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2021年2月12日发(作者：学生打群架)

18.

乘法公式

知识纵横

乘法公式

(multiplication formula)

是在多项式乘法的基础上

,•

将多项式 乘法的一般法

则应用于一些特殊形式的多项式相乘

,

< p>
得出的既有特殊性、

•

又有实用性的具体结论，在 复杂

的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广 泛的应

用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：

1.

熟悉每个公式的结构特征

,

理解掌握公式

;

2.

根据待求式的特点

,

模仿套用公式

;

3.

对公式中字母的全面理解

,

灵活运用公式

;

4.

既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合

,

综合运用公式

.

例题求解

【

例

1

】

•(•1)•

已知两个连续奇数的平方差为

•2000,•

则这两个连续奇数可以是

______.

(

江苏省竞赛题

)

(2)

已知

(2000-a)

·

(1998-a)=1999,

那么

,(2000-a)

2

+(1998- a)

2

=________.

(2000

年重庆市竞赛题

)

思路点拨

(1)

建立两个连续奇数 的方程组

;(2)

视

(2000-a)

·

(1998-a)

为整体

< p>
,•

由平方

和想到完全平方公式

< br>(formula for the square the sum)

及其变形

.



x

2



y

< br>2





2000

解

:(1)

设两个连续奇数为

x,y,

且

x>y,

则





x

< br>

y



2

得

x+y=1000

或

x+y=-1 000,

解得

(x,y)=(499,501)

或

(-501,-499).

(2)4002

提示

:(2000-a)

< br>2

+(1998-a)

2

=[( 2000-a)-(1998-a)]

2

+2(2000-a)

·

(1998-a)

【

例

2

】若

x

是不为

0

的有理数< /p>

,

已知

M=(x

2

+2x+1)(x

2

-2x+1), N=(x

2

+x+1)(x

2

-x+1),

则

M

- 1 -

与

N

的大小关系是

< p>
( ). (

“祖冲之”杯邀请赛试题

)

A.M>N B.M

无法确定

思路点拨

运用乘法公式

,

在化简

M

、

N

的基础上

,

作差比较它们的大小

.

解

:

选

B

【

例

3

】计算

:

(1)

6(7+1)(7

2

+1)(7

4

+1)(7

8

+1 )+1;

(

天津市竞赛题

)

(2)1.345×0.345×2.69

< p>
-1.345

3

-

1.3 45×0.345

2

. (

江苏省竞赛试题

)

思路点拨

若按部就班计算

,

显然较繁

,

能否用乘 法公式

,

简化计算

,

< br>关键是对待求式恰

当变形

,

使之 符合乘法公式的结构特征

,

对于

(2) ,

由于数字之间有联系

,•

可用字母表 示数

(

称

为换元

),

将数值计算转化为式的计算

,

更 能反映问题的本质特征

.

解

:(1 )

原式

=(7

-1

)(7+1)(7

2

+1)(7

4

+1)(7

8

+1)+1=7

16

(2)

设

1.345=x,

则原式

=x(x-1)

·

2x-x

3

-x(x-1

)

2

=-x=-1.345

【

例

4

】

(1)

已知

x

、

y

满足

x

2

+y

2

+

5

< p>
xy

=2x+y,

求代数式

的值

. (

“希望杯”邀请赛试题

)

4

x



y

(2)

整 数

x,y

满足不等式

x

2

+y

2

+1

≤

2x+2y,

求

x+y

的值

. (

第

14

届“希望杯”邀请赛试题

)

(3)< /p>

同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整

.

甲商场

:•

第一次提价的百分率为

< p>
a,

第二次提价的百分率为

b;

乙商场

:

两次提价的百分率都是

a



b

(a>0,•b>0);

2

丙商场

:

第一次提价的百分率为

b,

第二次提价 的百分率为

a,•

则哪个商场提价最多

?

说明理由

. (2003

年河北省竞赛题

)

思路点拨

对于

(1)

、

(2)

两个未知数一个等 式或不等式

,•

须运用特殊方法与手段方能求

< br>出

x

、

y

的值

,

由平方和想到完全平方公式及其逆用

< br>,

解题的关键是拆项与重组

;

对 于

(3)

把三个

商场经两次提价后的价 格用代数式表示

,

作差比较它们的大小

.

解

:(

< br>1)

提示

:

由已知得

< p>
(x-1)

2

+(y-

1

2

1

1

)

=0,

得

x=1,y=

,

原式

=

3

2

2

- 2 -

(2)

原不等式可化为

(x-1)

2

+(y-1)

2

≤

1,

且

x

、

y

为整数

,

(x-1)

2

≥

0,(y-1)< /p>

2

≥

0,•

所 以可能有的结果是





x



1



0

< br>

x



1





1



x



1



0

或



或



,



y



< p>
1





1



y



1



0



y



1



0

< /p>

x



1



x



2



< p>
x



1



x



1

解得

< br>

或



或



或



,x +y=1

或

2

或

3

y



1

y



1

y

< /p>

2

y



0









< p>
(3)

甲、乙、丙三个商场两次提价后

,

价格分别为

(1+a)(1+b)=1+a+b+ab;

(1+

a



b

a



b

a



< br>b

2

)

·

(1+

)=1+(a+b)+(

)

;

2

2< /p>

2

a



b

2

a



b

< p>
2

)

-ab>0,

所以< /p>

(

)

>ab,

2

2

(1+b)(1+a)=1+a+b+ab;

< p>
因

(

故乙商场两次提价后

,

价格最高

.

