2018年人教版八年级数学整式的乘法与因式分解讲义
-
2018-2019
学年八年级（上）数学<
/p>
-
专属教案
整式的乘法与因式分解
知识点
平方差公式
< br>:
(
a
＋
b
)(
a
－
b
)
＝
a
－<
/p>
b
2
2
【类型一】
判断能否应用平方差公式进行计算
下列运算中，可用平方差公式计算的是
(
)
A
．<
/p>
(
x
＋
y
)(
x
＋
y
)
B
．
(
－
x
＋
y
)(
x
－
y
< br>)
C
．
(
－
x
－
y
)(
y
－
x
)
D
．
(
x
＋
y
)(
－
x
－
y
)
解析：
A
中含
x
、
y
的项符号相同，不能用平方差公式计算，
错误；
B
中
(
－
x
＋
y
)(
x
－
y
)
＝－
(
x
－
y
)(
x
－
y
)
，含
x
、
y
的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误
；
C
中
(
－<
/p>
x
－
y
)(
y
－
x
)
＝
(
x
＋
y
)(
x
－
y
)
，含
x
< br>的项符号相同，含
y
的项符号相反，能用平方差公式计算
，正确；
D
中
(
x
＋
y
)(
－
x
－
y
)<
/p>
＝－
(
x
＋
y
)(
x
＋
y
)
，含
x
、
y
的项符号相同，不能用平方差公式计算，错
误；故选
C.
方法总结：
对于平方差公式，注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同，另一项
互为相反数．
【类型二】
直接应用平方差公式进行计算
利用平方差公式计算：
(1)(3<
/p>
x
－
5)(3
x
＋
5)
；
<
/p>
(2)(
－
2
a
－
b
)(
b<
/p>
－
2
a
)
；
(3)(
－
7
m
＋
8
n
)(
－
8
n
－
7
m
)
；
2
(4)(
x
－
2)(
x
＋
2)(
x
＋
4)
．
解析：
直接利用平方差公式进行计算即可．
2
2
2
解：
(1)(3
x
－
5)(3
x
＋
5)
＝<
/p>
(3
x
)
－
5
＝
9
x
－
25
；
2
2
2
2
(2)(
－
2
a
－
b
)(
b
－
2
a
)
＝
(
－
2
a
)
－
b
＝<
/p>
4
a
－
b
；
2
2
2
2
(3)(
－
7
m
＋
8
n
)(
－
8
n
－
7
m
)
＝
(
－
7
m
)
－
(8
n
)
＝
49<
/p>
m
－
64
n
；
2
2
2
4
(4)(
x
－
2)(
x
＋
2)(
x
＋
4)
＝
(
x
－
4)(
x
＋
4)
＝
x
－
16.
方法总结：
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1)
左边是两个二项式相乘，并且这两个
二项
式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2)
右边是相同项
的平方减去相反项的平方；
(3)
公式中
的
a
和
b
可
以是具体数，也可以是单项式或多项式．
【类型三】
平方差公式的连续使用
2
4
8
求
2(3
＋
1)(
3
＋
1)(3
＋
1)(3
＋
1)
的值．
解析：
根据平方差公式，可把
2
看成是
(3
－
< br>1)
，再根据平方差公式即可算出结果．
2
4
8
2
< br>4
8
2
2
4
解：
2(3
＋
1)(3
＋
1)(3
＋
1)(3
＋
1)
＝
(3
－
1)(3
＋<
/p>
1)(3
＋
1)(3
＋
1)(3
＋
1)
＝
(3
－
1)(3
＋
1)(3
＋
8
4
4
8
8
8
16
1)(3
＋
1)
＝
(3
－
1)(3
＋
1)(3
＋
1)
＝
(3
－
1)(3
＋
1)
＝
3
－
1.
方法总结：
连续使用平方差公式，直到不能使用为止．
【类型四】
应用平方差公式进行简便运算
利用平方差公式简算：
1
2
(1)20
×
19
；(2)13.2×12.8.
3
3
1
2
1
1
解析：
(1)
把
20
×
19
写成
(20
＋
)
×
(20
－
)
，然后
利用平方差公式进行计算；
(2)
把
1
3.2
×
12.8
写
< br>3
3
3
3
成
(13
＋
0.2)
×
(13
－
0.2)
，然后利用平方差公式进行计算．
1
2
1
1
1
8
解：
(1)20
×
19
＝
(20
＋
)×(20－
)
＝
400
－
＝
399
；
3
3
3
3
9
9
(2)13.2×12.8＝
(13
＋0.2)×(13－
0.2)
＝
169
－
0.04
＝
168.96.
方法总结：
熟记平
方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键．
1
【类型五】
化简求值
先化简，再求值：
(2
x
－
y
)(
y
＋
2
x
)
－
< br>(2
y
＋
x
)(2
y
－
x
)
，其中
x
＝
1
，
y
＝
2.
