初中数学总复习资料
-
初中数学总复习
实数的概念
一：
【
课前预习
】
< br>（一）
：
【知识梳理】
1.
实数的有关概念
(1)
有理数
:
整数和分数统
称为有理数。
(2)
有理数分类
①按定义分
:
②按符号分
:
(
有理数
(
(<
/p>
)
0
(
(
)
(
)
(
)
；有理数
0
)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
)
< br>)
)
（
3
）相反数：只有
不同的两个数互为相反
数。若
a
、
b
互为相反数，
则
。
（
4
）数轴：规定了
、
和
的直线叫做数轴。
（
5
）
倒
数
：
乘
积
的
两
个
数
互
为
倒
数
。
若
a
（
a≠0
）
的
倒
数
为
则
< br>
。
（
6
）绝对值：
（
7
）无理数：
小数叫做无理数。
（
8
）实数：
和
统称为实数。
（
9
）实数和
的点一一对应。
(
2.
实数的分类
:<
/p>
实数
(
1
a
.
(
)
< br>
(
(
)
(
(
)
零
(
(
)
< br>
(
)
(
)
)
)
(
)
)
)
)
学习改变命运，思考造就未来！
1
3.
科学记数法、近似数和有效数字
n
（
1
）科学
记数法：把一个数记成±a³10
的形式（其中
1≤a<10，
n
是整数）
（
2
）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的
原则是“四舍五入”。
（
3
）有效数字：从左边第一个不是
0
的数字起，到
精确到的数位止，所有的数字，
都叫做这个数字的有效数字。
（二）
：
【
课
前练习
】
1
．
|
－
2
2
|
的
值是（
）
A
．－
2
B.2
C
．
4
D
．－
4
2
．
下列说法不正确的是（
）
A
．没有最大的有理数
B
．没有最小的有理数
C
．有最大的负数
D
．有绝对值最小的有理数
0
22
0
3
．
在
2<
/p>
、
无理数有
（
）
sin
4
5
、、
0
9
、
0.2020020002
、
、
这七个数中，
27
3<
/p>
< br>A
．
1
个；
B
．
2
个；
C
．
3
个；
D
．
4
个
4
．下列命题中正确的是（
）
A
．有限小数是有理数
B
．数轴上的点与有理数一一对应
C
．无限小数是无理数
D
．数轴上的点与实数一一对应
5
．
近似数
0.030
万精确到
位，
有
个有效数字，
用科学记数法表示为
万
,
2
1
,
cos
45
,-
cos
60<
/p>
,
6
．
下列各数中：
-1
，
0
，
169
，
2
，
1.101001
,
0
.
6
22
7
< br>,2,
22
7
.
有理数集合
{
„
}
；
正数集合
{
„
}
；
整数集合
{
„
}
；
自然数集合
{
„
}
；
分数集合
{
„
}
；
无理数集合
{
„
}
；
绝对值最小的数的集合
{
„
}
；
7.
已知
(x-2)
+|y-4|+
2
z
6
=0
，求
xyz<
/p>
的值．
．
2(
cd
)
m
8
．
已知
a
与
b
互为相反数，
c
、
d
互为倒数，
m
的绝对值是
2
求
2(
a
b
)
3
的值
1
2
m
m
2
9.
a
、
b
在数轴上的位置如图所示，且
a<
/p>
＞
b
，化简
a<
/p>
a
b
b
a
a
学习改变命运，思考造就未来！
0
b
2
初中数学总复习
实数的运算
一：
【
课前预习
】
< br>（一）
：
【知识梳理】
1.
有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则
(1)
有理数加法法则：
①同号两数相加，取
___
_____
的符号，并把
__________
②绝对值不相等的异号两数相加，取
________________
的符号，并用
____________________
。互为相反数的两个数相加得
____
。
③一个数同
0
相加，
__________________
。
(2)
有理数减法法则：减去一个
数，等于加上
____________
。
(3)
有理数乘法法则：
①两数相乘，同号
_____
，异号
_____
，并把
_________
。任何数同
0
< br>相乘，
都得
________
。
②几个不等于
0
的数相乘，积的符号由
____________
决定。当
____________
__
，
积为负，当
< br>_____________
，积为正。
③几个数相乘，有一个因数为
0
，积就为
__________.
(4)
有理数除法法则：
①除以一个数，等于
____
___________________.__________
不能作除数。
②两数相除，同号
_____
，异号
_____
，并把
_________
。
0
除以任何一个
_________
___________
的数，都得
0
(5)
幂的运算法则：正数的任何次幂都是
________
___
；
负数的
__________
是负数，
负数的
__________
是正数
(6)
有理数混合运算法则：
先算
________
，再算
__________
，最后算
___________
。
如果有括号，就
_____
__________________________
。
2.
实数的运算顺序：
在同一个算式里
，
先
、
，
然后
，
最后
< br>．
有
括号时，先算
里面，再算括号外。同级运算从左到右，按顺序进行。
3.
运算律
（
1
）加法交换律：
________
_____
。
（
2
）加法
结合律：
____________
。
（
3
）乘法交换律：
< br>_____________
。
（
4
）乘法结合律：
____________
。
（
5
）乘
法分配律：
_________________________
。
4.
实数的大小比较
（
1
）差值比较法：
a
b
＞
0
a
＞
b
，
a
b
=0
a
b
，
a
b
＜
0
a
＜
b
（
2
）商值比较法：
学习改变命运，思考造就未来！
3
若
a
、
b
为两正数，则
（
3
）绝对值比较法：
a
b
＞
1
a
＞
b
；
a
b
1
< br>
a
b
;
a
b
＜
1
a
＜
b
若
a
、
b
为两负数，则
a
＞
b
a
＜
b
；
< br>a
b
a
b
；
a
＜
b
a
＞
b
（
4
）两数平方法：如
15
5.
三个重要的非负数
：
5
与
13
7
（二）
：
【
课前练习
】
1.
下列说法中，正确的是（
）
A
．
|m|
与—
m
互为
相反数
B
．
2
1
与
2
1
互为倒数
C
．
1998
．
8
用科学计数法表示为
1
< br>．
9988
³
10
2
D
．
0
．
4949
用四舍五入法保
留两个有效数字的近似值为
0
．
50
2.
在函数
y
1
1
< br>
x
中，自变量
x
的取值范围是（
）
A
．
x
＞
1
B
．
x
＜
1
C
．
x
≤
1
D
．
x
≥
1
3.
按鍵顺序－
1
²
2
÷
4
＝，结果是
。
4.
16
的平方根是
______
5.
计算
(1)
3
2
÷
(
－
3)<
/p>
2
+|
－
1
6
|
³
(
－
6)+
49
；
(2)
(3
2
-2
3
)
2
-(3
2
+2
3
)
2<
/p>
6.
已知
x
、<
/p>
y
是实数，
3
x
4
y
6
y
9
0,
若
axy
3
x
y
,
求
实
数
a
的
值
.
7.
请在下列
6
个实数中
,
计算有理数的和与无理数的积的差
:
4
2
,
1
< br>,
2
4
,
,
27
,
(
1)
0
3
2
8.<
/p>
比较大小
:
(1)3
5
与
2
11,
(2)
15
5
< br>与
13
7
,
(3)
10
< br>3
与
3-2
2
< br>
9.
