公因式的提取方法及常见题型
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公因式的提取方法及常见题型
润心教育镭霆数学
因式分解
因式分解
概念
因式分解：
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，
叫做把这个多项式因式
< br>分解，也可称为将这个多项式分解因式
.
因式分解与整式乘法互为逆变形：
m
(
a
b
c
)
ƒ
整式的乘积
因式分解
ma
mb
mc
式中
m
可以代表单项式，也可以代
表多项式，它是多项式中
各项都含有的因式，称为公因式
因式分解的常用方法：
提取公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法
.
分解因式的一般步骤：
如果多项式的
各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有
公因式，再看能否直接运用公式、十字相乘
法分解，如还不
能，就试用分组分解法或其它方法
.
注意事项：
①若不特别说明，
分解因式的结果必
须是每个因式在有理数范围内
不能再分解为止；
②结果一定是乘积的形式；
③每一个因式都是整式；
④相同的因式的积要写成幂的形式
.
在分解因式时，结果的形式要求：
①没有大括号和中括号；
②每个因式
中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后
要注意能否再分解；
③单项式因式写在多项式因式的前面；
④每个因式第一项系数一般不为负数；
⑤形式相同的因式写成幂的形式
.
例题：
判
断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，
并说明理由
. <
/p>
⑴
(
x
y
)(
x
y
)
x
y
；
⑵
x
x
x
x
(
x
x
< br>)
2
2
3
2
2
2
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因式分解
⑶
x
2
3
x
2
x
(
x
3)
2
；
⑷
xy
x
y
1
(
x
1)(
y
1)
（
1
）
提
取公因式：
提取公因式：
如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面
.
确定公因式的方法：
系数——取多项式各项系数的最大公约数；
字母
(
或多项式因式
)
——取各项都含有的字母
(
或多项式因式
)
的最低次幂
.
1
、
ad
bd
d
2
3
；
2
、
6
abc
14
a
b
12
a
b
3
3
、
3 <
/p>
6
a
3
15
a
2
12
a
4
5
26
xy
3
z
2
13
xy
2
z
2
4
、
52
x
y
z
2
4
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因式分解
5
、
4
x
(<
/p>
a
2
x
2
)
a
2
x
2
6
、
6(
m
n
< br>)
3
12(
< br>n
m
)
4
7
、
(2
a
3
b
)(
a
2
b
)
(3
a
2
b
)(2
b
a
)
8
、
(
x
y
)
2
n
1
< br>(
x
z
)(
x
y
)
2
n
2(
y
x
)
2
n
(
y
z
)
n
为正整数
.
4
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因式分解
（
2
）
公
式法：
平
方差公式：
a
2
b
2
(
a
b
)(
a
b
)
①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；
②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；
③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积
.
完全平方公式：
a
2
2
ab
b
2
(
a<
/p>
b
)
2
a
2
2
ab
b
2
(
a
< br>
b
)
2
①左边相当于一个二次三项式；
②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；
③左边中间一项是这两个数或式的积的
2
倍，符号可正可负；
④右边是这两个数或式的和
(
或差
)
的完全平方，其
和或差由左边中间一项的符
号决定
.
需要了解的公式：
a
3
b
3
(
a
b
)(
a
2
ab
b
2<
/p>
)
a
3
b
3
(
a
b
)(
a
2
ab
b<
/p>
2
)
(
a
b
)
3
a
3
3
a
2
b
3
ab
2
b
3
(
a
b
)
3
a
3
3
a
2
b
3
< br>ab
2
b
3
(
a
b
c
)<
/p>
2
a
2
b
2
c
2
2
ab
2
ac
2
bc
1
、
a
3
、
y
5
4
2
(
a
b
c
d
)
(
a
b
c
d
)
4
b
4
、
2
2
81
4
、
2
x<
/p>
2
1
2
y
2
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因式分解
5
、
(
a
x
)
4
(
a
< br>x
)
4
6
7
、
9
x
2
24
xy
16
y
2
8
9
、
(
m
5
n
)
2
2(5
n
m
)(
n
3
m
)
(
n
3
m
)
2
；<
/p>
、
64
x
8
1
4
、
(
x
2
< br>y
2
)
2
4
x
2
y
2
6