初中平方差公式
-
平方差公式
一、学习目标
< br>熟练掌握平方差公式，完全平方公式，立方和与立方差公式，并能灵活地应用它们进行计算
二、学习要求
1
、知道乘法公式是一种特殊形式的乘法，是通过多项式的乘法，把特殊多项式相乘的结果写成
公式形式并加以
运用。
2
、理解五个乘法公式，掌握这五个公式的结构特征，并会用这五个公式进行运算。
3
、会用这五个公式使计算简便，会简捷地计算某些数的积。
4
、能够灵活运用公式进行计算，提高运算能力。
三、例题分析
第一阶梯
[
例
1]
我们来计算（
a+b
）
(a-b)=a
-ab+ab-b
=a
-b
,
这就是说，两个
数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平
方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，
利用这个公式计算：
(1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a) (3)(2x
+5y
)(2x
-5y
) (4)(-a
-b
)(b
< br>-a
)
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
2
提示：
刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特
征写出一个
框架
，如
（
1
）
（
2x+3y
）
(2x-3y)
=
（
）
2
-
（
）
，第二步分析哪项相当于公式中的
a
，哪项相当于公式中的
b
，并在
框架
中填数计算。
2
参考答案：
(1)
（
2x+3y
）
(2x-3y)=
（
2x
）
-(3y)
=4x
< br>-9y
2
2
< br>2
2
(2)(1+2a)(1-2a)
=12-(2a)
=1-4a
2
2
(3)(2x
+5y
)(2x
-5y
)=(
2x
)
-(5y
)
=4x
-25y
3
2
3
2
3
< br>2
2
2
6
4
(4)(-a
-b
)(b
-a
)=(-a
-b
)(-a
+b
)=(-a
)
-(b
)
=a
-b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
< br>2
4
4
说明：
< br>
平方差公式（
a+b
）
(a-b)=a
-b
的特征是：
2
2
（<
/p>
1
）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同
，另一项互为相反数。
（
2
）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方
，在学习平方差公式时还应
注意：
①公式中的
a
和
b
可以是具体数，也可以是单项式或多项式
<
/p>
②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变
化为符合公式标
准的形式，如第（
4
）
小题。
1
[
例
2]
计算（
a+b
）
和（
a-b
）
,
可知（
a+b
）
2
2
2
=(a+b)(a+b)=a
+ab+ab+b
=a
+2ab+b
(a-b)
=(a-b)
(a-b)=a
-ab-ab+b
=a
-2ab+b
,
即
（a±b）
=a
±2ab+b
，
这
就是说，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的
2
倍，这两个公式叫做乘法的完全平方
公式。利用这两个公
式计算
(1)(x+5)
(2)(2-y)
(3)(3a+2b)
提示：
2
2
2
(5) (-a+2b)
2
在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是
a
，哪个数或式是
b
。
参考答案：
(1)
(x+5)
=x
+2·x·5+5
=x
+10x+25
2
< br>2
2
2
(2)(2-y)<
/p>
=2
-
2·2·y+y
< br>=4-4y+y
2
2
2
2
(3)(3a+2b)
=(3a)
+2·3a·2b+(2b)
=9a
+12ab+4b
2
2
2
2
2
(5)(-a+2b)
=(-a)
+2·(
-
a)·2b+(2b)
=a
-4ab+4b
2
< br>2
2
2
2
说明：
1
< br>、（
a+b
）
=a
+2ab+b
与（
a-b
）
=a
-2ab+b
都叫做完全平方公式
，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平
方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2
、这两个公式的结构特征是：
左边是两个相同的二项式相乘，（即二项式的平方形式），右边是三项式，是左
边二项式
中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的
2
倍。
3
、公式
中的字母
a
、
b
既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。
4
、只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式，
在运用公式时，注意防止发生（a±b）
=a
±b
这样
的错误。
[
例
3]
计算（
a+b<
/p>
）
(a
-ab+b
)
和
(a-b)(a
+ab+b
)
，可知
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
< br>
（
a+b
）
(a
-ab+b
)=a
-a<
/p>
b+ab
+a
b-ab
< br>+b
=a
+b
,
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
（
a-b
）
(a
+ab+b
)=a
+a
b+ab
-a
b-ab
-b
=
a
-b
,
即
2
2
3
2
2
2
2
3
3
3
（a±b）<
/p>
(a
ab+b
)=a
±b
，这就是说，两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和），等于
这
两个数的立方和（或差），这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式，利用这两
个公式计算：
2
2
2
3
3
（
1
）（
x+2
）
(x
-2x+4);
(2)(3-y)(9+3y+y
)
2
2
（<
/p>
3
）
(3x-4y)(9x
+12xy+16y
);
（
5
）
(3x
-2y
)(9x
+6x
y
+4y
)
2
2
4
2
2
4
2
2
提示：
先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算，再弄清题目中哪个数或式是