探索规律
:3
1
=3
，个位数字是
3<
/p>
；
3
2
=9
，个位数字是
9
；
3
3
=27
，个位数字是
7
；
3
4
< br>=81
，
个位数字是
1
；
3
5
=243
，个位数字是
3
；
3
6
=729
，个位数字是
9
；„那么
3
7
的个位数
字是
<
/p>
；
3
20
的个位
数字是
；
(
2)
(
1)
3
10.
（
1
）
1
2
2
(
12)
(
)
< br>2
；
2
0
.25
4
1
3<
/p>
(
2)
4
学习改变命运，思考造就未来！
4
（
2
）
(
2
)
1
(2001
tan
30
0
)
0<
/p>
(
2)
2
3
1
16
1
2
1
初中数学总复习
数的开方和二次根式
一：
【
课前预习
】
（一）
：
【知识梳理】
1.
平方根与立方根
(1
)
如果
x
2
=
a
，
那么
x
叫
做
a
的
。
一个正数有
个平方根，
它们互为
；
零的平方根是
；
没有平方根。
（
2
）如果
x
3
=a
，那么
x
叫做
a
的
。一个正数有一个
的立方根；一个负数
有一个
的立方根；零的立方根是
；
2.
二次根式
（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
4
）二次
根式的性质
2
①
若
a
< br>0,
则
(
a
)
；③
ab
(
a
0,<
/p>
b
0)
②
a
a
2
a
a
< br>(
(
)
)
；④
a
b
a
b
(
a
<
/p>
0,
b
0)<
/p>
（
5
）二次根式的运算
①加减法：先化为
，在合并同类二次根式；
②乘法：应
用公式
a
b
ab
(
a
0,
b
0)
；
学习改变命运，思考造就未来！
5
③除法：应用公式
a
b
a
b
(
a
0,
b
0)
④二次根式的运算仍满足运
算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。
（二）
：
【
课前练习
】
1.
填空题
2.
判断题
3.
如果
(x-2)
2
=
2-x
那么
x
取值范围是（）
A
、
x
≤
2 B. x
＜
2 C. x
≥
2 D.
x
＞
2
4.
下列各式属于最简二次根式的是（
）
A
．
x
2
+1
B.
x
2
y
5
C.
12
D.
0.5
5.
在二次根式：①
12
,
②
2
3
③
2
3
；④
27
和
3
是同类二次根式的是（
）
A
．①和③
B
．②和③
C
．①和④
D
．③和④
二：
【经典考题剖析】
学习改变命运，思考造就未来！
6
1.
已知△
ABC
的三边长分别为
a
、
b
、
c,
且
a
、
b
、
c
满足
a
－
6a+9+
b
4
|
c
5
|
< br>
0
，
试判断△
ABC
的形状．
2.
x
为何值时，下列各式在实数范围内有意义
< br>（
1
）
2
x
3
；
（
2
）
1
x
x
1
2
2
；
（
3
）
1
x
4
3.
找
出下列二次根式中的最简二次根式：
27
x
,
x
y
,
2
2
2<
/p>
ab
,
0.1
x
,
2
a
2
,
21,
x
,
1
1
x
y
,
a
b
< br>2
2
4.
判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式：
3
,
75
,
18
,
1
27
,
2
,
1
< br>25
,
1
,
2
8
ab
(
b
0),
3
b
3
a
2
b
50
3
5.
化简与计算
①
675
；②
4
4
x
x
(
x
2)
；③
2
1
16
1<
/p>
25
；④
m
<
/p>
4
m
4
m
6
m
9
2
2
(
m
7
2
)
⑤
2
3
6
2
2
3
6
< br>
2
；⑥
2
3
3
2
6
2
3
3
2
6
6.
当
x
≤
2
时，下列等式一定成立的是（
）
A
、
C
、
7.
如果
x
2
2
x
2
B
、
x
3
2
<
/p>
x
2
x
3
3
x
2
x
x
2
x
3
(x-2)
=
2-x
2
2
x
3
x
D
、
3
x
那么
x
取值范围是（）
A
、
x
≤
2 B. x
＜
2 C. x
≥
2 D.
x
＞
2
8.
当
a<
/p>
为实数时，
a
2
=-a
则实数
a
在数轴上的对应点在（
）
A
．原点的右侧
B
．原点的左侧
C
．原点或原点的右侧
D
．原点或原点的左侧
9.
有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根
号的数一定是有理数；③
负数没有立方根；④－
17
是
17
的平方根，其中正确的有（
）
A
．
0
个
B
．
1
个
C
．
2
个
D
．
3
个
10.
计算
a
+a
3
2
1
a
所得结果是
______
．
学习改变命运，思考造就未来！
7
11.
当
a
≥
0
时，化简
3
a
2
=
12.
计算
< br>（
1
）
、
2
5
2
5
x
9
x
2
9
、
x
；
（
2
）
3
0
0
2
5
2
4
8
6
2
7
<
/p>
5
1
2
3
4
0
0
2
2
（
3
）
、
2
3
3
2
<
/p>
2
；
（
4
）
、
5
x
-4
+
4-x
+1
x-2
2
2
13.
已知：
x
、
y
为
实
数
，
y=
< br>，求
3x+4y
的值。
初中数学总复习
代数式的初步知识
一：
【
课前预习
】
（一）
：
【知识梳理】
1.
代数式的分类
:
有理式
代数式
无理式
2.
代数式的有关概念
(1)
代数式
:
用
(
加、减、乘、除、乘方、开方
)
把数或表示
数的字母
连结而成的式子叫代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式．
（
2
）有理式：
和
统称有理式。
（
3
）无理式：
3.
代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算
后所得的结果叫做代数式的值。
求代数式的值可以直接代入、
计算。如果给出的代数式可以化简，要先化简再求
值。
（二）
：
【
课前练习
】
1. a
，
b
两数的平方和用代数式表示为（
）
A.
a
b
B.
(
a
b
)
C.
a
b
D.
a
b
2.
当
x=-2
时，代数式
-
x
+2x
-1
的值等于（
）
A.9
B.6 C.1 D.-1
3.
当代数式
a+b
的值为
3
时，代数式
2a+
2b+1
的值是（
）
A.5
B.6 C.7 D.8
学习改变命运，思考造就未来！
8
2
2
2
2
2
2
4.
一种商品进价为每件
a
元，按进
价增加
25
％出售，
后因库存积压降价，按售价
的九折出售，每件还盈利（
）
A.0.125a
元
B.0.15a
元
C.0.25a
元
D.1.25a
元
二：
【经典考题剖析】
1.
判别下列各式哪些是代数式，哪些不是代数式。
（
1
）
a
< br>-ab+b
；
（
2
）
S=
2
2
1
2
（
a+b
）
h
；
（
3
）
2a+3b
≥
0
；
（
4
）
y
；
（
5
）
0
；
（<
/p>
6
）
c=2
<
/p>
R
。
2. <
/p>
抗
“非典”
期间，
个别商贩将原来每桶价格
a
元的过氧乙酸消毒液提价
20
％后出售，
市政府及时采取措施，使每桶的
价格在涨价一下降
15
％，那么现在每桶的价格是
_____________
元。
3.
下列各式不是代数式的是（
）
A
．
0
B
．
4x
2
－
3x+1
C
．
a
＋
b= b+a
D
、
2
y
4.
两个数的和是
25
，
其中一个数用字母
x
表示，
那么
x
与另一个数之积用代数式表示
为（
）
A
．
x
（
x
＋
25
）
B
．
x
（
x
< br>—
25
）
C
．
25x D
．<
/p>
x
（
25
－
x
）
5.