解析：
利用平方差公式展开并合并同类项，然后把
x
、
y
的值代入进行
计算即可得解．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
解：
(2
x
－
y
)(
y
＋
2
x
)
－
(2<
/p>
y
＋
x
)(2<
/p>
y
－
x
)
＝
4
x
－
y
－
(4
y
－
x
)
＝
< br>4
x
－
y
－
4
y
＋
x
＝
5
x
－
5
y
.
当
x
＝
1
，
y
2
2
＝
< br>2
时，原式＝5×1
－5×2
＝
－
15.
方法总结：
利用平方差公式
先化简再求值，切忌代入数值直接计算．
【类型六】
利用平方差公式探究整式的整除性问题
对于任意的正整数
n
，整式
(3
n
＋
1)(3
n
－
1)
－
(3
－
n
)(3
＋
n
)
的值一定是
10
的倍数吗？
解析：
利用平方差公式对代数式化简，再判断是否是
10
的倍数．
2<
/p>
2
2
解：
原式＝
9
n
－
1
－
(9
－
n
)
＝
10
n
－
10
＝
10(
n
＋
1)(
n
－
1)
，∵
n
为正整数，∴
(
n
－
1)(
n
＋
1
)
为整数，
即
(3
n
＋
1)(3
n
< br>－
1)
－
(3
< br>－
n
)(3
＋
< br>n
)
的值是
10
的倍数．
方法总结：
对于平
方差中的
a
和
b
可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍
数问题时，要注意这方
面的问题．
【类型七】
平方差公式的实际应用
王大伯家把一块边长为
a
米的正方形土地租给了邻
居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把
这块地一边减少
4<
/p>
米，另外一边增加
4
米，继续租给你，你
看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为
李大妈吃亏了吗？为什么？
< br>
解析：
根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边
长后的面积，然后比较二者的大小即可．
2
< br>2
2
解：
李大妈吃亏了．理由：
原正方形的面积为
a
，改变边长后面积为
(
a
＋
4)(
a
－
4)
＝
a
－
16
，∵
a
＞
a
2
－<
/p>
16
，∴李大妈吃亏了．
方法总结：
解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决
问题．
完全平方公式
:
(
a
±
< br>b
)
＝
a
±
2
ab
＋
b
；
2
2<
/p>
2
【类型一】
直接运用完全平方公式进行计算
利用完全平方公式计算：
2
(1)(5
－
a
)
；
2
(2)(<
/p>
－
3
m
－
4
n
)
；
2
(3)(
－
3
a
＋
b
)
.
解析：
直接运用完全
平方公式进行计算即可．
2
2
解：
(1)(5
－
a
)
＝
25
－<
/p>
10
a
＋
a
；
2
2
2
(2)(
－
3
m
－
4
n
)
＝
9
m
＋
24
mn
＋
16
n
；
< br>2
2
2
(3)(
－
3
a
＋
b
)
＝
9
a
－
6
ab
＋
b
.
2
2<
/p>
2
方法总结：
完全平方公式：
(
a
±
b
)
＝
a
±
2
ab
＋
b
.
可巧记为
“
首平方，末平方，首末
两倍中间放
”．
【类型二】
构造完全平方式
2
2
如果<
/p>
36
x
＋
(
m
＋
1)
xy
＋
25
y
是一个完
全平方式，求
m
的值．
解析：
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定
m
的值．
2
2
2
2
解：
∵36
x
＋
(
m
＋
1)
xy
＋
25
y
＝
(6
x
)
＋
< br>(
m
＋
1)
xy
＋
(5
y
)
，∴
(
m
＋
1)
xy
＝±2·6
x
·5
y
，∴
m
＋
1
＝
< br>±60，∴
m
＝
59
或－
61.
方法总结：
两数的平方和加上或减去它们积的
2
倍，就构成了一个完全平方
式．注意积的
2
倍的符
号，避免漏解．
【类型三】
运用完全平方公式进行简便运算
利用乘法公式计算：
2
(1)98
－101×99；
2
2
(2)2016
－2016×
4030＋
2015
.
解析：
原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果．
<
/p>
2
2
2
解：
(1)
原式＝
(100
－
2)
－
(100
＋
1)(100
－
1)
＝
100
－
400<
/p>
＋
4
－
100<
/p>
＋
1
＝－
395
；
2
2
2
(2)
原式＝
2
016
－2×2016×2015＋
2015
< br>＝
(2016
－
2015)
＝
1.
方法总结：
运用完全平方公式进行简便运算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完
全平方公式的形式．
【类型四】
灵活运用完全平方公式求代数式的值
已知
x
－
y<
/p>
＝
6
，
xy
＝－
8.
