因式分解常用方法(方法最全最详细)
-
. . .
因式分解的常用方法
第一部分：方法介绍
因式分解：
因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，
主
要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等
因式分解的一般步骤是：
（
1
）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。<
/p>
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤
< br>都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或
可利用公
式法继续分解；
（
2
）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数
法、试除法、拆
项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法
.
：
< br>ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法
.
在整式的乘、除中
，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因
式分解中常用的公式，例如：
(1)
(a+b)(a-b) =
a
2
-b
2
-----------a
2
-b
2<
/p>
=(a+b)(a-b)
；
(2)
(a
±
b)
2
= a
2
±
2ab+b
2
---------a
2
±
2ab+b
2
=(a
±
b)
2
；
< br>
(3) (a+b)(a
2
-ab+b
2
) =a
3
+b
3
< br>---------a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
)
；
(4) (a-b)(a
2
+ab+b
2
) =
a
3
-b
3
--------a
3
-b
3
=(a-b)(a
2
+ab+b
2
)
．
下面再补充两个常用的公式：
(5)a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)
2
；
(6)a
3
+b
3
+c
3
-3abc=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca)
；
，
c
是
A
BC
的三边，且
a
< br>b
c
ab
bc
ca
，
例
.
已知
a
，
b
2
2
2
则
ABC
的形状是（
）
A.
直角三角形
B
等腰三角形
C
等边三角形
D
等腰直角三角形
< br>解：
a
b
c
ab
bc
ca
2
a
2
b
2
c
2
ab
2
bc
2
ca
2
2
2
2
2
2
(
a
b
)
2
(
b
c
)<
/p>
2
(
c
a
)
2
0
a
b
c
三、分组分解法
.
（一）分组后能直接提公因式
例
1
、分解因式：
am
an
bm
bn
z
. . .
分析：从“整体”看，
这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用
公式分解，但从“局部”看，这个多项
式前两项都含有
a
，后两项都含有
b<
/p>
，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考
虑两组之间的联系。
解：原式
=
(
am
an
)
(
bm<
/p>
bn
)
=
a
(
m
n
)
b
(
m
< br>n
)
每组之间还有公因式！
=
(
m
n
)(
a
b
)
例
2
、分解因式：
2
ax
10
ay
5
by
bx
解法一：第一、二项为一组；
解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：
原式
=
(
2
ax
10
ay
)
(
5
by
bx
)
原式
=
< br>(
2
ax
bx
)
(
10
ay
5
by
)
=
2
a
(
x
5
y
)
b
(
x
< br>
5
y
)
=
x
(
2
a
b
)
5
y
(
2
< br>a
b
)
=
(
x
5
y
)(
2
a
b
)
=
(
2
a
b
)(
x
5
y
)
练习：分解因式<
/p>
1
、
a
ab
ac
bc
2
、
xy<
/p>
x
y
1
2
（二）分组后能直接运用公式
例
3
、分解因式：
x
y
ax
ay
2<
/p>
2
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可
以提公因
式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式
=
(
x
y<
/p>
)
(
ax
ay
)
2
2
=
(
x
y
)(
x
y
)
a
(
x
y
)
=
(
x
y
)(
x
y
a
)
例
4
、分解因式：
a
2
ab
b
c
解：原式
=
(
a<
/p>
2
ab
b
)
c
=
(
a
b
)
c
=
(
a
b
c
)(
a
b
c
)
练习：分解因式
3
、
x
x
9
y
3
y
4
、
x
y
z
2<
/p>
yz
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
< br>2
综合练习：
（
1
）
x
x
< br>y
xy
y
（
2
）
ax
b
x
bx
a
x
a
b<
/p>
2
2
（
3
）
x
6
xy
9
y
16
a
8
a
1
（
4
）
a
6
ab
12
b
<
/p>
9
b
4
a
2
2
2
3
2
2
3
4
3
2
（
5
）
a
2
a
a<
/p>
9
（
6
）
4
a
x
4
a
y
b
x
< br>
b
y
2
2
2
2
2
2
（
7
）
x
2
xy
xz
yz
y
（
8
）
a
2
a
b
2
b
< br>2
ab
1
2
2
（
9
）
y
(
y<
/p>
2
)
(
m
1
)(
m
1
)
（
10
）
(
a
c
)(
a
c
)
b
(
b
< br>
2
a
)
（
11
）
a
2
(
b
<
/p>
c
)
b
2
(
a
c
)
c
2
(
a
b
)
2
abc
（
12
）
a
3
b
3
c
3
3
abc
四、十字相乘法
.