【

例

5

】已知

a

、

b

、

< br>c

均为正整数

,

且满足

a

2

+b

2

< p>
=c

2

,

又

a

为质数

.

证明

:

(1)b

与

c

两数必为一奇一偶

; (2)2(a+b+1)

是完全平方数

.

思路点拨

从

a

2

+b

2

=c

2

的变形入手

;a

2

=c

2

-

b

2

,

运用质数、奇偶数性质证明

.

解

:( 1)

因

(c+b)(c-b)=a

2< /p>

,

又

c+b

与< /p>

c-b

同奇同偶

,c+b>c-b, < /p>

故

a•

不可能为偶质数

< br>2,a

应为奇质数

,c+b

与< /p>

c-b

同奇同偶

,b

与

c

必为一奇一偶

.

< p>
(2)c+b=a

2

,c-b=1,

两式相减

,

得

2b=a

2

-1,

于是

2 (a+b+1)=2a+2b+2=2a+a

2

-1+2=(a +1)

2

,

为一完全平方数

< p>
.

- 3 -

学力训练

一、

基础夯实

1.

观察下列各式

:

(x-1)(x+1)=x

2

-1;

(x< /p>

-

1)(x

2

+ x+1)=x

3

-

1;

(x

-

1)(x

3

+x

2

+x+1)=x

4

-

1.

根据前面的规律可得

(x

< p>
-

1)(x

n

+x

n-1

+

„

+x+1 )=_______.(2001

年武汉市中考题

)

2.

已知

a

2

+b

2

+4a

-

2b+5=0,

则

a



b

=_____.

(2001

年杭州市中考题

)

a



b

3.

计算

:(1)

1.2345

2

+0.7655

2

+2.469

×

0.7655=_______;

(2) 1949

2

-

1950

2

+1951

2

-

< p>
1952

2

+

„„

+1997

2

-

19 98

2

+1999

2

< br>=_________;

19991998

2

(3)

=___________.

2

2< /p>

19991997



19991999< /p>



2

4.

如图是 用四张全等的矩形纸片拼成的图形

,•

请利用图中空白部分的面 积的不同表示方法写

出一个关于

a

、< /p>

b

的恒等式

________.

(2003

年太原市中考题

)

a

b

1

a

4



a

2



1

5.

已知

a+

=5,

则

=

< p>
=_____. (2003

年菏泽市中考题

)

2

a

a

6.

已知

a-b=3,b+c=-5,

则代数式< /p>

ac-bc+a

2

-ab

的值为

( ).

A.-15 B.-2 C.-6 D.6 (2003

年扬州市中考题

)

7.< /p>

乘积

(1-

1

1

1

1

)(1-

)

„„

(1-

)(1-

)

等于

( ).

199 9

2

2000

2

2

2

3

2

1 999

2001

1999

2001

A.

B.

C.

D.

2000

2000

4000

4000

< p>

(2002

年重庆市竞赛题

)

8.

若

x

-

y=2,x

2

+y

2< /p>

=4,

则

x

20 02

+y

2002

的值是

(

).

A.4 B.2002 C.2 D.4

- 4 -

9.

若

x

2

-

13x+1=0 ,

则

x

4

+< /p>

1

的个位数字是

(

).

4

x

A.1 B.3 C.5 D.7

10.

如图 ①

,

在边长为

a

的正方形中挖掉一个边长为

b

的小正方形

(a>b),

把余下的部分剪拼成

一个矩形

(

如图②

),

通过计算两个图 形

(

阴影部分

)

的面积

,

验证了一个等式

,

则这个等式是

(

).

a

a

b

图①

b

图②

A.a

2

-

b

2

=(a+b)(a

-

b)

B.(a+b)

< br>2

=a

2

+2ab+b

2

C.(a

-

b)< /p>

2

=a

2

-

2ab+b

D.( a+2b)(a

-

b)=a

2

+ab

-

2b

2

(2002

年陕西省中考题

)

11.(1)

设

x+2z=3y,

< p>
试判断

x

2

-

< p>
9y

2

+4z

2

+4xz

的值是不是定值

?

如果是定值

,

•

求出它的值

;

否则请说

明理由

.

(2)

已知

x

2< /p>

-

2x=2,

将下式先化简

,

再求值

:(x

-1

)

2

+

(x+3)( x-3)+(x-3)(x-1).

(2003

年上海市中考题

)

- 5 -

12.

一个自然数减去< /p>

45

后是一个完全平方数

,

这个自然数加上

44

后仍是一个完全平方数

,

试求

这个自然数

.

13.

观察

:1

·

2

·

3

·

4+1 =5

2

2

·

3

·

4

·

5+1=1 1

2

3

·

4

·

5

·

6+1=1 9

2

„„

(1)

请写了一个具有普遍性的结论

,

并给出证明

;

(2)

根 据

(1),

计算

2000

·

2001

·

2002

·

2003+1

的结果

(

用一个最简式子表示

).

(2001

年黄冈市竞赛题

)

- 6 -

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