若
ab
与
a
b
是同类项，下列结论正确的是（
）
A
．
X
＝
2<
/p>
，
y=1
；
B<
/p>
．
X=0
，
y=
0
；
C
．
X<
/p>
＝
2
，
y=0<
/p>
；
D
．
X=1<
/p>
，
y=1
第
1
步
第
2
步
第
3
步
x
y
2
初中数学总
复习
整式
一：
【
课前预习
】
（一）
：
【知识梳理】
1.
整式有关概念
（
1
）
单项式：
只含有
的积的代数
式叫做单项式。
单项式中
____________
叫做这个单项式的系数；单项式中
____________
叫做这个单项式的次数；
（
2
）多项式：几个
的和，叫做多项式。
____________
叫做常数项。
多项式中
____________
的次数
，
就是这个多项式的次数。
多项式中
_
___________
的个数，就是这个多项式的项数。
2.
同类项、合并同类项
（
1
）
同类项：
________________________________
叫做同类项；
（
2
）
合并同类项：
_______
_________________________
叫做合并同类项；
学习改变命运，思考造就未来！
9
（
3
）合并同类项法则：
。
（
4
）去括号法则：括号前是“＋”号，
______________
__________________
括号前是“－”号，
____
____________________________
（
5
）添括号法则：添括号后，括号前是
“
+
”号，插到括号里的各项的符号都
；
括号前是“－”号，括到括号
里的各项的符号都
。
3.
整式的运算
（
1
）整式的加减法：运算实质上就是合并同类项，遇到括
号要先去括号。
（
2
）整式的乘除法：
①幂的运算：
a
a
a
a
1,
a
0
p
m
n
m
n
;
a
a
a
1
p
m
< br>n
m
n
;
(
a
)
a
m
n
m
n
;
(
ab
)
a
b
n
n
n
(
a
0,
< br>p
为
整
数
)
a
②整式的乘法法则：单项式乘
以单项式：
。
单项式乘以多项式：
m
(
a
< br>b
)
。
单项式乘以多项式：
(
m
n
< br>)(
a
b
)
。
③乘法公式：
平方差：
。
完全平方公式：
。
a
、
b
型
公
式
：
(
x
a
)(
x
b
)
x
(
a
b
)
x
ab
2
④整式的除法：单项式相除：把它
们的系数、相同字母分别相除，作为商的因
式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它
的指数作为商的一个因式，相
同字母相除要用到同底数幂的运算性质。
< br>
多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的
商相加．
（二）
：
【
课前练习
】
1.
代数式－
4x
2
y
2
+
1
2
xy
-1
有
___
项
，
每项系数分别是
__________.
3
2.
<
/p>
若代数式－
2x
a
y
b+2
与
3x
5
y
2-b
是同类项，则代数式<
/p>
3a
－
b=_______
3.
合并同类项：
< br>⑴
-abc-4bc-6ac+3abc+5ac+4bc;(2)-7x
2
y
5
xy
2
4
x
3
xy
2
2
4.
下列计算中，正确的是（
）
A
．
2a+3b=5ab
；
B
．
a
²
a
3
=a
3
；
C
．
a
6
< br>÷
a
2
=a
3
；
D
．
（－
ab
）
2
=a
2
b
2
5.
下列两个多项式相乘，可用平方差公式（
）
．
<
/p>
①（
2a
－
3b
）
（
3b
－<
/p>
2a
）
；②（－
2a
＋
3b
）
（
2a+3b
）
学习改变命运，思考造就未来！
10
③（－
2a
+3b
）
（－
2a
< br>－
3b
）
；④（
2a+3b
）
（－
2a
－
3b
）
．
A
．①②；
B
．②③
；
C
．③④
；
D
．①④
二：
【经典考题剖析】
1.
计算：－
< br>7a
b+3ab
－｛
[4a
b-(2ab
-3ab)]-4ab-(11ab
< br>b-31ab
－
6ab
｝
2.
若
x
3m
=4,y
3n<
/p>
=5,
求
(x
)
+(y
)3
－
x
²
y
的值．
3.
已知：
A=2x
+3ax
－
2x
－
1, B=
－
x
+ax
－
1
，且
3A+6B
的值与
x
无关，求
a
的值
< br>2
2
2m
3
n
2m
n
2
2
2
2
2
2
三：
【课后训练】
1.
下列计算错误的个数是（
）
3
+
3
⑴
x
3
+
x
3
=
x
；
⑵
m
6
m
< br>=
；
2
⑶
m
6
6
a
a
3
5
a
=
a
⑷
0
3
5
=
a
< br>;
8
2
=
(
-
1
)
(
-
1
)
(
-
1
< br>)
(
-
-
1
1
)
)
4
3
2
4
=
A
．
l
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
2.
计算：
(3a
2
-2a+1)-(2a
2
+3a-5)
的结果是（
）
A
．
a
－
5a+6; B
．
a
－
5a
－
4; C
．
a
+a
－
4; D. a
+a+6
3.
若
x
2
+ax=(x+
A. a=3,b=
9
4
3
2
)
+b
，则
2
2
2
2
2
a
、<
/p>
b
的值是（
）
; C.a=0,
b=-
9
4
; D.a=3,
b=-
3
2
;
B.a=3,b=-
9
4
4.
下列各题计算正确的是（
）
A
、
x
8
÷
x<
/p>
4
÷
x
3
=1 B
、
a
8
÷
a
-8
=
1 C. 3
100
÷3
99
=3 D.5
10
÷5
5
÷5
-2
=5
4
5.
若
3a
3
b
n
-5a
m
b
4
所得的差是
单项式
．
则
m=___
．
n=_____
，
这个单项式是
_
___________
．
6.
－
<
/p>
ab
c
2
2
3
的系数是
______
< br>，次数是
______
．
7.
求值：
（
1
－
1
2
2
）
（
1
－
1
3
2
）
（
1
－
1
4
2
）„（
1
－
1
9
2
< br>）
（
1
－
1
1
0
2
）
初中数学总复习
因式分解
一：
【
课前预习
】
（一）
：
【知识梳理】
1
．分解因式：把一个多项式化成
的形式，这种变形叫做把这个多项式分解
因式．
2
．分解困式的方法：
⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因
式，那么就可以把这个公因式提
出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解
因式的方法叫做提公
因式法．
⑵运用公式法：平方差公式
:
；
完全平方公式
:
；
学习改变命运，思考造就未来！
11
3
．分解因式的步骤：
（
1
）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有
公因式，一定先提取公团式，然
后再考虑是否能用公式法分解．
（
2
）在用公式时，若是两项，可考虑
用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方
公式；若是三项以上，可先进行适当的分组
，然后分解因式。
4
．分解因式时常见的思维误区：
<
/p>
提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项
被全部提出，括号内的项“
1
”易漏掉．分解不彻底
，如保留中括号形式，还能
继续分解等
（二）
：
【
课前练习
】
1.
下列各组多项式中没
有公因式的是（
）
A
．
3x
－
2
与
6x
2
－
4x B.3
（
a
－
b
< br>）
2
与
11
（
b
－
a
）
3
C
．
mx
—
my
与
ny
—
nx D
．
ab
—
ac
与
ab
—
bc
2.
