二次函数常用公式、结论及训练
-
初中函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练
一、
常用公式或结论
（
1
）横线
段的长
=
x
大
-x
小
=
x
右
-x
左
=
横标之差的绝对值（
用于情况不明
）
。
纵线段的长
=
y
大
-y
小
=
y
上
-y
下
=
纵标之差的绝对值（
用于情况不明
）
。
（
2
）点轴距离：
点
P
（
x
0
，
y
0
）到
X
轴的距离为<
/p>
y
0
，到
Y
轴的距离为
x
o
。
（
3
）
两点间的距离公式：
若
< br>A
（
x
1
,y
1
）
，
B(
x
2
,y
2
),
则
AB=
(
x
1
x
2
)
2
(
y
1
y
2
)
2
< br>（
4
）
点到直线的距离：
点
P
（
x
0
，
y
0
）到直线
Ax+By+C
=0
(
其中常数
A,B,C
最好化为整系数，也方便
计算
)
的距离为：
d
Ax
0
By
0
C
A
B
2
2
（
5
< br>）
中点坐标公式
:
若
A(
x
1
,y
1
)
，
B
（
x
2
,y
2
）
，则线段
AB
的中点坐标为（
x
1
<
/p>
x
2
,
y
1
y
2
）
2
2
（
6
）
直线的斜率公式：
若
A
（
x
1
,y
1
）
，
B
（
x
2
,y
2
< br>）
(x
1≠
x
< br>2
)
，则直线
AB
的斜率为：
k
AB
=
（
7
）
两直线平行的
结论：
已知直线
l
< br>1
:
y=k
1
x+b
1
;
l
2
:
<
/p>
y=k
2
x+b
2
①若
l
1
//l
2
,
则
k
1
=k
2<
/p>
；②若
k
1
=k
2
，且
b
1
≠
b
2
，则<
/p>
l
1
//l<
/p>
2
。
（
8
）
两直线垂直的结论：
已知直线
l
1
:
y=k
1
x+b
1
;
l
2
:
<
/p>
y=k
2
x+b
2
①若
l
1
┴
l
2
，则<
/p>
k
1
•
k
2
=-1
；②若
k
1
•
k
2
=-1
，则
l
1
┴
l
2
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页
y<
/p>
1
y
2
x
1
x
2
,
（
x
1≠
x
2
）
< br>
（
9
）
直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长公式
：
【初高中数学重要衔接内容之一，设而不求的思想】
直线
y=kx+n
与抛物线
y=ax
2
+bx+c
（或双曲线
y=m/x
）截得的弦长公式是：
AB
=
1
k
2<
/p>
x
1
x
2
=
1
k
2
(
x
1
x
2
)
2
4
x
1
x<
/p>
2
证明如下：
设直线
y=kx+n
与抛物线
y=ax
2
+bx+c
（或双曲线
y=m/x
）交于
A
（
x
1
,
y
1
）
,
B
（
x
2
, y
2
）两点，由两点间的距离公式可得：
AB=
(
x
1
x
2
)
2
(
y
1
y
2
)
2
，因为
A
（
x
1
, y
1
）
,B
（
x
2
, y
2
）两点是直线
y=kx+n
与抛
物线抛物线
y=ax
2
+bx+c<
/p>
（或双曲线
y=m/x
）的交点，所以<
/p>
A
（
x
1
, y
1
）
,B
（
x
2
, y
2
）两点也在直线
y=kx+n
上，
∴
y
1
=kx
1
+n,
y
2
=kx
2
+n,
∴
y
1
-y
2
=
（
kx
1
+n
）
—
（
kx
2
+n
）
=kx
1
-kx
2=
k
（
x
1
-x
2
）
，
∴
AB=
(
x
1
x
2
)
2
k
2
(
x
1
x
2<
/p>
)
2
=
(
1
k
2
)(
x
1
x
2
)
2
< br>=
1
k
2
x
1
x
2
=
1
k
2
(
x
1
x
2
)
< br>2
4
x
1
x
2
而
x
1
,
x
2
显然是
直线
y=kx+n
与抛物线
y=ax<
/p>
2
+bx+c
（或双曲线
y=m/x
）组成方
程组后，消去
y
（用代入法）所得到的那个一元二次方程的两根，从而运用韦达
< br>定理
x
1
+x
< br>2
,
< br>x
1
x
2
可轻松求出，进而直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长就
很容易计算或表示出来。
（
10
）由特殊数据得到或联想的结论：
①已知点的坐标或线段的长度中若含有
2
、
3
等敏感数字信息，
那很可能有特殊<
/p>
角出现。
②
在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若
有特殊角出现
，那很多问题就好解决了。
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页
③还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率
