三角形心
-
三角形几个心
在三角形中，
< br>三个内角的三条角平分线的相交于一点，
这个点叫做三角形的内心。
这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。
目录
1
定义
2
共点证明
3
内心性质
4
内心做法
1
定义
在三
角形中，
三个内角的三条角平分线的相交于一点，
这个点叫做三
角形的内心。
这个点也是这个三角形内切圆的圆心。
2
共点证明
证明：如图所示
作∠B、∠C
的角平分线于
AC
、
AB
交于
F
、
D
CD
与
BF
交于
I
连接
AI
交
BC
于
E
由
塞瓦定理
有（
AD/BD
）
*
（
BE/CE<
/p>
）
*
（
CF/A
F
）
=1
∵BF、
< br>CD
为角平分线
∴由角平分线定理有
AD/BD=AC/BC
CF/AF=BC/AB
∴BE/CE=AB/AC
由
角平分线定理
的逆定理有
< br>AE
为∠A
的角分线
证毕
3
内心性质
设△ABC
的内切圆为☉I(r)，
∠A、
∠B、
∠C
的对边分别为
a
、
b
、
c
，
p=(a+b+c)/2
．
1
、三角形的内心到三边的
距离相等，都等于内切圆半径
r
．
<
/p>
2
、∠BIC=90°+∠BAC/2．
3
、在
Rt
Δ
ABC
中,∠A=90°,三角形内切圆切
BC
于
D
，则
S
△ABC
=BD×CD
4
、点
O
是平面
ABC
上任意一点，点
I
< br>是△ABC
内心的充要条件是：
向量
OI=[a(
向量
OA)+b(
向量
OB)+c(
向量
OC)]/(a+b+c)
．
5
、在△ABC
中，若三个顶点分别是
A(x
1
，
y
1
)
，
B(x
2
，
y
2
)
，
C(x
3
，
y
3
)
，
那么△ABC
内心
I
的坐标是：
(ax
1
/(a+b+c)+bx
2
/(a+b+c)+cx
3
/(a+b+c)
，
ay
1
/(a+b+c)+
by
2
/(a+b+c)+cy
3
/(a+b+c))
．
< br>6
、
(
欧拉
定理)△ABC
中，
R
和
r
分别为外接圆为和内切圆的半径，
O
和
I
分别为
其外心和内
心，则
OI
2
=R
2
-2Rr
．
< br>7
、△ABC
中：
a,b,c<
/p>
分别为三边，
S
为三角形面积，则内切圆
半径
r=2S/(a+b+c)
8
、
双曲线
上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应
支的顶点。
9
、△ABC
中，内切圆分别与
AB
，
< br>BC
，
CA
相切于
P
，
Q
，
< br>R
，
则
AP=AR=(b+c-a)/2
，
BP =BQ
=(a+c-b)/2, CR =CQ =(b+a-c)/2,
r=[(b+c-
a)tan(A/2)]/2
。
10
、三角形
内角平分线定理
：
△ABC
中，
O
为内心，∠BAC 、∠ABC、
∠ACB
的内角平分线分别交
BC
、
AC
、
AB
于
Q
、
P
、
R
，则
BQ/QC=c/b
，
CP/PA=a/c
，
BR/RA=a/b
。
4
内心做法
做出△ABC
的外接圆
O
，过圆心
O
分别作
AC
、<
/p>
BC
（任意两边）的垂线，两条垂线
与圆
O
交于
E
、<
/p>
F
，连接
AF
、
BE
交于点
I
，则点
I
即为内心。
内切圆
的
半径
1
、在
Rt
Δ
ABC
中，∠C=90°，
r=(a+
b-c)/2
．
2
< br>、在
Rt
Δ
ABC
中，∠C=90°，
r=ab/a+b+c
3
、任意△ABC
中
r=
（2*S△ABC）/C△ABC （
C
为周长）
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更多图册
◆
词条图片
(5
张
)
三角形外心
编辑
目录
1
定义
2
共点证明
3
性质
4
做法
5
求法
1
定义
三角
形
外接圆
的圆心叫做
三角形的外心
．
三角形
外接圆
的圆心也就是三角形三边中垂线的交点
,
三角形的三个顶点就在这个外接圆上
2
共点证明
.
∵
l
、<
/p>
m
分别为线段
AB
、
AC
的中垂线
∴
AF=BF=CF
∴
BC
中垂线必过点
F
3
性质
设⊿
ABC
的外接圆为☉
G(R)
，角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
，
p=(a+b+c)/2
．
< br>
性质
1
：
（
1
）锐角三角形的外心在三角形内；
（
2
）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；
（
3
）钝角三角形的外心在三角形外
.
（
4
）等边三角形外
心与内心为同一点。
性质
2
：∠
BGC=2
∠
A<
/p>
，
（或∠
BGC=2(180°
-
∠
A)
.
性质
3
：∠
GAC+
∠
B=90°
证明：如图所示延长
AG
与圆交与
P
（
B
、
C
下面的那个点）
∵
A
、
C
、
B
、
P
四点共圆<
/p>
∴∠
P=
∠
B
∵∠
P+
∠
G
AC=90°
∴∠
GAC+
∠
B=90°
性质<
/p>
4
：点
G
是平面
ABC
上一点，点
P
< br>是平面
ABC
上任意一点，那么点
G
是⊿
ABC
外心
< br>的充要条件是：
（
1
）
向
量
PG=(tan
B+tanC)
向
量
PA+(tanC
+tanA)
向
量
PB+(tanA+
tanB)
向
量
PC)/2(tanA
+tanB+tanC)
.
或（
2
）向量
PG=(cosA/2sinBs
inC)
向量
PA+(cosB/2sinCsinA)
向量
PB+(cosC/2sinAsinB)
向量
PC
.
性质
5
：
三角形三条边的
垂直平分线
交于一点，
该点即为三角形
外接圆
的圆心
.
外心到三
顶点
的距离相等。
性质
6
：点
G
是平面
ABC
上一点，那么点
G
是⊿
ABC
外心的充要条件
(
向量
GA+
向量
GB)
·
向量
AB
= (
向量
GB+
向量
GC)
·
向量
BC=(
向量
GC+
向量
GA
)
·
向量
CA=0
.
4
做法
分别作三角形两边的中垂线交点计作
O
以
O
为圆心
OA
为半径画圆
圆
O
即为所求
5
求法
设三
角形三边及其对角分别为
a
、
b
、
c
，∠
A
、∠
B
、∠
C
正弦定理有
r=a/
（
2sinA
）
=b/
（
2sinB
）
=c/
（
2sinC
）
r
=abc/
（
4S
△
< br>ABC
）
三角形外心的向量关系
向量
PA
的模
=
向量
PB
的模
=
向量
PC
的模（
ABC
为三角形三个顶点，
P
为外心）
三角形垂心
编辑
垂心：三角形的三条
高
或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心。