2
2<
/p>
(1)
求
x
＋<
/p>
y
的值；
2
1
1<
/p>
2
(2)
求代数式
(
x
＋
y
＋
z
)
＋
(
x
－
y
－
z
)(
x
－
y
＋
z
)
－
z
(
x
＋
y
)
的值．
2
2
2
2
2
2
2
2<
/p>
解析：
(1)
由
(
x
－
y
)<
/p>
＝
x
＋
y
－
2
xy
，可得
x
＋
y
＝
(
x
－
y
)
＋
2
xy
，将
x
－
y
< br>＝
6
，
xy
＝－
8
代入即可求得
1
1
x
2
＋
y
2
的值；
(2)
首先化简
(
x
＋
y
＋
z
)
2
＋
(
x
< br>－
y
－
z
)(
x
－
y
＋
z
)
－
z<
/p>
(
x
＋
y
)
＝
x
2
＋
y
2
，由
(1)
即可求得答案．
2
2
2
2
2
2
2
2
解：
(1)∵
x
－
y
＝
6
，
xy
＝－
8
，∴
(
x
－
y
)
＝
x
＋
y
－
2
xy
，∴
x
＋
y
＝
(
x
－
y
)
＋
2
xy
＝
36
－
16
＝
20
；
1<
/p>
1
1
2
1
2
2
2
2
(2)∵
(
x
＋
y
＋
z
)
＋
(
x
－
< br>y
－
z
)(
x
－
y
＋
z
)
－
z
(<
/p>
x
＋
y
)
＝
(
x
＋
y
＋
z
＋
2
xy
＋
2
< br>xz
＋
2
yz
< br>)
＋
[(
x
－
y
)
－
2
2
2
2
1<
/p>
1
1
1
1
1
z
2
]
－
xz
－
yz
＝
x
2
＋
y
2
＋
z
2
＋
xy
＋
xz
＋
yz
＋
x
2
＋
y
2
－
xy
－
z<
/p>
2
－
xz
－
yz
＝
x
2
＋
y
2
，又∵
x
2
＋
y
2
＝
20
，∴原式
2
2
2
2
2
2
＝
20.
2
2
2
2
2
2
方法总结：
通过本题要
熟练掌握完全平方公式的变式：
(
x
－
y
)
＝
x
＋
y
－
2
xy
，
x
＋
y
＝
(
x
－
y
)
＋
2
xy
.
【类型五】
完全平方公式的几何背景
我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等
2
2
式．例如图甲可以用来解释
(
a
＋
b
)
－
(
a
－
b
)
＝
4
ab
.
那么通过图乙面积的计算，验
证了一个恒等式，此等
式是
(
)
A
．
a<
/p>
－
b
＝
(
a
＋
b
)(
a
－
b
)
2
2
B
．
(
a
－
b
)(
a
＋
2
b
)
＝
a
＋
ab
－
2
b<
/p>
2
2
2
C
．
(
a
－
b
)
＝
a
－
2
ab
< br>＋
b
2
2
2
D
．
(
a
＋
b
)
＝
a
＋
2
ab
＋
b
2
2
2
2
2
2
解析：
空白部分的面积为
(
a
－
b
)
，还可以表示为
a
－
2
ab
＋
b
，所以，此等式是
(
a
－
b
)
＝
< br>a
－
2
ab
＋
b
.
故选
C.
方法总结：
通过几何图形之间
的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
探究点二：添括号后运用完全平方公式
2
计算：
(
1)(
a
－
b
＋
c
)
；
<
/p>
(2)(1
－
2
x
＋
y
)(1
＋
2
x
－
y<
/p>
)
．
解析：<
/p>
利用整体思想将三项式转化为二项式，再利用完全平方公式或平方差公式求解，并注意添括
号的符号法则．
2
< br>2
2
2
2
2
2
2
2
解
：
(1)
原式＝
[(
< br>a
－
b
)
＋
c
]
＝
(
a
－
b
)
＋
c
＋
2(
a
－
b
)
c
＝
a
－
2
ab
＋
b
< br>＋
c
＋
2
ac
－
2
bc
＝
a
＋
b
＋
c
－
2
ab<
/p>
＋
2
ac
－
2
bc
；
2
2
2
2
(2)
原式＝
[1
＋
(
－
2
x
＋
y
)][1
－
(
－
2
x
＋
y
)]
＝
1
－
(
－
< br>2
x
＋
y
)
＝
1
－
4
x
＋
4
xy<
/p>
－
y
.
2
方法总结：
利用完全平方公式进行计算时，应先将式子变成
(
a
±
b
)
的形式．注意
a
，
b
可以是多项
式，但应保持前后使用公式的一
致性．
2
2
因式分解
提公因式法
(1)
< br>ma
＋
mb
＋
< br>mc
＝
m
(
a
＋
b
＋
c
)
；
2<
/p>
2
(2)
a
－<
/p>
b
＝
(
a
＋
b
)(
a
－
b
)
；
2
2
2
< br>(3)
a
＋
2
< br>ab
＋
b
＝
(
a
＋
b
)
.