下列各题中，分解因式错误的是（
）
A
.
x
2
1
(
x
1)(
x
1)
B
.1
4
y
2
(1
2
y
)(1
2
y
)
C
.81
x
2
64
y
2
(9
x
8
y
)(9
x
8
y
);
D
.(
2
y
)
2
x
2
<
/p>
(
2
y
x
)(2
y
x
)
3.
列多项式能用平方差公式分解因式的是（）
A
.9
x
C<
/p>
.9
x
2
2
49
y
B
.
9
x
2
2
2
2
49
y
2
2
4.
分解因式：
x
2
+2xy+y
2
－
4 =_____
5.
分解因式：
（
1
）
9
n
2
49
y
D
.
(9<
/p>
x
49
y
)
2
；
2
a
2
< br>2
（
2
）
x
2
y
2
；
（
3
）
25
x
2
9
y
2
；
（
4
）
(
a
b
)
4(
a
b
)
；
（
5
）以上三题用了
公式
2
2<
/p>
二：
【经典考题剖析】
1.
分解因式：
3
2
3
3
4
x
y
2
y
x
（
1
）
x
< br>y
xy
；
（
2
）
（
3
）
（
4
）<
/p>
3
x
18
x
27
x
；
x
1
x
1
；
2
2
3
分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因
式。提公因式时，不仅注意
数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次
提尽。
②当某项完全提出后，该项应为“
1
”
③注意
a
b
2
n
2
n<
/p>
2
n
1
2
n
1
b
a
，
a
b
b
<
/p>
a
④分解
结果（
1
）不带中括号；
（
2
）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多
项式在后；
（
3
）相同因式写成幂的
形式；
（
4
）分解结果应在指定范围内
不能再分解
为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。
2.
分解因式：
学习改变命运，思考造就未来！
12
（
1
）
x
2
3
xy
10
y
2
；
（
2
）
2
x
3
y
< br>
2
x
2
y
2
12
xy
3
；
（
3
）
x
2
4
16
x
2
分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”
，另一个字母
视为“常
数”
。首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为
3
项，可考虑完全平方式或十字相
乘法继续
分解；如果项数为
2
，可考虑平方差、立方差、立方和公式。<
/p>
（
3
）题无公因
式，项数为
2
项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选
择方法继续分解。
3.
计算：
（
1
）
1
1
1
1
1
1<
/p>
1
1
2
2
2
2
2
3
<
/p>
9
10
2
2
（
2
）
2002
2001
2
2000
2
19
99
2
1998
2
2
1<
/p>
2
2
分析：<
/p>
（
1
）此题先分解因式后约分，则余下首
尾两数。
（
2
）分解后，便有规可循，再求
1
到
2
002
的和。
4.
分解因式：
（
1
）
4
x
2
4
xy
y
2
z
2
；
（
2
）
a
3
a
2
< br>b
2
a
2
b
分析：
对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，
三：
【课后训练】
1.
若
9
x
2
m
xy
16
y
2
是一个完全平方式，那么
m
的值是（
）
A
．
24
B
．
12
C
．±
12
D
．±
24
2.
把多项式
ab
< br>
1
a
b
因式分解的结果是（
）
A
．
a
1
b
1
B
．
a
1
b
1
C
．
a
1
b
1
D
．
a
1
b
1
2
3.
如果二次三项式
x
ax
1
可分解为
< br>
x
2
x
b
，则
a
<
/p>
b
的值为（
）
A
．
－
1
B
．
1
C
．
－
2
D
．
2
4.
已知
2
48
1
可以被在
60
～
70
之间的两个整数整除，则这两个数是（
）
A
．
61
、
63
B
．
61
、
6
5 C
．
61
、<
/p>
67 D
．
63
、
65
5.
<
/p>
计算：
1998
³
2002
＝
，
27
46
27
23
＝
。
6.
若
a<
/p>
a
1
0
，那么
a
n
满足
m
2
7.
m
、
2
2001
2
2
a
2000
a
1999
＝
。
n
4
0
，
分解因式
x
2
y
2
mxy
n
＝
。
8.
因式分解：
（
1
）
x
3
x
2
x
3
x
8
；
（
2
< br>）
a
b
2
ab
2
b
2
a<
/p>
1
2
2
2
2
2
（
3
）
x
1
x
2
x
3<
/p>
x
4
1
；
（
4
）
1
a
2
1
b
2
4
ab
学习改变命运，思考造就未来！
13
初中数学总复习
分式
一：
【
课前预习
】
（一）
：
【知识梳理】
1
．分式有关概念
（
1
）分式：分母中含有字母的式子叫做
分式
。对于一个分式来说：
①当
____________
时分式有意义。②当
_____
_______
时分式没有意义。③只有
在同时满足
____________
，且
________
____
这两个条件时，分式的值才是零。
（
2
）最简分式：一个分式的分子与分母
______________
< br>时，叫做最简分式。
（
3
）约分：把一个分式的分子与分母的
_____________
约去，叫做分式的约分。将
一
个分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母
________
，然后约去分子与
分母的
_________
。
（
4
）通分：把几个异分母的分式分别化成与
____________
相等的
____________
的分
式叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的
___________
。
（
5
）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母
叫做最简公分母。求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项
式时，一般应先
；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的
系数的
作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分
式的分母整除；
④若分母的系数是负数，
一
般先把
“－”
号提到分式本身的前边。
2
．分式性质：
（
1
）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一
个
，分式
的值
．即：
A
B
a
b
A
M
B
< br>M
a
b
A
M
B
M
(
其
中
M
0)
（
2
）符号法则：
_
___
、
____
与
__________
的符号，
< br>改变其中任何两个，分式的
值不变。即：
a
b
< br>
a
b
3
.
分式的运算：
注意：为运算简便，运用分式
a
b
a
b
同
分
母
< br>
c
c
c
的基本性质及分式的符号法
加<
/p>
减
a
c
ad
bc
则：
异
分
母
b
d
< br>bd
①若分式的分子与分母的各项
a
c
ac
系数是分数或小数时，一般要
乘
b
d
bd
< br>化为整数。
分
式
运
算
乘
< br>除
a
c
a
d
ad
除
②若分式的分子与分母的最高
b
d
b
c
bc
次项系数是负数时，一般要化
n
a
n
a
乘
方
为正数。
(
)
n
(
n
为
整
数
)
b
b
（
1
）分式的加减法法则：
（
1
）同分母的分式相加减，
，把分子相加减
；
（
2
）
学习改变命运，思考造就未来！
14
异分母的分式相加减，先
，化为
的分式，然后再按
进
行计算
（
2
）分式的乘除法法则：分式乘以分式，用
_________
做积的分子，
___________
做积的分母，公式：
___________________
______
；分式除以分式，把除式的分
子、分母
__________
后，与被除式相乘，公式：
；
（
3
）分式乘方是
____________________
，公式
_________________
。
4
．
分式的
混合运算顺序，
先
，
再算
，
最后算
，
有括号先算括号内。
5
．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．
（二）
：
【
课前练习
】
1.
判断对错：
①如果一个分式的值为
0
，则该分式没有意义
（
）
②只要分子的值是
0
，分式的值就是
0
（
< br>
）
③当
a
≠
0<
/p>
时，
分式
x
<
/p>
y
1
2
,
x
2.