（一）二次项系数
为
1
的二次三项式
z
. . .
直接利用公式——
x
(
p
q
)
x
pq
(
x
p
)(
x
q
)
进行分解。
2
< br>特点：
（
1
）二次项系数是
1
；
（
2
）常数项是两个数的乘积；
（
3
）一次项系数是常
数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？
例
.
已知
0
＜<
/p>
a
≤
5
，
且
a
为整数，
若
2
x
3
x
a
能用十字相乘法
分解因式，
2
求符合条件的
a
.
解析：凡
是能
十字
相乘
的二
次
三
项
式
ax<
/p>
2
+bx+c
，
都要求
b
2
4
ac
>0
而且是一个完全平方数。
于是
9
8
a
为完全平方数，
a
1
例
5
、分解因式：
x
5
x
<
/p>
6
分析：将
6
分成两个数相乘，且这两个数的和要等于
5
。
由于<
/p>
6=2
×
3=(-2)
< br>×
(-3)=1
×
6=(-1)
×
(-6)
，
从中可以发现只有
2
×
3
的分解适合，即
2+3=5
。
1
2
2
2
解：
x
5
x
6
=
x
(
2
3
)
x
< br>2
3
1
3
2
=
(
x
2
)(
x
3
)
1
×
2+1
×
3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数
的代数和要等于
一次项的系数。
例
6
、分解因式：
x
7
x
6
2
解：原式
=
x
[(
1
)
(
< br>6
)]
x
(
1
)(
6
)
1
-1
2
=
(
x
1
)(
x
6
)
1
-6
（
-1
）
+<
/p>
（
-6
）
=
-7
练习
5
、分解因式
(1)
x
14
x
24
(2)
a
15
a
36
(3)
x
4
x
5
2
2
2
2
2
练习
6
、分解因式
(1)
x<
/p>
x
2
(2)
y
2
y
15
(3)
x
10
x
24
2
（二）二次项系数不为
1
的二次三项式——
ax
bx
c
2
条件：
（
1
）
a
a
1
a
2
a
1
c
1
（
2
）
c
c
1
c
2
a
2
c
2
（
3
）
b
a
1
c
2
a
2
c
< br>1
b
a
1
c
2
a
2
c
1
< br>分解结果：
ax
bx
c
=
(
a
1
x
< br>c
1
)(
a
2
x
c
2
)
2
例<
/p>
7
、分解因式：
3
x
11
x
10
分析：
1
-2
3
-5
（
-6<
/p>
）
+
（
-5
）
= -11
2
解：
3
x
1
1
x
10
=
(
x
2
)(
3
x
5
)
2
z
. .
.
练习
7
、分解因式：
（
1
）
5
< br>x
7
x
6
（
2
）
3
x
7
x
2
2
2
2
（
3
）
10
x
17
x
3
（
4
）
6
y
11
y
10
（三）二次项系数为
1
的齐次多项式
2
例
8
、分解因式：
a
8
ab
128
b
分析：将
b
看成常数，
把原多项式看成关于
a
的二次三项式，利用十字相
乘法进行分解。
1
8b
1
-16b
8b+(-16b)= -8b
2
2
2
2
解：
a
8
ab
128
b
=
a
[
8
b
(
16
b
)]
a
8
b
< br>
(
16
b
)
2
=
(
a
8
b
)(
a
16
b
)
练习
8
、分解因式
(1)
x
3
xy
2
y
(2)
m
6
mn
8
n
(3)
a
ab
6
b
（四）二次项系数不为
1
的齐次多项式
例
9
< br>、
2
x
7
xy
6
y
例
10
、
x
y
3
xy
2
1
-2y
把
xy
看作一个整体
1
-1
2
-3y
1
-2
(-3y)+(-4y)= -7y
(-1)+(-2)= -3
解：
原式
=
(
x
2
y
)(
2
x
3
y
)
解：
原式
=
(
xy
1
)(
xy
2
)
2
2
练习
9
、分解因式：
（
1<
/p>
）
15
x
7
xy
4
y
（
2
）
a
x
6
ax
8
6
3
综合练习
10
、
（
1
）
8
x
7
x
1
（
2
）
12
x
11
xy
15
y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
< br>2
2
2
（
3
）
(
x
y
)
3
(
x
y
)
10
（
4
）
(
a
b
)
4
a
4
< br>b
3
2
2
x
y
5
x
y
6
x
（
6
）
m
2
4
mn
4
n
2
3
m
6
n
2
（
5
）
（
7
）
x<
/p>
4
xy
4
y
2
x
4
y
3
（
8
< br>）
5
(
a
b
)
2
3
(
a
b<
/p>
)
10
(
a
b
)
2
2
2
2
2
2
2
< br>2
2
2
12
(
x
y
)
11
(
x
y
)
2
(
x
y
)
（
9
）
4
x
< br>
4
xy
6
x
3
y
y
10
（
10
）
2<
/p>
2
2
2
2
2
思考：分解因式：
abcx
(
a
b
c
)
x
abc
2
2
2
2
五、换元法。
< br>
(1)
、换单项式
例
1
分解因式
x
6
+ 14x
3
y +
49y
2
.
