初中数学面积法
-
初中数学面积法
面积法
1
、常见规则图形的面积公式；
2
、等积定理；
3
、面积比定理。
A
卷
1
、
如图
1
，
凸四边形
ABCD
的四边
AB
、
BC
、
CD
、
DA
的长分别是
3
、
4
、
12
、
13
，
ABC
90
，
则四边形
ABCD
的面积为
.
答案：
36
考点：
勾股定理；勾股定理的逆定理。
分析：
连接
AC
，在
Rt
ABC
< br>中，已知
AB
、
BC
根据勾股定理可以求得
AC
5
，在
ACD
< br>中，
AC
2
< br>CD
2
AD
< br>2
，根据勾股定理的逆定理确定
ACD
为直角三角形，四边形
ABCD
的面积为
ACD
和
Rt
ABC
面积之和。
解答：
连接
AC
，在
Rt
A
BC
中，
AB
3
，
BC
4
，则
AC
AB
2
B
C
2
5
B
C
又∵
AC
2
CD
2
AD
2
∴
ACD
为
直角三角形
A
图
1
D
1
1
∴
Rt<
/p>
ABC
的面积为
3
4
6
，
Rt
<
/p>
ACD
的面积为
5
12
30
2
2
∴
四边形
ABCD
的面积为
ACD
和
Rt
ABC
面积之和，
S
30
6
<
/p>
36
故答案为
36
．
点评
：
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中<
/p>
判定
ACD
为
直角三角形是解题的关键。
2
、
如图
2
，
已知
ABC
中，
D<
/p>
、
E
、
F
、
G
均为
BC
边上的点，
且
BD
CG
，
DE
GF
1
<
/p>
BD
，
2
EF<
/p>
3
DE
，若<
/p>
S
ABC
<
/p>
1
，则图中所有三角形的面积之和为
.
答案：
7
考点：
三角形面积与底的正比关系。
分析：
如图所示的所有三角形都具有相等的高，于是可将计算所
有三角形面积之和的问题转
化为计算
BC
上所有线段长度之和的问题。
解答：
因为所有线段长之和是
BC
的
n
倍
∴图中所有三角形面积之和就是
S
ABC
的
n
倍
设
DE
GF
1
，则
BD
CG
2
，
EF
3
，
BC
9
< br>∴图中共有
1
2
3
4
< br>
5
15
个三角形
则它们在线段
BC
上的底边之和为：
B
D
E
F
G
图
2
C
A
1
/
9
初中数学面积法
< br>BC
BD
< br>
DC
BE
EC
BF
FC
BG
GC
DG
DE
<
/p>
EG
DF
FG
EF
9
5
5
3
3
63
由此可知
BC
上所有线
段之和
63
是
BC
=9
的
7
倍
∴图中所有三角形面积之和等于
S
ABC
的
7
倍．
已知
S
ABC
1
，故图中所有三角形的面积之和为
7
．
故答案为：
7
点评：
此题主要考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是图中所有三角形都
具有相等的高，通过转化的思想，找出解决问题的捷径。
3
、
如图
3
，
□
ABCD
的面积是
< br>m
，点
E
、
F
分别平分
AB
、
BC
，则
S
DEF
_______
.
B
F
图
3
C
B
F
C
E
A
D
A
E
D
3
答案：
m
8
解答：
不妨设
□
ABCD
为长方形，如图，则有
A
D
BC
m
，
AB
CD
1
m
m
m
3
m
4
8
4
8
< br>4
、
如图
4
，
已知边长为
a
的正方形
ABCD
，
E
为
AD
的中点，
P
为<
/p>
CE
的中点，
那么
BPD
的
面积的值是
.
∴
S
DEF
S
四边形
ABCD
S
ADE
S
BEF
S
DCF
m
1
答案：
a
2
8
考点：
正方形的性质；三角形的面积；勾股定理。
分析：
观察图形可以发现
S
BPD
S
BCD
S
CDP
S
BCP
，所以要求
BPD
的面积分别计算
S
BPD
、
S
BCD
、
S
CDP
、
S
BCP
即可。
解答：<
/p>
过
P
作
PF
CD
，
PG
BC
，则
PF<
/p>
//
AD
，
PF
CG
，
PG
CF
观察
图形可以发现
S
BPD
S
BCD
S
CDP
S
BCP
∴
S
< br>BCD
1
1
< br>BC
CD
< br>a
2
2
2
1
1
CD
PF
a
2
2
8
A
E
D
S
CDP
S
BCP
P
B
F
1
1
BC
PG
a
2
2
4
1
1
1
1
∴
S
BPD
< br>a
2
a
2
8
2
8
4
G
C
图
4
点评：
本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，考
查了三角形面积的计算，本
题中正确计算
S
BPD
、
S
BCD
、
S
CDP
、
S
BCP
是解题的关键。
2
/
9
初中数学面积法
5
< br>、
如图
5
，
四边形
ABCD
的对角线
AC
和
BD
相交于
O<
/p>
点，
如果
S
<
/p>
ABD
5
，<
/p>
S
ABC
<
/p>
6
，
S
BCD
10
，
那么
S
OBC<
/p>
_________
.
