因式分解经典题及解析
-
.
2013
组卷
<
/p>
1
．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差
公式和完全平方公式）
，事
实上，除了这两种方法外，还有其它
方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因
2
式分解
x
+2x
﹣
3
时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们
可以采用下面的办法：
x
+
2x
﹣
3=x
+2
×
x
×
1+1
﹣
1
﹣
3
﹣﹣﹣﹣﹣﹣
①
2
< br>2
=
（
x+1
< br>）
﹣
2
﹣﹣﹣﹣﹣﹣
②
=
…
解决下列问题：
（
< br>1
）
填空：
在上述材料中，运用
了
_________
的思想方法，
使得原题变为可以继续用平
方差公式
因式分解，这种方法就是配方法；
2
（
2
）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解
x
+2x
﹣
3
；
2
（
3
）请用上述方法因式分解
x
﹣
4x
﹣
5
．
2
．请看下面的问题：把
x
+4<
/p>
分解因式
分析：这个二项式既无公因式
可提，也不能直接利用公式，怎么办呢
2
2
2
2
19
世纪的法国数学家苏菲
•
热门抓住了该式只有两项，而且属于
平方和（
x
）
+
（
2
）
的形
2
2
4
4
2<
/p>
2
2
式，
要使用
公式就必须添一项
4x
，
随即将此项<
/p>
4x
减去，
即可得
x
+4=x
+4x
+4
﹣
4x
=
（
x
+2
）
2
< br>2
2
2
2
2
2
﹣
4x
=
（
x
+2
）
﹣（
2x
）
=
（
x
+2x+2
）
（
x
﹣
2
x+2
）
人们为了纪念苏菲
•
热门给出这一解法，
就把它叫做
“
热门定理
”
，
请你依照苏菲
•
热门的做法，
将下列各式因式分解．
4
4
2
2
（
1
）
x
+4y
；
（
2
）
x
﹣
2ax
﹣
b
﹣
2ab
．
3
．下面
是某同学对多项式（
x
﹣
4x+2
）
（
x
﹣
4x+6
）
+4
进行因
式分解的过程．
2
解：设
x
﹣
4x=y
原式
=
（
y+2
）
（
y+6
）
+4<
/p>
（第一步）
2
=y
+8y+16
（第二步）
2
=
（
y+4
）
（第三步）
2<
/p>
2
=
（
x
﹣
4x+4
）
（第四
步）
回答下列问题：
（
1
）该同学第二步到第三步运用了因式分解的
_________
．
A
、提取
公因式
B
．平方差公式
C
、两数和的完全平方公式
D
．两数差的完全平方公式
（
2
）该同学因式分解的结果是否彻底
_________
．
（填
“
彻底
”
或
“
不彻底
”
）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果
_________
．
（
3
）请你模仿以上方法尝试对多项式（
x
﹣<
/p>
2x
）
（
x
﹣
2x+2
）
+1
进行因式分解．
4
．找出能使二次三项式
x
+ax
﹣
6
可以因式分解（在整数范围内）的整数值
a
，并且
将其进
行因式分解．
5
．利用因式分解说明：两个连续偶
数的平方差一定是
4
的倍数．
2
2
2
2
2
4
2
2
2
.
.