a
，哪个数或式是
b
，最后再代
入公式计算。
参考答案：
（
1
）（
x+2
）
(x
-2x+4)=(x+2)(x
-
x·2+2
< br>)=x
+2
=x
+8
2
2
2
3
3
3
< br>（
2
）
(3-y)(9+3y+
y
)=(3-y)(3
+3·y+y
)
=3
-y
=27-y
2
2
2
3
3
3
（
3
）
(3x-4y)(9x
+12x
y+16y
)=(3x-4y)[(3x)
+3x·4y+(4
y
)]=(3x)
-(4y)
=27x
-64y
2
2
2
2
3
3<
/p>
3
3
<
/p>
（
5
）（
3x<
/p>
-2y
）
(9x
+6x
y
+4y
)=(3x
-2y
)[(3x
)
+3
x
·2y
+(2y
)
< br>]
2
2
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
=(3x
)
-(2y
)
=27
x
-8y
2
3
2
3
6
6<
/p>
说明：
1
、注意对公式的理解和记忆（
1
）项数
特征：两项乘三项→积为二项，（
2
）符号特征：二项的因式若
两项都为
，则三项的因式符号为
+
，
-
，
+
，积的符号与二项因式的符号相同，二项的因式符号若为
，
，则三项的
因式符号为
+
，
+
，
+
，积的符号与二项因式的符号相同，即是说公式在各种条件都相符的情
况下，所得的积是两数
的
立方和
还是两数的
立方差<
/p>
，主要看乘积中第一个乘式是
两数和
，还是
两数差
。
2
、公式中的字母
a
、
b
仍代表任意数或代数式。
第二阶梯
[
例
1]
利用乘法公式计算：
(1)
（
x+3
< br>）
(x-3)(x
+9) (2)
(a+b)(a-b)(a
-b
)
2
2
2
(3) (x-2)(x+2)(x
+4x
+16) (4)
(a-b)(a
+ab+b
)(a
+a
b
+b
)
<
/p>
4
2
2
2
6
3
3
6
3
提示：
（
1
）小
题可两次使用平方差公式；
（<
/p>
2
）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式；
（
3
）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式
<
/p>
（
4
）小题两次使用立方差公式。
参考答案：
(1)(x+3)(x-3)(x
+9)=(x
-9)(x
+9)=(x
)
-9
=x
-81
2
2
2
2
2
2
4
(2)(a+b)(a-b)(a
-b
)=(a
-b
)(a
-b
)=(a
-b
)<
/p>
=(a
)
-2a
b
+(b
)
=a
-2a
b
+b
2
2
2
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
2
2
2
2
2
4
2
2
4
(3)(x-2)(x+2)(x
+4x
+16)=(x
-4)(x
+4x
+16)=(x
)
-4
=x
-64
4
2
2
4
2
2
3
3
6<
/p>
(4)(a-b)(a
+ab+b
)
(a
+a
b
+b
)=(a
-b
)(a
+a
b
+b
)=(a
)
-(b
)
=a
-b<
/p>
2
2
6
3
3
6
3
3
6
3
3
6
3
3
3
3
9
9
说明：
遇到多项式的乘法问题，首先应看看是否符合某个乘
法公式，若有恰当的公式使用可大大简化运算过程。
[
例
2]
运用乘法公式计算：
< br>
(1) (a+b+c)(a-b-c) (2)
(a-2b+3c)(a+2b-3c)
(3)
(x+2y+z)
(4)
(2x-3y-4z)
2
2
提示：
（
1
）（
2
）小题可利用平方差公式进行计算；（
3
）（
4
）小题可利用完全平方公式
进行计算。
参考答案：
(1)
（
a+b+c
）
(a-b-c)=[a+(b+c)][a-(b+c)]=a
-(b+c)
=a
-(b
+2bc+c
)
2
< br>2
2
2
2
=a
-b
-2bc-c
2
2
2
(2) (a-2b+3c)(a+2b-3c)=[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)]=a
-(2b-3c)
2
2
=a
-(4b
-12bc+9c
)=a
-4b
-12bc-9c
2
2
2
2
2
2
(3)
（
x+2y+z
）
=[x+(2y+z)]
=x
+2x(2y+z)+(2y+z)
=x<
/p>
+4xy+2xz+4y
+4yz+z
2
2
2
2
2
2
2
(4)
(2x-3y-4z)
=[2x-(3y+4z)]
=(2x)
-
2·2x·(3y+4z)+(13y+4z)
2
2
2
< br>2
=4x
-4x(
3y+4z)+(19y
+24yz+16z
)=4x
-12xy-16xz+9y
+24yz+16z
2
2
2
2
2
2
4
说明：
进行多项式乘法运算时，一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整。适
当地添加括号，
将有利于应用乘法公式，
添
加括号方式的不同，
可一题多解，
如
（
4
）
小题还可添加括号为
[
（
2x-3y
）
-4z]
，但得出的结果均相同。
2
[
例
3]
利用乘法公式计算：
（
1
）（
x+1
）
(x-1)(x
+x+1)(x
-
x+1)
2
2
（<
/p>
2
）
(a+b)(a-b)(a
+ab+b
)(a
-ab+b
< br>)
2
2
2
2
提示：
（
1
）小
题前两个因式可利用平方差公式计算，后两个因式也可利用平方差公式计算，也可以将第一个因式与第
四个因式结合利用立方和公式，第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式（
2
）小题类似。
参考答案：
（
1
）解法一：（
x+1
）
(x-1)(x
+x+1)(x
-x+1)
2
2
= (x
-1)[(x
+1)
-x
]
2
2
2
2
= (x
-1)(x
+2x
+1-x
< br>)
2
4
2
2
= (x
-1)(x
+x
+1)
2
4
2
= (x
-1)[(x
)2+x
-1+
1
]
2
2<
/p>
2
2
=
(x
)
-1
2
3
3
= x
-1
6
解法二：（
x+1
）
(x-1)(x
+x
+1)(x
-x+1)
2
2
= [
(x+1)(x
-x+1)[(x-1)(x
+x+1)]
2
2
=
（
x
+1
）
(x
-1)
3
3
=
(x
)
-1
3
2
2
= x
-1
6
（
2
）
解
法一：（
a+b
）
(a-b)(a
+ab+b
)(a
-ab+b
)
2
2
< br>2
2
= (a
-b
)[(a
+b
)
-(ab)
]
2<
/p>
2
2
2
2
2
= (a
-b
)(a4+2a
b
+b
-a
b
)
< br>2
2
2
2
4
2
2
5