图
3
），
AB
:
OB
:
OA
1:
3
:
2
11.
扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
n
R
2
1
n
R
lR
（
1
）扇形：
①弧长公式：
l
；
②扇形面积公式：
S
360
2
180
n
：圆心角
R
：扇形多对应的圆的半径
l
：扇形弧长
S
：扇形面积