6
．已知关于
x
的多项式
3x
+x+m
因式分解以后有一个因式为（
3x
﹣
2
）
，试求
m
的值并将
多项式因式分解．
7
．已知
多项式（
a
+ka+25
）﹣
b
，在给定
k
的值的条
件下可以因式分解．请给定一个
k
值
并
写出因式分解的过程．
8
．先阅读，后解题：要说明代数式
2x
+8x+10
的值恒大于
0
< br>还是恒等于
0
或者恒小于
0
，
我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，
具体过程如下：
2
解：
2x
+8x+10
2
=2
（
x
+4x+5
）
（提公因式，得到一个二次项系数为
1
的二次多项式）
2
2
2
=2
（
x
+4x+2
﹣
2
+5
）
2
=2[
（
x+2
）
+1
]
（将二次多项式配方）
2
=2
（
x+2
）
+2
（去掉中括号）
2
< br>2
因为当
x
取任意实数时，代数
式
2
（
x+2
）
的值一定是非负数，那么
2
（
x+2
）
+2
的值一
定
为正数，所以，原式的值恒大于
0
，
并且，当
x=
﹣
2
时，原式有最小值
2
．
2
请仿照上例，说明代数式﹣
2x
﹣
8x
﹣
10
的值恒大于
0
还是恒小于
0
，并且说明它的最大值
或者最小值是什么．
9
．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：
甲：这是一个三次三项式；
乙：三次
项系数为
1
；
丙：这个多项式的各项有公因式；
丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；
< br>若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式．
10
．<
/p>
在对某二次三项式进行因式分解时，
甲同学因看错了一次项系数而
将其分解为
2
（
x
﹣
1
）
（
x
﹣
9
）
，而
乙同学看错了常数项，而将其分解为
2
（
x
﹣
2
）
（
x
﹣
4
）
，请你判断正确的二次
三项式并进行正确的因式分解．
11
．观察李强同学把多项式（
x
+6x+10
）
（
x
+6x+8
）
+1
分解因式的过程：
2
解：设
x
+6x=y
，则
原式
=
（
y+10
）
（
y+8
）
+1
=y
+18y+81
2
=
（
y+9
）
2
2
=
< br>（
x
+6x+9
）
（
1
）回答问题：这位同
学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后
结果：
_________
．
（
2
）仿照上题解法，分解因式：
（
x
+4x+1
）
（
x
+4x
﹣
3
）
+4
．
12
．
（<
/p>
1
）
写一个多项式，
再把它分解因式
（要求：
多项式含有字母
< br>m
和
n
，
系数、
次数不限，
并能先用提取公因式法再用公式法分解）<
/p>
．
（
2
）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x
（
x+1
）
+x
（
x+1
）
=
（
1+x
）
[1+x+x
（
x+1
）
]
①
2
=
（
1+x
）
（
1+x
）
②
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
.
=
（
1+x
）
③
①
上述分解因式的方法是
_________
，由
②
到
③
这一步的根据是<
/p>
_________
；
2
200
6
②
若分解
1+x+x
（
x+1
）
+x
（
x+1
）
+
…
+x
（
x+1
）
，结果是
_________
；
2
n
③
分解因式：
1+x+x
< br>（
x+1
）
+x
（
x+1
）
+
…
+x
（
x+1
）
（
n
为正整数）
．
13
．阅读下面的材料并完成填空：
因为（
x+a
）
（
x+b
）
=x
+
（
a+b
）
x+ab
，所以，对于二次项系数为
1
的二次三项式
x
+px+q
的因式
解，就是把常数项
q
分解成两个数的积且使这两数的和等于
p
，即如果有
a
，
b
两数
满足
a
﹒
b=a+b=p
，则有
2
x
+px+q=
（
x+a
）
（
x+b
）
．
2
如分解因式
x
+5
x+6
．
解：因为
< br>2
×
3=6
，
< br>2+3=5
，
所以
x
+5x+6=
（
x+2
）
（
x+3
）
．
2
再如分
解因式
x
﹣
5x
﹣
6
．
解
：因为﹣
6
×
1=
﹣
6
，﹣
6+1=
﹣
5
，
2
所以
x
﹣
5x
﹣
6=
（
x
﹣
6
）
（
x+1
）
．
同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看．
2
2
2
2
因式分解：
（
1
）
x
+7x+12
；
（
2
）
x
﹣
7x+12
