(完整word版)平方差公式与完全平方公式知识点总结
-
乘法公式的复习
一、平方差公式
(a+b)(a-b
)=a
2
-b
2
归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：
①
位置变化，
x
y
y
x
x
2
y<
/p>
2
②
符号变化，
x
y
x
y
x
2
y
2<
/p>
x
2
y
2
③
指数变化，
x
2
y
2
x
2<
/p>
y
2
x
4
y
4
④
系数变化，
2
a
b
2
a
b
4
a
2
< br>b
2
⑤
换式变化，
xy
z
m
xy
z
m
xy
2
z
m
2
x
2
y
2
z
m
z
m
x
2
y
2
< br>
z
2
zm
zm
m
2
x
2
y
2<
/p>
z
2
2
zm
m
2
⑥
增项变化，
x
y
z
x
y
z
< br>x
y
2
z
2
x
y<
/p>
x
y
z
2
x
2
xy
xy
y
2
z
2
x
2
2
xy
y
2
z
2
⑦
连用公式变化，
x
y
x
y
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
< br>x
4
y
4
⑧
逆
用公式变化，
x
< br>y
z
2
x
y
z
2<
/p>
x
y
z
x
y
z
< br>
x
y
z
x
y
z
<
/p>
2
x
2
y
2
z
4
xy
4
xz
完全平方公式
活用
:
把公式本身适当变形后再用
于解题。这里以完全平方公
式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生
公式：
1
.
a
b
<
/p>
2
ab
a
2
b
2
2
.
a
b
< br>
2
ab
a
2
b
2
3
.
a<
/p>
b
a
b
2
a
b
2
2
2
2
2
2
4
.<
/p>
a
b
a
b
4
ab
2
2
< br>灵活运用这些公式，
往往可以处理一些特殊的计算问题，
培养
综合运用知识的能力。
例
1
．已知
a
b
2
，
ab
1
，求
a
2
b
2
的值。
例
2
．已知
a
b
8
，
ab
2
，求
(
a
b
)
2
的值。
解：∵
(
a
b
)
2
a
2
2
ab
b
2
(
a
b
)
2
a
2
2
< br>ab
b
2
∴
(
a
b
)
2
<
/p>
(
a
b
)
2
4
ab
∴
(
a
b
)
2
4
ab
=
(
a
< br>b
)
2
∵
a
b
8
，
ab
2
∴
(
a
b
)
2
8
2
4
2
56
例
3
已知
a
b
4
，
ab
5
，求
a
2
b
2
的值。
解：
a
2
b
2
a
b
2
2
ab
4
2
2
5
26<
/p>
三、学习乘法公式应注意的问题
（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．
例
1 <
/p>
计算
(-2
x
2
-5)(2
x
2
-5)
分析：
本题两个因式中
“
-5
”
相同，
“
2
x
2
”
符号相反，
因
而
“
-5
”
是
公式
(
a
+
b
)(
a
-
b<
/p>
)=
a
2
-
b
2
中的
a
，而“
2
x
2
”则是公式中的
b
．
例
2
计算
(-
a
2
+4
b
)
2
分析：运用公式
< br>(
a
+
b
)
2
=
a
2
+2
ab
+
b
2
时，“
-
a
2
”就是公式中的
a
< br>，
“
4
b
”就是公式中的
b
；若将题目变形为
(4
b
-
a
2
)
2
时，则“
4
b
”是公
式中的
a
，而“
a
2
”就是公式中的
b
．（解略）
（二）、注意为使用公式创造条件
例
3
计算
(2
x
+
y<
/p>
-
z
+5)(2
x
-
y
+
z<
/p>
+5)
．
分析：
粗看不能运用公式计算，
但注意观察，
两个因式中的
“
2
x
”
、
< br>“
5
”两项同号，“
y
”、“
z
”两项异号，因而，可运用添括号的技
巧使原式变形为符合平方差公式的形式．
例
5
计算
(
2+1)(2
2
+1)(2
4
+1)(2
8
+1)
．
分析：
此题乍看无公式可用，
“硬乘”
太繁，
但若添上一项
（
2-1
）
，
则可运用公式，使问题化繁为简．