在
3
x
,
0,
3
2
1
a
＝
0
有意义
（
）
；
④当
a
＝
0
时，
分式
13
,
x
2
1
a
＝
0
无意义
（
）
3
,
1
,
,
< br>x
x
y
2
x
2
中
，整式和分式的个数分别为（
）
A
．
5
，
3
B
．
7
，
1
C
．
6
，
2
D
．
5
，
2
3.
若将分式
a
b
ab
(a
、
b
均为正数）
< br>中的字母
a
、
b
的值分别扩大为原来的
2
倍，
则
分式的值为（
）
A
．扩大为原来的
2
倍
；
B
．缩小为原来的
9
x
2
2
1
2
；
C
．不变；
D
．缩小为原来的
1
4
4.
分式
x
6
x
9
x
约分的结果
是
。
5.
<
/p>
分式
4(
x
<
/p>
y
)(
y
2)
6(
y
x
)(2
y
)
,
y
,
7(
y
2)
的最简公分母是
。
二：
【经典考题剖析】
1.
已知分式
2
x
5
x
4
x
5
2
,
当
x
≠
_____
_
时，
分式有意
义；
当
x=______
时，
分式的值为
0
．
2.
若分式
x
x
2<
/p>
x
1
的值为<
/p>
0
，则
x
的值为
（
）
A
．
x=
－
1
或
x=2
B
、
x=0
C
．
x=2
D
．
x=
－
1
3.
（
1
）<
/p>
先化简，再求值：
(
< br>3
x
x
1
x
x
1
)
x
1
x
2
，其中
x
2
2
.
（
2
）先将
x
2
x
x
1
2
(1
< br>
1
x
)
化简，然后请你自选一个合理的
x
值，求原式的值。
15
学习改变命运，思考造就未来！
（<
/p>
3
）已知
4.
计
算
（
1
）<
/p>
a
4
a
2
2
3
x
2
x
3
y
4
z
6
0
，求
x
y
z
x
y
z
的值
a
2
1
a
2
；
（
2
）
2
x
1<
/p>
（
3
）
1
x
2
；
x
2
x
x
2
x
2
x
<
/p>
4
2
x
2
x
（
4
）
1
1
2
4
x
y
<
/p>
x
y
；
（
5
）
x
y
2
4
1
x<
/p>
1
x
x
y
3
x
x
1
x
1
x
2
分析：
（
1
）题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再
进行约分，有乘方的
要先算乘方，
若分式的分子、
分母是多项式，
应先把多项式分解因式；
（
2
）
题把
x
2
当作整体进行计算较为简便；
（
3
）题是分式的混合运算，须按运算顺序进行，结果要
化为
最简分式或整式。对于特殊题型，可根据题目特点，选择适当的方法，使问题简
化。
（
4
）题可以将
x
y
看作一
个整体
x
y
，然后用分配律进行计算；
（
5
）题
可采用逐
步通分的方法，
即先算
1
1
x
1
1
x
，
用其结果再与
2
1
x
2
相加，
依次类推。
三：
【课后训练】
1.
当
x
取何值时，分式（
1
）
3
2
x
< br>
1
；
（
2
）
3
x
2
2
x
1
；
（
3
）
2
x
4
有意义。
2.
当
x<
/p>
取何时，分式（
1
）
2
x
3
3
x
5
；<
/p>
（
2
）
x
3
x
3
的值为零。
3.
分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。
（
1
）
2
n
m
2
(
)
2
3(
m
2)
；<
/p>
（
2
）
ab
b
2
2
ab
b
2
a
b
(
)
4.
若
a<
/p>
b
7;
ab
12
，则<
/p>
a
b
ab
2
＝
。
5.
<
/p>
已知
1
x
1
y
3
。则分式
a
b
a
b
2
2
2
2
2
x
3
xy
< br>
2
y
x
2
xy
y
)
2
ab
的值为
。
6.
<
/p>
先化简代数式
(
a
b
a
b
(
a
b
)(
a
b
)
2
然后请你自取
一组
a
、
b
的
值代入求值．
7.
已知△
ABC
的三边为
a
，
b
，
c
，
a
2
8.
计算：
b
c
2
2
=
ab
bc
ac
，试判定三角形的
形状．
16
学习改变命运，思考造就未来！
（<
/p>
1
）
1
(
a
1
1
a
)
2
a
a
1
a
2
a
1<
/p>
2
2
；
（
2
）
3
x
5
x
2
x
2
x<
/p>
2
2
m
n
mn
n
mn
（
3
）
2
；
（
4
）
2
2<
/p>
2
2
2
x
4
x
4
x
4
2
x
4
m
n
n<
/p>
1
m
2
mn
n
1
x
1
初中数学总复习
一次方程
一：
【
课前预习
】
（一）
：
【知识梳理】
整
式
方
程
1.
方程的分类
方
程
有
理
方
程
分
式
< br>方
程
无
理
方
程
2.
方程的有关概念
（
1
）方程：含有
< br>
的等式叫方程。
（
2
）有理方程：
___
______________________________________
统
称为有理方程。
（
3
）无理方程：
__________
叫做无理方程。
（
< br>4
）整式方程：
__________________
_________________________
叫做整式方程。
（
5
）分式方程：
___________________________________________
叫做分式方程。
（
< br>6
）方程的解：
叫做方程的解。
（
< br>7
）解方程：
_
叫做解方程。
（
8
）一元一次方程：
_____
______________________________
叫做一元一次方程。
（
9
）二元
一次方程：
__________________________________
_
叫做二元一次方程
3
．①解方程的理论根据是：
______________________
___
②解方程（组）的基本思
想是：多元方程要
_________,
高次方程要
__________.
< br>③在解
_____
方程，必须验根
.
要把所求得的解代入
______
进行检验；
4
．解一元一次方程的一
般步骤及注意事项：
步骤
去分母
去括号
移项
合并
合并同
学习改变命运，思考造就未来！
具体做法
依据
等式性质
乘法分配
律、去括
号法则
移项法则
注意事项
17
同
类项
系数
化
为
1
类
项法则
等式性质
5.
二元一次方程组的解法．
（
1
）代人消元法：解方程组的基本思路是
“消元”一把“二元”变为“一元”
，主
要步骤是，将其中一个
方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出
来，并代人另一个方程中，从而
消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方
程，这种解方程组的方法称为代人消元
法，简称代人法．
（
2
）减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，
这种解二元一
次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．
6
．整体思想解方程组．
（
1
）
整体代入．
如解方程组
< br>
3(
x
1)
y
5
①
5(
y
1)
3(
x
5)
②
，
方程①的左边可
化为
3(x+5
)
－
< br>18=y+5
3
x+5
）
③，
把②中的
（
看作
一个整体代入③中，
可简化计算过程，
求得
y
．
然后求
出方程组的解．
1
x
+3y
19
①
3
（
2<
/p>
）
整体加减，
如
3x+
1
y
11
②
3
因为方程①和②的未知数
x
、
y<
/p>
的系数正好对调，
所以可采用两个方程整体相加减求解．利用①<
/p>
+
②，得
x+y=9
③，利用②－①
得
x
－
y=3
④，可使③、④组成简单的方程组求得<
/p>
x
，
y
．
7.
两个方程二元一次方程与一次函数的区
别和联系．区别：
（
1
）二元一次方程
有两
个未知数，而一次函数有两个变量；
（
2
）二元一次方程用一个等式表示两个未知
数的关系，而一
次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用列
表或图象来表示两个变量
之间的关系．
联系：
（
1
）在直角坐标系中分别描出以二
元一次方程的解为
坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上；
（
2
）在一次
函数的图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程．
8.