探究点一：因式分解的概念
下列从左到右的变形中是因式分解的有
(
)
2
2<
/p>
3
2
2
2
2
2
2
①
x
－
y
－
1
＝
(
x
＋
y
)(
x
－
y
)
－
1
；②
x
＋
x<
/p>
＝
x
(
x
＋
1)
；③(
x
－
y
)
＝
x
－
2
xy
＋
y
；④
x
－
9
y
＝
< br>(
x
＋
3
y
)(
x
－
3
y
)
．
<
/p>
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
<
/p>
解析：
①
没把一个多项式转化成几个整式
积的形式，故
①
不是因式分解；②把一个多项式转化成几
3
个整式积的
形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个
整式积的形式，故④是因式分解；故选
B.
方法总结：
因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式
子的不同表现形
式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现
形式．
探究点二：提公因式法分解因式
【类型一】
确定公因式
2
2
2
2
多
项式
6
ab
c
－
3
a
bc
＋
12
a
b
中各
项的公因式是
(
)
2
2
2
2
< br>A
．
abc
B
．
3
a
b
< br> C
．
3
a
< br>b
c
D
．
3
ab
解析：
系数的最大公约数是
3
，相同字母的最低指数次幂是
ab
，∴公因式为
3
ab
.
故选
D.
方法总结：
确定多项式中各项的公因式，可概括为三
“
定
”
：
(1)
定系数，即确定
各项系数的最大公
约数；
(2)
定字母
，即确定各项的相同字母因式
(
或相同多项式因式
)
；
(
3)
定指数，即各项相同字母因式
(
或相同多项式因式
)
的指数的最低次幂．
【类型二】
用提公因式法因式分解
因式分解：
3
2
3
(1)8
a
b
＋
12
ab
c
；
(2)2
< br>a
(
b
＋
c
)
－
3(
b
＋
c
)
；<
/p>
(3)(
a
＋
b
)(
a
－<
/p>
b
)
－
a
－
b
.
解析：
将原式各项提取公因式即可得到结果．
2
2
解：
(1)
原式＝
4
ab
(2
a
＋
3
bc
)
；
(2)
原式＝
(2
a
－
3)(
b
＋
c
)
；
(3)
原式＝
(
a
＋
b
)(
a
－
b
－
1)
．
方法总结：
提公因式法的基本步骤：
(
1)
找出公因式；
(2)
提公因式并确
定另一个因式．
【类型三】
利用因式分解简化运算
计算：
(1)39×37－13×91；
(
2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.
解析：
(1)
首先提取公因式
13
，进而求出即可；
(2)
< br>首先提取公因式
20.16
，进而求出即可．
解：
(1)39×37－13×91＝3×13
×37－13×91＝13×(3×37－
91)
＝13×20
＝
260
；
(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14＝20.16×(29＋<
/p>
72
＋
13
－<
/p>
14)
＝
2016.
< br>方法总结：
在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运
算简便．
【类型四】
利用因式分解整体代换求值
2
2
已知<
/p>
a
＋
b
＝
7
，
ab
＝
4
，求
a
b
＋
ab
的值．
解析：
原式提取公因式变形后，将
a
＋
b
与
ab
的值代入计算即可求出值．
解：
< br>∵
a
＋
b
＝
7
，
ab
＝
4
，∴原式＝
ab
< br>(
a
＋
b
)
＝4×7＝
28.
方法总结：<
/p>
求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．
公式法
:
平方差公式：
a
2
－
b
2
＝
(
a
＋<
/p>
b
)(
a
－
b
)
【类型一】
判定能否利用平方差公式分解因式
下列多项式中能用平方差公式分解因式的是
(
)
2
2<
/p>
2
A
．
a
＋
(
－
b
)
B
．
5
m
－
20
mn
2
2
2
C
．－
x
－
< br>y
D
．－
x
＋
9
2
2
2
解析：
A
中
a
＋
(
－
b
)
符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；
B
中
5
m
－
2
0
mn
两项都不是平
2
2
方项，不能用平方差公式分解因式，错误；
C
中－
x
－
y
符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；
2
2
2
D
中－
x
＋
9
＝－
x
＋
3
，两项符号相反，能用平方差公式
分解因式，正确．故选
D.
方法总结
：
能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符
号相反．
【类型二】
利用平方差公式分解因式
分解因式：
1
4
4
3
2
4
(1)
a
－
b
；
(2)
x
y
－
xy
.
1
6
1
4
1
2<
/p>
2
4
2
2
解析：
(1)
a
－<
/p>
b
可以写成
(
a
)
－
(
b
)
的形式，这样可以用平方差公式进行分解因式，而其中有一
16
4
4