（三）、注意公式的推广
计算多项式
的平方，由
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+2
ab
+
b
2
，可推广得到：
(
a
+
b
+
c
)
2
=
a
2
+
b<
/p>
2
+
c
2
+2
ab
+2
ac<
/p>
+2
bc
．
可叙述为：
多项式的平方，
等于各项的平方和，
加上每两项乘积
的
2
倍．
例
6 <
/p>
计算
(2
x
+<
/p>
y
-3)
2
解：原式
=(2
x
)
2
+
y
2
+(-3)
2
+2
·
2
x
·
y
+2
·
2
x
(-3)+2
< br>·
y
(-3)
=4
x
2<
/p>
+
y
2
+9+4
xy
-12
x
-6
y
．
（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式
例
7
已知：
x
+2
y
=7
，
xy
=6
，求
(
x
-2
y
)
2
的
值．
例
10
计
算
(2
a
+3
b
)
2
-2(2
a
+3
b
)(5
b
-4
a
)+(4
a
-5
b
)
< br>2
分析：
此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，
但
逆
用完全平方公式，则运算更为简便．
四、怎样熟练运用公式：
熟悉常见的几种变化
有些题目往往与
公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计
算，此时要根据公式特征，合理调整变化，
使其满足公式特点．
常见的几种变化是：
1
、位置变化
如（
3
x
+5
y
）
（
5
y
－
3
x
）交
换
3
x
和
5<
/p>
y
的位置后即
可用平方差公式计算了．<
/p>
2
、符号变化
如（－
2
m
－
7
n
）
（
2
m
－
7
n
）变为－（
2
m
+7
n
）
（
2
m
－
7
n
）
后就可用平方差公式求解了
< br>（思考：
不变或不这样变，
可以吗？）
< br>
3
、
数字变化
如
98×102，
99
2
，
91
2
< br>等分别变为
（
100
－
2
）
（
100+2
）
，
（
100
－
1
）
2
，
（
90+1
）
2
后就能够用乘法公式加以解答了．
n
n
n
4
、系数变化
如（
4<
/p>
m
+
n
）
（
2
m
－
）变为
2
（
2
m
+
）
（
2
m
－
）
2
4
4
4
后即可用平方差公式进行计算了．
（四）
、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解，
此时要选择最恰当的公式以
使计算更简便．如计算（
a
2
+1
）
2
·（
a
2
－
1
）
2
，若分别展开后再相乘，
则比
较繁琐，
若逆用积的乘方法则后再进一步计算，
则非常简便．<
/p>
即
原式
=[
（<
/p>
a
2
+1
）
（
a
2
－
1
）
]
2
=
（
a
4
< br>－
1
）
2
=
a
8
－
2
a
4
+1
．<
/p>
对数学公式只会顺向
（从左到右）
运用是远远不够的，
还要注意
逆向（从右到
左）运用．如计算（
1
－
2
1
）
（
1
－
3
1
）
（
1
－
4
1
）…（
1
2
2
2
1
－
9<
/p>
1
）
（
1
－
10
）
，
若分别算出各因式的值后再行相乘，
不仅计算繁难，
2
2
而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆
用平方差公
式，则可巧解本题．
1<
/p>
1
1
1
1
即原式
=
（
1
－
1
）
（
1+
）
（
1
－
）
（
1+
）×…×（
1
－
）
（
1+
）
10
2
2
3
3
10
3
2
4
< br>9
11
1
11
< br>11
=
1
×
×
×
×…×
×
=
×
=
．
<
/p>
2
2
3
3
10
10
2
10
20
有时有些问题不能直接用乘法公式解决，
而要用到乘法公式的变
2
2
式，
乘法公式的变式主要有：
a
2
+
b
2
=
< br>（
a
+
b
）
－
2
ab
，
a
2
+
b<
/p>
2
=
（
a
－
b
）
+2
ab
等．