分析
：
注意到
x
6
=
（
x
3
）
2
，
若把单项式
x
3
换元，
设
x
3
= m
，
< br>则
x
6
= m
< br>2
，
原式变形为
m
2
+
14m
y +
49y
2
= (m + 7y)
2
= ( x
3
+
7y)
2
.
z
. . .
(2)
、换多项式
例
2
分解因式
(x
2
+4x+6) +
(x
2
+6x+6)
+x
2
.
分
析
：
本题前面的两个多项式有相同的部分，
我们可以只把相同部分
换元，设
x
2
+6= m
，则
x
2
+4x+6= m+4x
，
x
2
+6x+6=
m+6x
，原式变形为
(m+4x)(m+6x)+x
2
=
m
2
+1
0mx+24x
2
+x
2
=
m
2
+10mx+25x
2
=
(m+5x)
2
= (
x
2
+6+5x)
2
= [(x+2)(x+3)]
2
=
(x+2)
2
(x+3)
2
.
以上这种换元法，
只换了多项式的一部分，
所以称为
“局部换元法”
.
当然，我们还可以把前两
个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体
换元法”
. <
/p>
比如，设
x
2
+
4x+6=m
，则
x
2
+6x+6=m+2x
，原式变形为
m(m+2x)+
x
2
=
m
2
+2
mx+x
2
=
(m+x)
2
=
(
x
2
+4
x+6+x)
2
=
(
x
2
+5x+6)
2
= [(x+2)(x+3)]
2
=
(x+2)
2
(x+3)
2
.
另外，
还可以取前两个多项式的平均数进行换元，
这种换元
的方法被
1
称为
“均值换元法”
，
可以借用平方差公式简化运算
.
对于本例，
设
m=
2
[(x
2
+4x+6) +
(x
2
+6x+6)]= x
2
+5x+6
，则
x
2
+4x+6=m-x
，
x
2
+6x+6=m+x
，
(m+x)(m-x)+x
2
= m<
/p>
2
-x
2
+x<
/p>
2
= m
2
=
(x
2
+5x+6)
2
= [(x+2)(x+3)]
2
=
(x+2)
2
(x+3)
2
.
例
3
分解因式
(x-1)(x+2)(x
-3)(x+4)+24.
分析
：<
/p>
这道题的前面是四个多项式的乘积，
可以把它们分成两组相乘，<
/p>
使之转化成为两个多项式的乘积
.
无论
如何分组，最高项都是
x
2
，常数项<
/p>
不相等，所以只能设法使一次项相同
.
因此，把
(x-1)(x+2)(x
-3)(x+4)
分组
为
[(x-1)
(x+2)][(x-3)(x+4)] =
(x
2
+x-2) (x
2
+x-12)
，从而转化成例
2
< br>形式加
以解决
.
z
. . .
1
我们采用“均值换元法”
，设
m
=
[
(x
2
+x-2)+ (x
2
+x-12)]=x
2
+x-7
，
2
则
x
2
+x-2=m+5
，
x
2
+x-2=
m-5
，原式变形为
(m+5)(m
-5)+24=m
2
-25+24=m
2
-1=(m+1)(m-1)=(
x
2
+x-7+1)(
x
2
+
x-7-1)
= ( x
2
+x-6)(
x
2
+x-8)= (x-2)(x+3)(
x
2
+x-8).