答案：
4
考点：
三角形的面积。
分析：
先设出一个三角形的面积：
AOB
的面积是
s
1
x
，再用代数式表示出图中其它三角
形的面积，利用中间桥
OA
得出方程，进一步求
出结果。
OC
解答：
设
AOB
的面积是
s
1
x
，则
ADO
的面积是
s
2
5
x
，
BOC
的面积是
s
3
6
x
，
DOC
的面积是
s
4
10
6
x
4
x
∵
ABO
的边
OA
上和
BOC
的边上的高相等
s
s
OA<
/p>
OA
∴
1
，同理
2
s
3
OC
s
4
OC
A
O
B
C
图
5
D
∴
s
1
s
2
s
3
s
4
x
5
x
即
，解得：
x
2
6
x
4
x
∴
S
OBC
6
2
4
<
/p>
点评：
解此题的关键是灵活运用三角形的面积公式，等高时面积比
等于边之比，从而转化成
解方程，求出未知数的值。
6
、
（第
5
届“希望杯”邀请赛题）在
ABC
的三边
AB
、
BC
、
CA
上，分别取
AD
、
BE
、
CF
，
使
AD
<
/p>
A
、
1
1
1
AB
，
BE
BC
，
CF
AC
，则
DEF
的面积是
A
BC
的面积的（
）
4
4
4
1
3
5
7
B
、
C
、
D
、
4
8
8
16
答案：<
/p>
A
考点：
三角形的面积。
分析：
连接
AE
．根据三角
形的面积公式求得
BDE
和
ABE
的面积比，
ABE
和
A
BC
的面
积比，进而求得
BDE
和
ABC
的面积比，同理求得
ECF
、
ADF
和
ABC
的面积比，最后求
解
。
解答：
如图，连接
AE
∵
AD
1
1
AB
< br>，
BE
BC
< br>
4
4
3
1
S
ABE
，
S
ABE
S
ABC
4
4
3
S
ABC
1
6
3
3
S
<
/p>
ABC
，
S
<
/p>
ADF
S
<
/p>
ABC
16
16
B
E
D
A
∴
S
BDE
∴
S
BD
E
F
C
同理可得：
S
CEF
所以
S
< br>DEF
7
S
< br>
ABC
16
3
/
9
初中数学面积法
点评：
此题考查了根据三角形的面积公式求三角形的面积比的方法。
7
、
（
2004
年第
15
届“希望杯
”初二年级竞赛题）如图
6
，在直角扇形
ABC
内，分别以
AB
和
AC
为直径作半圆，两条半圆弧相交于点
D
，整个图形被分成
S
1
，
S
2
，
S
3
，
S
4
四部分，则
S
2
和
S
4
的大小关系是（
< br>
）
A
、
S
2
S
4
B
、
S
2
< br>
S
4
C
、
S
2
S
4
D
、无法确定
答案：
B
考点：
扇形面积的计算。
分析：
设
AB
AC
2
a
，由
S
2
S
扇形
ACB
S
半圆
AB
S
半圆
AC
S
4
S2=S
，根据扇形
和圆的面积公
式分别计算出它们的面积就可得到
S
2
和
S
4
< br>的大小关系。
解答：
设
AB
AC
2
a
，根据题意得：
S
2
S
扇形
ACB
S<
/p>
半圆
AB
S<
/p>
半圆
AC
S<
/p>
4
S
2
S
1
C
图
6
S
3
S
4
A
B
90
2
a
1
2
a
2
S
< br>4
S
4
360
2
2
故
S
2
S
4
故选
B
．
<
/p>
n
R
2
点评：
本题考查了扇形的面积公式：
S
，其中
n
为扇形的
圆心角的度数，
R
为圆的半
360
1
径）
，或
S
R
，
为扇形的弧长，
R
为
半径。
2
8
、
在矩形
ABCD
中，
AB
2
，
< br>BC
1
，则矩形的内接三角形
的面积总比数（
）小或相
等。
A
、
4
2
1
B
、
1
C
、
D
、
7
8
8
答案：
B
解答：
需分类讨论，
如图，
显然图
（甲）
及图
（乙）
中内接三角形面积为
1
< br>，
如图
（丙）
、
（丁）
、
（戊）中
EFG
的面积显然小于
1
，综上所述，故选
B
.
D
C
E
B
甲
C
A
D
E
F
B
丙
A
丁
F
B
A
F
戊
G
B
G
C
乙
D
E
B
C
D
E
C
A
D
G
E
A
4
/
9