两个一次函数图象的交点与二元
一次方程组的解的联系：在同一直
坐标系中，两
个一次函数图象的交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元
一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点，
9.
用作图象的方法解二元一次方程组：
（
1
）将相应的二元一次方程组改写成一次函
数的
表达式；
（
2
）在同一坐标系内作出这
两个一次函数的图象；
（
3
）观察图象
的
交点坐标，即得二元一次方程组的解．
< br>（二）
：
【
课前练习
】
1.
若
(3
2
x
)
∶<
/p>
2
＝
(3
2
x
)
∶
5
，则
x
＝
。
学习改变命运，思考造就未来！
18
2.
如果
2
x
3
5
与
2
3
x
3
的值互为相反数，则
x
＝
。
3.
<
/p>
已知
x
1
y
1
是方程组
2
3
ax
by
12
4
x
by
2
a
m
2
的解，则
a
b
＝
< br>
。
4.
若单项式
a
4
b
2
m
1
与
b
m
7
是同类项，则
m
＝（
）
A.2 B.
±
2
C.
－
2 D.4
5.
已知方程组
a
1
b
2<
/p>
5
x
y
3
ax
5
y
4
与
< br>
x
2
y
5
5
x
by
<
/p>
1
有相同的解，则
a
、
b
的值为（
）
A
、
B
、
a<
/p>
4
b
6
C
、
a
6<
/p>
b
2
D
、
a
14
b
2
二：
【经典考题剖析】
1.
解方程：
< br>2
(
x
1
)
1
2
k
(
x
3)
k
(
x
2)
1
2
x
3
x
< br>2.
若关于
x
的方程：
10
与方程
5
2(
x
1)
的解相
5
4
3
3
x
3
7
x
同，求
k
的值。
3.
在代数式
ax
by
m<
/p>
中，
当
x
2,
y
3,
m
4
时，
它的值是零；
当
x
3,
y
<
/p>
6,
m
4
时，它的值是
4
；求
a
、
b
的值。
4.
要把面值为
10
元的人民币换成
2<
/p>
元或
1
元的零钱，现有足够的面值为
2
元、
1
元的
人民币，那么共有换法（
）
A.
5
种
B.
6
种
C.
8
种
D.
10
种
解：首先把实际问题转化成数
学问题，设需
2
元、
1
元的人民币各为张（
x
、
y<
/p>
为非
0
x
5
且
x
为
整
数
x
0
、
< br>负数）
，
则有：
2
x
y
< br>10
y
10
2
x
，
1
、、
2
3
、、。
4
5
三：
【课后训练】
1.
若
2x+1= 7
，则
x
的值为（
）
A
．
4
B
、
3
C
、
2
D
、－
3
2.
有一个密码系统，其原理由下面的框图所示：
输入
x
→
x+6
→
输出
当输出为
10
时，则输人的
x
＝
______
3.
三个连续奇数的和是
15
，那么其中最
大的奇数为（
）
A
．
5
B
．
7
C
．
9
D
．
11
4.
已知
2
x+5y
＝
3
，
用含
y
的代数式表示
x
，
则
x=___________
< br>；
当
y=1
时，
x=________
5.
若
3a
x
b
y+7
和－
7a
-1-4y
b
2x
是同类项，则
x
、
y
的值为（
）
A
．
x
＝
3
，
y
＝－
1 B
．
< br>x
＝
3
，
y
＝
3
C
．
x
=1
，
y=2 D
．
x
＝
4
，
y
＝
2
学习改变命运，思考造就未来！
19
6.
方程
x+y=2
2x+2y=3
没有解，由此一次函数
y=2
－
x
与
y=
< br>3
2
－
x
的图象必定（
）
A
．重合
B
．平行
C
．相交
D
．无法判断
6.
二元一次方程组
y=
2
< br>x
1
y=2x+3
的解是
_______
；那么一次函数
y=2x
—
1
和
y=2x+3
的图象
的交点坐标是
；
7.
已知
a
、
b
是实数，
且
2
a
6<
/p>
b
解关于<
/p>
x
的方程：
2
0
，
(
a
2)
x
b
a
1
2
8.
若<
/p>
a
b
4
b
与
3
a
b
是同类二次根式，求
a
、
b
的值
.
9.
解方程（组）
1
x
x
2
1.8
0.8
x
0.03
0.02
x
x
5
（
1
）
3
（
2
）
；
；<
/p>
3
4
1.2<
/p>
0.03
2
x
1
y
2
2(
x
y
)
2
x
3
y
5
3
4
5
（
3
）
；<
/p>
（
4
）
3
x
2
y
1
x
3
y
3
2
y<
/p>
x
3
4
初中数学总复习
一元二次方程
一：
< br>【
课前预习
】
（一）
：
【知识梳理】
1.
一元二次方程：只含有一个
，且未知数的指数为
的
整式方程叫一
元二次方程。
它的一般形式是
（其中
、
）
它的根的判别式是△
=
；
当△＞
0
时，
方程有
实数；
当△
=0
时，方程有
实数根；当△＜
0
时，方程有
实数根；
一元二次方程根的求根公式是
、
（其中
）
2
．一元二次方程的解法：
⑴
配方法：配方法是一种以配方为手
段，以开平方为基础的一种解一元二次方程
的方法．用配方法解一元二次方程：
ax
2
＋
bx+c=0
(k
≠
0
）的一般步骤是：①化二
次项系数为
1
，
即
方程两边同除以二次项系数；
②移项，
即使方程的左边为二次<
/p>
项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上
的绝对值
2
一半的平方；
④化原方程为
(x+m)
=n
的形式；
⑤如果
n
0
就可以用两边开平
方来求出方程的解；如果
n=
＜
0
，则原方程无
解．
⑵
公
式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。它是通过配方推
学习改变命运，思考造就未来！
20
导出来的．
一元二次方程的求根公式是
(
b
2
4
ac
0)
注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为
。
⑶
因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做
．它
的理论根据是两个因式中至少要有一个等于
0
，因式分解法的步骤是：①将方程
右边化为
0
；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于
0
，
得到两个一元一次方程，解这两个一元一
次方程，它们的解就是原一元二次方程
的解．
3
．一元二次方程的注意事项：
⑴
在一元二次方程的一般形式中要注
意，
强调
a
≠
0
．
因当
a=0
时，
不含有二次项，
即不是一元二次方程．如关于
x
的方程（
k
2
－
1
）
x
2
+2kx+1=0
中，当
k=
±
1
时就是
一元一次方程了．
⑵
应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形
式；②确定
a
、
b
、
c
的值；③求出
b
2
－
4ac
的值；④若
b
2
－
4ac
≥
0
，则代人求根公
式，求出
x
1
,x
2
．若
b
－
< br>4a
＜
0
，则方程无解．
⑶
方程两边绝不
能随便约去含有未知数的代数式．如－
2(x
＋
4)
2
=3
（
x
＋
4
）中，
不能随便约去（
x
＋
4
）
⑷
注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌
握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．
2
（二）
：
【
课前练习
】
1.
用直接开平方法解方程
(
x
3)
2
8
，得方程的根为
（
）
A.
x
<
/p>
3
2
3
B.
x
< br>1
3
2
2
,
x
2
3
2
2
C.
x
3
2
2
D.
x
1
3
2
3,<
/p>
x
2
3
2
3
2.