(3)
、换常数
例
1
分解因式
x
2
(x+1)-2003
×
2004x
.
分析
：此题若按照一般思路解答，
很难奏效
.
注意到
2003
、
2004
两
个数字之
间的关系，把其中一个常数换元
.
比如，设
< br>m=2003
，则
2004=m+1.
于是，原式变形为
x
2
(x+1)
–
m(m+1)x= x[x(x+1)-m(m+1)]
= x(x
2
+x-m
2
-m)
= x[(x
2
-m
2
) +(x-m)]= x[(x+m)
(x-m)+(x-m)]
= x(x-m)(x+m+1)=
x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).
例
13
、分解因式（
1
）
2005
x
(
2005
1
)
x
2005
2
2
（
2
）
(
x
1
)(
x
2
)(
x
3
)(
x
6
)
x
解：
（
1
）设
2005=
a
，则原式
=
ax
(
a
1
)
x
a
2
2
2
=
(
ax
1
)(
x
a
)
=
(
2005
x<
/p>
1
)(
x
2005
)
<
/p>
（
2
）
型如
abcd
e
的多
项式，
分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式
=
(<
/p>
x
7
x
6
)(
x
5
x
6
)
x
< br>
2
2
设
x
5
x
6
A
，则<
/p>
x
7
x
6
A
2
x
2
2
∴原式
=
(
A
2
x
)
A
x
=
A
2<
/p>
Ax
x
2
2
2
2
=
(
A
x
)
=
(
x
6
x
6
< br>)
练习
13
< br>、分解因式（
1
）
(
x
xy
y
)
4
< br>xy
(
x
y
)
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
2
（
2
）
(
x
3
x
2
)(
4
x
< br>8
x
3
)
90
2
2
（
3
）
(
a
1
)
(
a
5
)
< br>
4
(
a
3
)
例
14
、分解因式（
1
< br>）
2
x
4
x
3
6
x
2
x
2
观察：
此多项式的特点——是关于
x
的降幂排列，
每一项的次数依次少
1
，
z
2
2
2
2
2
2
. . .
并且系数成“轴对称”
。
这种多项式属于“等距离多项式”
。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式
=
x
2
< br>(
2
x
2
x
6
1
1
1
1
2
)
=
x
2
2
(
x
2
< br>2
)
(
x
)
6
x
x
x
x
1
1
设
x
t
，则
x
2
2
t
2
2
x
x
2
2
2<
/p>
t
2
)
t
6
=
x
2
2
t
2
t
10
∴原式
=
x
（
2
1
2
=
x
2
t
5
t
2
=
x
2
2
x
5
x
2<
/p>
x
x
2
1
2
2
x
·
=
x
·
2
x
5
·
x
< br>
2
=
2
x
5
x
2
x
2
x
1
x
x
2
=
(
x
1
)
(
2
x
1
)(
x
2
)
（
2
）
x
4
4
x
3
<
/p>
x
2
4
x
1
4
1
1
1
2
)
=
x
2
<
/p>
x
2
2
4
x
1
x
x
x
x
<
/p>
1
1
设
x
y
，则
x
2
2
y
2
2
x
x
2
2
2
∴原式
=
x
(
y
4
y
3)
=
x
(
y
1)(
y
3)
1
1
2
2
=
x
2
(
x
1
)(
x
3
)
=
x
x
1
x
3
x
1
x
x
练习
14
、
（
1
）
6
x
4
7
x
3
< br>
36
x
2
7
x
6
4
3
2<
/p>
2
（
2
）
x
2
x
x
1
2
(
x
x
)
解：原式
=
x
2
(
x
2
4
x
1
六、添项、拆项、配方法。
例
15
、分解因式（
1
）<
/p>
x
3
3
x
2
4
解法<
/p>
1
——拆项。
解法
2
——
添项。
原式
=
x
3
1
3
x
2
3
原式<
/p>
=
x
3
3
x
2
4
x
4
x
4
2
2
=
(
x
1
)(
x
x
1
)
3
(
x
1
)(
x
1
)
=
x
(
x
3
x
4
)
(
4
x
< br>4
)
=
(
x
1
)(
x
x
1
3
x
3
)
=
x
(
x
1
)(
x
4
)
4
(
x
1
)
2
=
(
x
1
)(
x
4
x
4
)
=
(
x
1
)(
x
4
x
4
)
2
2
=
(
x
1
)(
x
2
)
=
(
x
1
)(
x
2
)
9
6
3
（
2
）
x
x
x
3
2<
/p>
2
解：原式
=
(
x
1
)
(
x
1
)
(
x
1
)
< br>
9
6
3
=
(
x
1
)(
x
x<
/p>
1
)
(
x
1
)(
x
1
)
(
x
< br>
1
)
3
6
3
3
3
3
=
(
x
1
)(
x
x
1
x
1
1
)
3
6
3
3
z
. . .