；
（
3
）
x
+4x
﹣
12
；
（
4
）
x
﹣
x
﹣
12
．
2
2
2
3
答案
1
．请看下面的问题：把
x
< br>+4
分解因式
分析：这个二项
式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢
2
2
2
2
19
世纪的法国数学家苏菲
•
热门抓住了该式只有两
项，而且属于平方和（
x
）
+
（
2
）
的形
2
2
4
4
2
2
2
式，
< br>要使用公式就必须添一项
4x
，
随即将此项
4x
减去，
即可得
x
+4=x
+4x
+4
﹣
4x
=
（<
/p>
x
+2
）
2
2
2
2
2
2
2
﹣
4x
=
（
x
+2
）
﹣（
2x
）
=
（
x
+2x+2
）
（
x
﹣
2x+2
）
人们为了纪念
苏菲
•
热门给出这一解法，
就把它叫做
“
热门定理
”
，
请你依照苏菲
•
热门的做法，
将下列各式因式分解．
4
< br>4
2
2
（
1
）
x
+4y
；
（
2
）
x
﹣
2ax
﹣
b
﹣
2ab
．
考点
：
<
/p>
因
式分解
-
运用
公式法．
专题
：
阅
读型．
分析：
这
是
要运用添项法因式分解，首先要看明白例题才可以尝试做以下题目．
< br>4
4
4
2
2
2
2
2
解
答：
解
：
（
1
）
x
+4y
=x
+4x
y
+4y
﹣
4x
y
，
4
=
（
x
+2y
）
﹣
4x
y
，
<
/p>
2
2
2
2
=
（
x
+2y
+2xy
）
（
x
+2y
﹣
2xy
）
；
（
2
）
x
﹣
2ax
﹣
b
﹣
2ab
，
2
2
2
2
=x
﹣
2ax+a
﹣
a
﹣
b
﹣
2ab
，
2
2
=
（
x
﹣
a
）
﹣（
a+b
）
，
=
< br>（
x
﹣
a+a+b
）
（
x
﹣
< br>a
﹣
a
﹣
b
）
，
=
（
x+b
）
（
x
﹣
2a
﹣<
/p>
b
）
．
点评：
本
题
考查了添项法因式分解，难度比较大．
.
2
2<
/p>
2
2
2
2
2
.
2
．下面是某
同学对多项式（
x
﹣
4x+2
）
（
x
﹣
4x+6
）
+4
进行因式分
解的过程．
2
解：设
x
﹣
4x=y
原式
=
（
y+2
）
（
y+6
）
+4
（第一步）
2
=y
+8y+16
（第二步）
2
=
（
y+4
）
（第三步）
2
2
=
（
x
﹣
4x+4
）
（第四步）
回答下列问题：
< br>（
1
）该同学第二步到第三步运用了因式分解的
C
．
A
、提取
公因式
B
．平方差公式
C
、两数和的完全平方公式
D
．两数差的完全平方公式
（
2
）该同学因式分解的结果是否彻底
不彻底
．
（
填
“
彻底
”
或
“
不彻底
”
）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果
< br>（
x
﹣
2
）
．
2
2
（
3
）请你
模仿以上方法尝试对多项式（
x
﹣
2x
）
（
x
﹣
2x+2
）
+1
进
行因式分解．
考点
：
提
公因式法与公式法的综合运用．
专题
：
阅
读型．
分析：
（
1
）完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；
2
（
2
）
x
﹣
4x+4
还可
以分解，所以是不彻底．
（
3
）按照例题的分解方法进行分解即可．
解答：
解
：
（
1
）运用了
C
，两数和的完全平方公式；
2
2
4
（
2
）
x
﹣
4x+4
还可以分解，分解不彻底；
（
3
）设<
/p>
x
﹣
2x=y
．
2
2
（
x
﹣
2x
）
（
x
﹣
2x+2
）
+1
，
=y
（
y+2
）
+1
，
=y
+2y+1
，
2
=
（
y+1
）
，
2
2
=
（
x
﹣
2x+1
）
，
4
=
（
x
﹣
1
）
．
点评：
本
题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，
按照提供的方法和样式解
答
即可，难度中等．
3
．找出能使二次三项式
x
+ax
﹣
6
可以因式分解（在整数范围内）的整数值
a
，并且
将其进
行因式分解．
考点
：
因<
/p>
式分解
-
十字相乘法等．
分析：
根
据十字相乘法的分解方法和特点可知：
a
是﹣
6
的两个因数的和，则﹣
6
可分成
3
×
2
（﹣
2
）
，﹣
3
×
2
，
6
×
（﹣
1
）
，﹣
6
×
1<
/p>
，共
4
种，所以将
x
+ax
﹣
6
分解因式后有
4
种情
况．
2
解答：
解
：
x
+x
﹣
6=
（
x+3
）
（
x
﹣
2
）
；
2
x
﹣
x
﹣
6=
（
x
﹣
3
）
（
x+2
）
；
2
x
+5x
﹣
6=<
/p>
（
x+6
）
（<
/p>
x
﹣
1
）
；
2
x
﹣
5x
﹣
6=
（
x
﹣
6
）
（
x+1
）
．
2
2
2
2
.