方程
x
(
x
1)<
/p>
0
的根是（
）
A
．
0
B
．
1
C
．
0
，－
1
D
．
0
，
1
3.
设
(<
/p>
x
1)(
x<
/p>
2)
0
的两根为
x
1
、<
/p>
x
2
，且
x
1
＞
x
2
，则
x
1
2
x
2
＝
。
4.
已知关于
x
的方程
4
x
4
kx
k
0
的一个根是－
< br>2
，那么
k
＝
< br>
。
5.
x
2
2
2
2
4
3
x
＝
(
x
________)
2
二：
【经典考题剖析】
1.
分别用公式法和配方法解方程
：
2
x
3<
/p>
x
2
分析：用公式法的关键在于把握两点：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式。
用配方法的关键在于：
①先把二次项系数化为
1
，
再移常数项；
②两边同时加上一次<
/p>
学习改变命运，思考造就未来！
21
2
项系数一半的平方。
2.
选择适当的方法解下列方程：
（
1
）
7(2
x
3)
2
28
；
<
/p>
（
2
）
y
2
2
y
399
0
（
3
）
2
x
1
2
5
x
；
（
4
）
(2
x
1)
2
3
(2
x
1)
2
0
<
/p>
分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。
（
1
）宜用直接开方法；
（
2
）宜用配
方法；
（
3
）宜用公式法；
（
4
）宜用因式分解法或换元法。
3.
已知
(
a
2
b
2
)
2
(
a
2
b
2
)
< br>6
0
，求
a
2
b
2
的值。
< br>分析：已知等式可以看作是以
a
2
b
2
为未知数的一元二次方程，并
注意
a
2
b
2
的
值应为非负数。
< br>
4.
解关于
x
的方程：
(
a
1)
x
2
2
ax
< br>a
0
分析：学会分类讨论简单问题，首先要分清楚这是什么方程，当
a
< br>＝
1
时，是一元一
次方程；当<
/p>
a
≠
1
时，是一
元二次方程；再根据不同方程的解法，对一元二次方程有
无实数解作进一步讨论。
2
三：
【课后训练
】
1.
如果在－
1
是方程
x
2
+mx
－
1=0
的一个根，那么
m
的值为（
）
A
．－
2
B
．－
3
C
．
1
D
．
2
2.
方程
2
x
(<
/p>
x
3)
5(
x
3)
的解是（
）
A
x
3
B
x
5
2
C
x
1
3,
x
2
5
2
D
x
3
3.
已知
x
1
，
x
2
是方程
x
2
－
x
－
3=0
的两根
，那么
x
1
2
+x
2
2
的值是（
）
A
．
1
B
．
5
C
．
7
D
、
4.
关
于
x
的方程
(
k
1)
x
2
5.
关于
x
的方程
(
a
1)
x
a
2<
/p>
49
4
的一次
项系数是－
3
，则
k=_______
3(
k
<
/p>
2)
x
k
42
0
2
2
a
1
x
5
0
是一元二次方程，则
a=__________.
6.
飞机起飞时，
要先在跑道上滑行一
<
/p>
段路程，
这种运动在物理中叫做匀加速直线运动，
其公式为
S=
1
2
at
2
，若某飞机在起飞前滑过了
4000
米的距离，其中
a=20
米／秒，求
所用的时间
t
．
7.
已
知
三
角
形
的
两边
长
分
别
是
方程
x
< br>
3
x
2
0
的
两
根
，
第
三
边
的
长
是
方
程
2
x
5
x
< br>3
0
的根，求这个三角形的周
长。
2
2
8.
解下列方程：
学习改变命运，思考造就未来！
22
2
2
2
（
1
）
x
5
x
2
0
；
（
2
）
9(2
x
3)
4(2
x
5)
0
；
x
x
2
2
2
（
3
）
<
/p>
5
(6
x
7
x
)
2(6
x
7
x
)
3
；
< br>
6
0
；
（
4
）
x
1
x
1
2
初中数学总复习
分式方程及应用
一：
【
课前预习
】
（一）
：
【知识梳理】
<
/p>
1
．分式方程
:
分母中含有
的方程叫做分式方程．
2
．分式方程的解法：解分式方程的关键是
（即方程两边都乘以最简公分母）
,
将分式方程转化为整式方
程；
3
．分式方程的增根问题：⑴
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为
0
的条件，
当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转
化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为
0
，那么就会出现不适合原方程
的根的增根；⑵
验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验
根。验
根的方法是将所求的根代人
或
，若
的值为零或
的值为零，则该根就是增根。
4
．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍
复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用
含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求
解．
另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合
理性．
5
．通过解分式方程初步体验“转化”的数
学思想方法，并能观察分析所给的各个特
殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别
是技巧性的解法解决问题。
6.
分式方程的解法有
和
。
（二）
：
【
课前练习
】
1.
把分式方程
1
x
2
1
x
2
x
1
的两边同时乘以
(x-2),
约去分母，得（
）
A
．
1-(1-x)=1
B
．
1+(1-x)=1
C
．
1-(1-x)=x-2
D
．
1+(1-x)=x-2
2.
方程
2
x
<
/p>
3
x
1
2
的根是（
）
1
2
A.
－
2 B.
C.
－
2
，
2
m
x
1
m
x
2
1
2
1
2
D.
－
2
，
1
3.
当<
/p>
m
=_____
时，方程
4.
如果
A
x
5
B
x
2
的根为
5
x
4
x
3<
/p>
x
10
2
，则
A=____
B
＝
________.
23
学习改变命运，思考造就未来！
5.
若方程
a
x
2
x
1
x
2
3
有增根，则增根为
_____
，
a=________.
二：
【经典考题剖析】
1.
解下列分式方程：
（
1
）
< br>x
2
x
5
2
x
1
1
1
；
（
2
）
1
；
（
3
）
；
x
< br>
3
2
x
5
5
2
x
x
3
2
x
3
2
x
x
1
3(
x
1)
1
1
< br>
2
（
4
）
x
；
（
5
）
2
4
；
（
6
）
2
x
< br>
2
3
x
1
x
2
2
x
x
1
x
1
x
< br>x
x
2
分析：
（
1
）用去分母法；
（
2
）
（
3
）
（
4
）题用化整法；
（
5
）
（
6
）题用换元法；分别
设
y
< br>x
1
x
1
2
，
y
x
1
x
，解后勿忘检验。
1
1
1
x
y<
/p>
3
1
1
2.
解方程组：
分析：此题不宜去分母，可设
＝
A
，
＝
B
得：<
/p>
x
y
1
1
2
9
x
y
1
A
B
3
，用根与系数的关系可解出
A
、
B
，再求
x
、
y
，解出后仍需要检验。
2
A
B
9
3.
若关于
x
的分式方程
< br>2
x
2
m
x
2
6
x
x
4
2
有增根，求
m
的值。
三：
【课后训练】
1.
方程
1
x
2
x
1
x
1
1
去分母后，
可得方程（
）
2
2
2
A
2
x
x
1
0;
B
x
2
x
0;
C
< br>2
x
x
1
0;
D
x
2<
/p>
x
2
0
2.
解方程
2
2
x
x
2
1
x
x
< br>，设
y
x
x
，将原方程化为（
）
2
2
2
2
2
A
y
1
0;
B
y
y
< br>
2
0;
C
2
y
y
0;
D
y
y
2
0
3.