=
(
x
1
)(
x
x
1
)(
x
<
/p>
2
x
3
)
2
6
3
练习
15
、分解因式<
/p>
（
1
）
x
3
9
x
8
（
2
）
(
x
1
)
(
x
1
)
< br>
(
x
1
)
4
2
2
4
（
3
）
x
4
7
x
2
1
（
4
）
x
4
x
2
2
ax
1
a
2
（
5
）
x
y
(
x<
/p>
y
)
（
6
）
2
a
2
b
2
2
a
2
c
2
< br>2
b
2
c
2
a
4
b
4
c
4
七、待定系数法。
例
16
、分解因式
x
xy
6
y
x
13
y
6
< br>2
2
4
4
4
分析：
原式的前
3
项
x
xy
< br>
6
y
可以分为
(
x
3
y
)(
x
2
y
)
，
则
原多项式
必定可分为
(
x
3
y
< br>m
)(
x
2
y
n
)
解：设
x
xy
6
y
x
13<
/p>
y
6
=
(
x
3
y
m
)(
x
2
y
< br>
n
)
2
2
2
2
∵
(
x
3
y
m
)(
x
2
y
n
)
=
x
xy
< br>6
y
(
m
n
)
x
(
3
n
2
m
)
y
mn
2
2
∴
x
2
xy
< br>6
y
2
x
13
y
6
=
x
2<
/p>
xy
6
y
2
(
m
n
)
x
(
3
< br>n
2
m
)
y
mn
m
n
1
m
2
对比左右两边相同项的系数可得
3
n
2
m
13
，解得
< br>
n
3
mn
6
∴原式
=
(
x
3<
/p>
y
2
)(
x
2
y
3
)
2
2
例
17
、
（
1
）当
< br>m
为何值时，多项式
x
y
mx
5
y
6
能分解因式，并分
解此多项式。
（
2
）如果
x
3
ax<
/p>
2
bx
8
有两个因式为
x
1
和
x
<
/p>
2
，求
a
b
的值。
（
1
）
分析：
前两项
可以分解为
(
x
y
)(
x
y
)
，
故此多项式分解的形式必
为
(
x
y
a
)(
x
y
b
)
解：设
x
y
mx
5
y
6
=
(
x
y
a
)(
x
y
b
)
2
2
2
2
则
x
y
mx
5
y
6
=
x
y
(
a
b
)
x
(
b
< br>
a
)
y
ab
2
2
a
b<
/p>
m
a
2
a
2
比较对应的系数可得：
b
a
5
，解得：
b<
/p>
3
或
b
3
ab
6
m
< br>
1
m
1
∴当
m
<
/p>
1
时，原多项式可以分解；
当
m
1
时，原式
=
(
x
y
< br>2
)(
x
y
3
)
；
当
m
<
/p>
1
时，原式
=
(
x
y
2
)(
x
y
3
)
3
2
（
2
）
分析：
x
ax
< br>bx
8
是一个三次式，
所以它应该分成三个一次式相乘，
因此第三个因式必为形如
x
c
的一次二项式。<
/p>
3
2
解：设<
/p>
x
ax
bx
8
=
(
x
1
)(
x
2
)(
x
c
)
3
2
3
2
则
x
ax
bx
8
=
x
(
3
c
)
x
< br>(
2
3
c
)
x
2
c
z
. . .
a
3
c
a
7
<
/p>
∴
b
2
3
c
解得
b
14
，
2
c
8
c
4
<
/p>
∴
a
b
=
21
2
2
练习
17
、
（
1
）分解因式
x
3
xy
10
y
x
9
y
2
（
2
< br>）分解因式
x
3
xy
2
y
5
x
7
y
6
2
2
（
3
）
已知：
x
2
xy
3
y
6
x
14
y
p
能分解成两个一次因式
之积，求常数
p
并且分解因式。
2
2
（
4
）
k
为何值时，
x
2
xy
ky
3
x
5
y
2
能分解成两个一次
因式
的乘积，并分解此多项式。
第二部分：习题大全
经典一：
一、填空题
2
2
1.