K
的值，若
K=
3
，则直线
3
与
X
轴的夹角为
30
0
；若
K=
1
；则
直线与
X
轴的夹角为
45
0
；若
K=
3
，则直线
与
X
轴的夹角为
60
0
教学建议：
在八年级下册讲一次函数与反比例函数时，
就引入上述绝大多数公式，
然后再强化练习，为后续学习打下基础。
二、基本公式或结论训练
--------
破解函数难题的基石
（一）横线段的长度计算：
【特点：两端点的
< br>y
标相等，长度
=
x
大
-
x
小
】
。
（
1
）若
A
（
2,0
）
，
B
（
10,0
）
，则
< br>AB=
————————
。
（
2
）若<
/p>
A
（
-2,0
）
，
B
（
-4,
0
）
，则
AB=
——————————
。
（
3
）若
M
（
-3,0
）
，
N
（
10,0
）
，则
MN=
——————————
。
（
4
）若
O
（
0,0
）
，
A
（
6,0
）
，则
OA=
————————
。
（
5
）若<
/p>
O
（
0,0
）<
/p>
，
A
（
-4,0
）
，则
OA=
——————————
。
（
6
）若
O
（
0,0
）
，
A(t,0),
且
A
在<
/p>
O
的右端，则
OA=
———
。
（
7
）若
O
（
0,0
）
，
A(t,0),
且
A
在
O
的左端，则
OA=
———
。
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页
（
8
）若
A(-2
t,6),B(3t,6),
且
A
在<
/p>
B
的右端，则
AB=
————
。
（
< br>9
）若
A
（
4t,m
）
,B(1-2t,m),
且
B
在
A
的
左端，则
AB=
——————
。
（
10
）若
P
（
2m+3,a
）
,M(1-m,a),
且
P
在
M
的右端，则
PM=
————————
。
< br>
注意：横线段上任意两点的
y
标是相等的，反之
y
标相
等的任意两个点都在横
线段上。
（二）纵线段的长度计算：
【特点：两端点的
x
标相等，长度
=
y
大
-
y
小
】<
/p>
。
（
1
）若
A(0,5)
，
B
（
0,7
）
，则
AB=
——————————
。<
/p>
（
2
）若
A
（
0
，
-4
）
，
B
（
0
，
-8),,
则
AB=
————
——
。
（
3
）若
A
（<
/p>
0,2
）
，
B<
/p>
（
0
，
-6
）
，则
AB=
——
——————
。
< br>（
4
）若
A
（
0,0
）
，
B
（
0
，
-9),
则
AB=
————————<
/p>
。
（
5
）若
A(0,0)
，
B(0,-6)
，则
AB=
————————
。
（
6
）若
O(
0,0)
，
A(0,t),
且
A
在
O
的上端，则
OA=
————————
。
（
7
）若
O
（
0,0
< br>）
，
A
（
0
，
t),
且
A
在
O
的下端，则
< br>OA=
——————————
。
（
8
）若<
/p>
A
（
6
，
-4t),B(6,3t),
且
A
在
B
的上端，则
AB=<
/p>
————————
。
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4
页
（
9
）若
M
（
m,1-2t),N(m,3-4t),
且
M
在
N
的下端
，则
MN=
————————
。
（
10
）若
P
（
t,3n+2),M(t,1-2n),
且
P
在
M
的上端，则
PM=
————————
。
注意：纵线段
上任意两点的
x
标是相等的，反之
x<
/p>
标相等的任意两个点都
在纵线段上。
（三）点轴距离：
一个点
(
x
标
，
y
标
）
到
x
轴的的距离等于该点的
y
标的绝对值（即
的距离等于该点的
x
标的绝对值（即
x
标
y
标
）
，到
y
轴
）
。
（
1
）点（
-4,
-3)
到
x
轴的距离为
————————
，到
y
轴的
距离为
————————
。
（
2
）若点
A
（
1-2t,
t
2
2
t
3
)
在第一
象限，则点
A
到
x
轴的距离为
————
，到
y
轴的距离为
__________
。
（
3
）
若点
M
（
t,
t
2
< br>4
t
3
)
在第二象限，
则点
M
到
x
轴的距离为
<
/p>
到
y
轴的
距离为
———
。
（
4
）若点
A
（
-t,2t-1)
在第三象限，则点
A
到
x
轴的距
离为
—
，到
y
轴的距
离为
。
（
5
）若点
N
（
t
，
-t
+2t-
3)
点在第四象限，则点
N
到
x
轴的距离为
——————
，
到
y
轴的距离为
_________
。
（<
/p>
6
）若点
P
（<
/p>
t ,t
+2t-3)
在
x
轴上方，则点
P
到ｘ轴的距
离为
____________
。
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2