已知方程
ax
a
1
2
x
1
1
的
解
与
方
程
6
< br>x
=3
的解相同，则
a
等于（
）
A
．
3
B
．－
3
C
、
2
D
．－
2
学习改变命运，思考造就未来！
24
4.
方程
1
0
x
2
<
/p>
x
3
4
11
x
3
k
的解是
。
x
x
1
0
5.
分式方程
x
1
x
1
有增根
x=1
，则
k
的值为
________
6.
满足分式方程
< br>x+1
x-2
x
1
x
2
< br>的
x
值是（
）
A
．
2
B
．－
2
C
．
1
D
．
0
7.
解方程：
(1)
x
1
x
1
3<
/p>
x
3
x
1
2
2;
(2)
1
x
1
1
x
1
< br>1;
(3)
2
x
1
3
x
1
x
2
5
1
<
/p>
x
2
5
x
2
x
8
3
x
x
11
x
< br>
(4)
< br>
6
0;
(5)
2
x
1
x
3
x<
/p>
x
4
3
x
1
初中数学总复习
一元一次不等式
一：
【
课前预习
】
（一）
：
【知识梳理】
1
．不等式：用不等号（＜
、≤、＞、≥、≠）表示
的式子叫不等式。
2
．不等式的基本性质：
（
1
）
不等式的两边都加上（或减去）
，不等号
的
．
（
2
）不等
式的两边都乘以（或除以）
，不等号
的
．
（
3
）不等
式的两边都乘以（或除以）
，不等号的
方向
．
3
．不等式的解：能使不等式成立的
的值，叫做不等式的解．
4
．
不等式的解集：
一个含有未知数的不等式的<
/p>
，
组成这个不等式的解集．
5
．解不等式：求不等式
的过程叫做解不等式．
6
．一元一次不等式：只含有
，并且未知数的最高次数是
，系
数不为
零的不等式叫做一元一次不等式．
7
．解一元一次不等式易错点：
（
1
）不等式两边部乘以（或除以）同一个负数时，不
等号的方向
要改变，这是同学们经常忽略的地方，一定要注意；
（
2
）在不等式两
边不能同时乘以
0
．
8
．
< br>一元一次不等式的解法：
解一元一次不等式的步骤：
①<
/p>
，
②
，
③
，④
，⑤
（不等号的改变问题）
9
．求不等式（组）的正整数解或负整数解等特解时，可先求出这个不等式（组）的
< br>所有解，再从中找出所需特解．
10
< br>．一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成
一个一元一次不等式组．
11
．一元
一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的
，
叫做这个一元一次不等式组的解集．
学习改变命运，思考造就未来！
25
12
．解不等式组：求不等式组
解集的过程，叫做解不等式组．
13
．一元一次不等式组的解．
（
1
）
分别求出不等式组中各个不等式的解集；
（
2
< br>）利用数轴或口诀求出这些解集
的公共部分，即这个不等式的解。
（口诀：同大取大，同小取小；大于小的小于
大的，取两者之间；大于大的小于
小的，无解。
）
14.
不等式组的分类及解集
(a
＜
b
）
．
（
二）
：
【
课前练习
】
1.
下列式子中是一元一次不等式的是（
）
A.-2>-5
B.x
2
>4 >0 D.
x
2
–
x< -1
2
．下列说法正确的是（
）
A.
不等
式两边都乘以同一个数，不等号的方向不变；
B.
不等式两边都乘以同一个不为零的数，不等号的方向不变；
C.
不等式两边都乘以同一个非负数，不等号的方向不变；
< br>
D.
不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号
的方向不变；
3.
关于
x
的不等式
2x
－
a
≤－
1
的解集如图
所示，则
a
的取值是（
）
A.0
B.
－
3
C.
－
2
D.
－
1
4.
不等式
2x
≥
x+2
的解集是
_________
．
5.
把不等式组
x+
1>0
x-1
0
的解集表示在数轴上，确的是图中的（
）
二：
【经典考题剖析】
1.
解不等式
y
< br>
1
3
y
1
2
y
1
6
1
，并在数轴上表示出它的解集。
分析：按基本步骤进行，注意避免漏乘、移项变号，特别注意当不等
式两边同时乘以
或除以一个负数时，不等号的方向要改变。答案：
y
6
x
2(
x
1)
3<
/p>
2.
解不等式组
2
x
5
，并在数轴上表示出它的解集。
x
3
分析：不等式组的解集是各不等式解集的公共部分，故应将不等式组里各不等式分
别求出解集，标到数轴上找出公共部分，数轴上要注意空心点与实心点的区别，与
< br>方程组的解法相比较可见思路不同。答案：－
1
≤
x
＜
5
3.
求方程组
x<
/p>
y
k
5
x
3
y
26
的正整数解。
学习改变命运，思考造就未来！
26
分析：
由题设知，
k
< br>必为正整数，
由方程组可解得用含
k
的代数式表示
x
、
y
，
又
x
、
< br>y
均大于零，可得出不等式组，解出
< br>k
的范围，再由
k
为正整数可得
k
＝
6
、
7
、
8
，分
别代入可得解。答案：当
k
＝
6
时，
< br>x
4
y
2
；当
k
＝
8
时，
x
1
y
7
4.
已知不等式
3
x
a
≤<
/p>
0
，的正整数解只有
1
< br>、
2
、
3
，求
a
。
略解：先解
3
x
a
≤
0
可得：
x
范围，可得
3
≤
个值。
a
3
a
3
，考虑整数解的定义，
并结合数轴确定
a
3
允许的
＜
4
，解得
9
≤
a
＜
12
。不要被“求
a
”二字误导，以为
< br>a
只是某
三：
【课后训练】
1.
使不等式
x
－
5
＞
4x<
/p>
—
l
成立的值中的最大的整数是（
）
A
．
2
B
．－
1
C
．－
2
D
．
0
2.
不等式
2
（
x
－
2
）≤
x
—
2
的非负整数解的个数为（
）
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
3.
使
x
1
、<
/p>
1
x
、
(x
－
3)
0
三个式子
都有意义，
x
的取值范围是（
）
A
．
x
＞
0
B
．
x
≥
0<
/p>
且
x
≠
3
C
．
x
＞
0<
/p>
且
x
≠
3
D
．一
l
≤
x
≤
0
4.
不
等式组
2x+4>0
x-1<0
的解集为（
）
A
．
x
＞
l
或
x
＜－
2
B
．
x
＞
l
C
、－
2
＜
x
＜
1
D
、
x
＜
2
5.
不等式组
2x
-3<0
3x+2>0
的整数解是<
/p>
______________.
6.
解不等式并把解集在数轴上表示出来；
（
1
）
x
2
2
(
x<
/p>
1)
1
；
（
2
）
x-7
2
+1<
3x-
2
2
；
（
3<
/p>
）
y
1
3
y
1
2
y
1
6
7.
解不等式组
3
x
4(
x
2)
3
2x+4<0
<
br>2x-1
3x+2>2(x-1)
(1)
;
(2)
1
;
(3)
;
(4)
x
2
x
1
4x-3
3x-2
x+8>4x-1
(x+8)-2>0
1
3
2
2
< br>3
x
6
y
1
a
9
.
已知
a
3
3
a
，当
为何整数时，方程组
的解都是负数？
5
x
11
y
a
初中数学总复习
学习改变命运，思考造就未来！
27