把
一个多项式化成几个整式的
_______
的形式，叫做把这个
多项式分解
因式。
2
分解因式：
m
3
-4m=
.
3.
分解因式：
x
2
-4y
2
= __
_____.
4
< br>、分解因式：
x
4
x
4
=___________
______
。
5.
将
x
-y
n
分
解
因
式
的
结
果
为<
/p>
(x
2
+y
2<
/p>
)(x+y)(x-y)
，
则
n
的
值
为
.
2
2<
/p>
2
2
x
y
xy
2
x
2
y
x
y
5,
xy
6
6
< br>、
若
，
则
=_________
，
=__________
。
2
n
二、选择题
7
、多项式
15
m
n
5
m
n
20
m
n
的公因式是
(
)
A<
/p>
、
5
mn
B
、
5
m
n
C
、
5
m
n
< br>
D
、
5
mn
8
、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是
(
)
2<
/p>
2
2
2
3
2
2
2
3
a
3
a
3
< br>
a
2
9
a
2
b
2
a
b
a
b
A
、
B
、
z
. . .
3
m
2
2
m
3<
/p>
m
m
2
a
4
a
5
a
a
4
5
m
<
/p>
C
、
D
、
2
10.
下列多
项式能分解因式的是（
）
(A)x
2
-y
(B)x
2
+1
(C)x
2
+y+y
2
(D)x
2
-4x+4
2
11
．把（
x
－
y
）
－（
y
－
x
）分解因式为（
）
A
．
（
x
－
y
）
（
< br>x
－
y
－
1
）
B
．
（
y
－
x
）
（
x
－
y
－
1
< br>）
C
．
（
y
－
x
）
（
y
－
x
－
1
）
D
．
（
y
－
x
）
（
y
－
x
＋
1
）
12
．下列各个分解因式中正确的是（
）
A
．
10ab
2
c<
/p>
＋
6ac
2
＋<
/p>
2ac
＝
2ac
（
5b
2
＋
3
c
）
B
．<
/p>
（
a
－
b
）
2
－（
b
－
a
）
2
＝（
a
－
b
）
2
（
a
－
b
＋
1
）
C
．
x<
/p>
（
b
＋
c
－
a
）－
y
（
a
－
b
－
c
）－
a
＋
b
－
c
＝（
b
＋
c
－
a
）
（
x
＋
y
－
1
）
D
．
（
a
－
2b
）
（
3a
＋
b
）－
5
（
2b
－
a
）
< br>2
＝（
a
－
2b
）
（
11b
< br>－
2a
）
13.
若
k-12xy+9x
2<
/p>
是一个完全平方式，那么
k
应为（
）
A.2
B.4
C.2y
2
D.4y
2
三、把下列各式分解因式：
2
2
14<
/p>
、
nx
ny<
/p>
15
、<
/p>
4
m
9
n
16
、
m
m
n
n
< br>
n
m
3
2
2
a
2
a
b
ab
17
、
<
/p>
18
、
x
2
4
16
x
2
2
19
、<
/p>
9
(
m
n
)
2
16
(
m
n
)
2
；
< br>
五、解答题
20
、
如图，
在一块边长<
/p>
a
=6.67cm
的形纸片中，
挖去一个边长
b
=3.33cm
的形。求纸片剩余部分的面积。
21
、
如图，
某环保工程需要一种空心混凝土管道，
它的规格是径
d
4
5
cm
，
，
外
径
D
75
c
m
长
l
3<
/p>
m
。
利用分解因式计算浇制一节这样的管
道需要多
少立方米的混凝土？
(
取
3.14
，结果保留
2
位有效数字
)
22
、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第
(5)
个等式。
l
z
d
D
. .
.
(1)
x
2
1
x
1
x
1
(2)
x
4
1
x
2
1
x
1
x
1
(3)
x
8
< br>1
x
4
1
x
2
1
<
/p>
x
1
x
1
(4)
x
16
1
x
8
1
x
4
1
x
2
< br>
1
x
1
x
1
(5
)
_____________________________________
____________
经典二：
1.