2
（
7
）若点
Q
（ｔ，
t
-2t-6
）在ｘ轴下方，则点
Q
到ｘ轴的距离为
_____________
。
（
8
）若点
D
（ｔ，
t
+4t-5
< br>）在ｙ轴左侧，则点
D
到ｙ轴的距离为
< br>____________
。
（
9
）
若点<
/p>
E
（
ｎ，
２ｎ＋
６）
在ｙ轴的右侧，
则点
E
到ｙ轴的距离为
_______________
。
（
10
）若动点
P
（ｔ，
t
-2t+3
）在ｘ轴上方，且在ｙ轴的左侧，则点
P
到
ｘ轴的距离为
_
________________
，到ｙ轴的距离为
————
——————
。
< br>（
11
）若动点
P
（ｔ，
t
-2t+3
）在ｘ
轴上方，且在ｙ轴的右侧，则点
P
到
ｘ
轴的距离为
———————
，到ｙ轴的距离为
< br>————————————
。
（
12
）若动点
P
（ｔ，
t
-2t+3
）在ｘ轴下方，且在ｙ轴的左侧，则点
P
ｘ轴的距
离为
———————
，到ｙ轴的距离为
——————————
。
（
13
）若动点
P
（ｔ，
t
-2t+3
）在ｘ轴下方，且在ｙ轴的右侧，则点
P
到
< br>ｘ轴的距离为
———————
，到ｙ轴的距离为
——————————
。
注意：在涉及抛物线，直线，双曲线等上的动点问题中，在动
点坐标“一
母示”后，还要高度关注动点运动变化的区域（例如：动点Ｐ在抛物线ｙ
＝
x
-2x+3
上
位于ｘ轴下方，ｙ轴右侧的图象上运动）
，以便准确写出动点
（
或
y
标
）
坐标
中参数字母的取值范围，以及点轴距离是等于相应
x
标
的相反数，
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2
2
2
2
还是其本身。
（四）中点坐标的计算：
若【
A
（
x
1
,y
1
）
，
B(
x
2
,y
2
),
，则线段
AB
的中点坐标为（
x
x
1
2
2
,<
/p>
y
1
y
2
2
）
】
（
1
）若
A
（－
4
，３）
，
B
（
6
，
7
）
，则
< br>AB
中点为
————————————
< br>。
（
2
）若
M
（
0
，
-6
）
，
N
（
6
，
-4
）
，则
MN<
/p>
的中点坐标为
————————————
。
1
（<
/p>
3
）若
P
（
1
，
，
Q
（
1
，
）
，则
PQ
的中点坐标为
——
——————
。
-3
）
2
3
2
（
4
）若
A(1,2),B(-3,4),
且
B
为
AM
的中点，则
M
点的坐标为
——————————
。
< br>
（
5
）若
A(-1,3),B(0,2),
且
A
为
BP
中点，则
P
点坐标为
————————————
。
（
6
）点
P
（－
5,0
）关于直线ｘ＝
2
的对称点
的坐标为
————————————
。
（
7
）点<
/p>
P
（
6,0
）关
于直线ｘ＝
1
的对称点的坐标为
———
—————————
。
（
8
）点
P
（
6,2
）关于直线ｘ＝
3
的对称点的坐标为
___________
。
（
9
）点
Q
（－
4,3
）关于直线ｘ＝－
3
的对称点的
坐标为
——————————
。
（
10
）点
M
（－
4
，－
2
）关于直线ｘ＝
2
< br>的对称点的坐标为
————————————
。
（
11
）点
P
（
4
，－
3
）关于直线ｘ＝－
1
的
对称点的坐标为
————————————
。
< br>
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（
12
）点
M
（－
4,2
）关于直线ｙ＝－
1
的对称点的坐标为
——————————
。
（
13
）点
T
（
4
，－
3
）关于直线ｙ＝<
/p>
1
的对称点的坐标为
—————————
—
。
（<
/p>
14
）点
Q
（<
/p>
0
，－
3
）关于
ｘ轴的对称点的坐标为
————————————
。
(15
）点
N
（
4,0
）关于ｙ轴
的对称点的坐标为
——————
。
（五）由两直线平行或垂直，求直线解析式。
【两直线平行，则两个
k
值相
等；两直线垂直，则两个
k
值之积为
-
1.
】
（
1
）某直线与直线
y=2x+3
平行，且
过点（
1
，
-1
）
，求此直线的解析式。
（
2
）某直
线与直线
y=
1
x+1
平行，且过点（
2
，
3
）
，求此直线的解析式。
< br>
2
（
3
）某直线与直线
y=
2
x
5
平行，且过点（
-3
，
0
）
，求此直线的解析式。
3
（
4
）某直线与
y
轴交于点
P
（
0,3
）
，且与直线
y=
1<
/p>
x
1
平行
,
求此直线的解
2
析式。
（
5
）某直线与
x
轴交于点
P
（
-2,0
）
，且与直线<
/p>
y=
1
x
4
平行，求此直线的
2
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