通过基本思路达到分解多项式的目的
例
1
. <
/p>
分解因式
x
5
x
4
x
3
x
2
x
1
分
析
：
这
是
一
个
六
项
式
，
很
显
然
要
< br>先
进
行
分
组
，
此
题
可
把
x
5
x
4
x
3
和
x
2
x
< br>1
分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取
公因式后
，
再进一步分解；
也可把
x
5
x
4
，
x
3
x
2
，
x
1
分别看成一组，
此时的六项式变成
三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：
原式
(
x
5
x
4
x
3
)
(
x
2
x
1
)
< br>
x
3
(
x
2
x
1
)
(
x
2
x
1
)
(
x
3
1
)(
x
2
x
1
)
(
x
1
)(
x
2
x
1
)
(
x
2
x<
/p>
1
)
解二：原式
=
(
x
5
x
4
)
(
x
3
x
2
)
(
x
< br>
1
)
x
4
(
x
1
)
x
2
(
x
1
)
(
x
1
< br>)
(
x
1
)(
x
4
x
1
)
(
x
1
)[(
x
2
x
1
)
x
]<
/p>
(
x
1
)(
x
2
x
1
)(
x
2
x
1
)
4
2
2
2.
通过变形达到分解的目的
例
1
.
分解
因式
x
3
3
x
2
4
解一：将
3
x
2
拆成
2
x
2
x
2
，则有
z
. . .
原式
< br>x
3
2
x
2
(
x
2
4
)
x
2
(
x
2
)
< br>
(
x
2
)(
x
2
)
(
x<
/p>
2
)(
x
x
2
)
(
x
1
)(
x
2
)
2
2
解二：将常数
4
拆成
1
3
，则有
原式
x<
/p>
3
1
(
3
x
2
3
)
(
x
1
)(
x
2
x
1
)
(
x
1
)(
3
x
3
)
(
x
1
)(<
/p>
x
4
x
4
)
(
x
1
)(
x
2
< br>)
2
2
3.
在证明题中的应用
例
：求证：多项式
(
x
2
4
)(
x
2
10
x
21
)
<
/p>
100
的值一定是非负数
分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。
本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：
(
x
2
4
)(
x
2
10
x
21
)
100
(
x
2
)(
x
2
)(
x
3
)(
x
< br>
7
)
100
(
x
2
)(
x
7
)(
x
2
)(
x
3
)
100
(
x
2
5
x
14
)(
x
2
5
x
6
)
<
/p>
100
设
y
x
2
5
x
，则
原式
(
y
14
)(
y
6
)
100
y
2
< br>8
y
16
(
y
4
)
2
无论<
/p>
y
取何值都有
(
y
4
)
2<
/p>
0
(
x
2
4
)(
x
2
10
x
21
)
100
的值一定是非负
数
4.
因式分解中的转化思想
例
：分解因式：
(
a
2
b
c<
/p>
)
3
(
a
b
)
3
(
b
c
)
3
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察
a+b
，
b+c
与
a+2b+c
的关系，努力寻找一种代换的方法。
< br>
z
. .
.
解：设
a+b=A
，
< br>b+c=B
，
a+2b+c=A+B
< br>
原式
(
A
B
)
3
A
3
<
/p>
B
3
A
3
3
A
2
B
3
AB
2
B
< br>3
A
3
B
3
3
A
2
B
3
AB
2
3
AB
(
A
B
)
< br>3
(
a
b
)(
b
c
)(
a
2
b
c
)
说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是
很重要
的。
中考点拨
例
1.
在
<
/p>
ABC
中，三边
a,b,c
满足
a
2
16
b
2
< br>c
2
6
ab
10
bc
0
求证：
a
c
2
b
证明：
a
2
16<
/p>
b
2
c
2
6
ab
10
bc
0
a
2
6
ab
9
b
2
c
2
10
bc
25
b
2
0
即
(
a
3
b
)
2
(
c
5
b
)
2
< br>0
(
a
8
b
c
)
(
a
2
b<
/p>
c
)
0
a
b
c
a
8
b
c
，即
a
8
b
c
0
于是有
a
2
b
c
0
即<
/p>
a
c
2
b
说明：
此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不
能丢分。
< br>
1
1
2
，则
x
3
3
__________
x
x
1
1
1
解：
x
3<
/p>
3
(
x
)(
x
2
1
)
x
x
x
例
2.
已知：
x
z