因式分解的7种方法和4种思路
-
因式分解的常用方法
1.
提公因式法：
ma+mb+mc=m(a+b+c)
2.
运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因
式分解中常用的公式，例如：
(1)(a+b)(a-b) =
a
2
-b
2
——
a
2
-b
2
=(a+b)(a-b)
；
(2)
(a±b)
2
=
a
2
±2ab+b
2
——
a
2
±
2ab+b
2
=(a±b)
2
；
(3) (a+b)(a
< br>2
-ab+b
2
)
=a
3
+b
3
——
a
3<
/p>
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
)
；
(4) (a-b)(a
2
+ab+b
2
) =
a
3
-b
3
——
a
3
-
b
3
=(a-b)(a
2
+ab+b
2
)
．
下面再补充两个常用的公式：
2
；
(5)a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2bc+2c
a=(a+b+c)
(6)a
3
+b
3
+c
3
-3
abc=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-
ca)
；
例
已知
a
，
b<
/p>
，
c
是
ABC
的三边，且
a
2
b
2
c
2
ab
bc
ca
，
<
/p>
则
ABC
的形
状是（
）
A.
直角三角形
B
等腰三角形
C
等边三角形
D
等腰直角三角形
解：
a
2
b
2
c
2
ab
bc
ca
2
a
2
2
b
2
2
c
2
2
ab
2
bc
2
ca
(
a
b
)
(
b
c
)
(
c
a
)
0
a
b
c
2
2
2
3.
分组分解法
(1)
分组后能直接提公因式
例
1
分解因式：
am
an
bm
bn
1
分析：从
“
整体
”
看，这个多项式的各项既没有
公因式可提，也不能运用
公式分解，但从
“
局部
”
看，这个多项式前两项都
含有
a
，后两项都含有
b
，
因此可
以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两
组之间的联系。
解：原式
=
(
am
an
)
(
bm
bn
)
=
a
(
m
n
)
b
(
m
n
)
=
(
m
n
)(
a
b
)
例
2
分解因式：
2
ax
10
ay
5
by
bx
解法一：第一、二项为一组；
第三、四项为一组。
解法二：第一、四项为一组；
第二、三项为一组。
每组之间还有公因式！
解：原式
=
(2
ax
10
ay
)
(5
by
bx
)
原式
=
(2
ax
bx
)
(
10
ay
5
by
)
=
2
a
(
x
5
y
)
b
(
x
5
y
)
=
(
x
5
y
)(2
a
b
)
=
x
(2
a
b
)
5
y
(2
a
b
)
=
(2
a
b
)(
x
5
y
)
(2)
分组后能直接运用公式
例
3
分解因式：
x
2
y
2
ax
ay
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，
虽然可以提公因
式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式
=
(
x
2
y
2
)
(
ax
ay
)
=
(
x
y
)(
x
y
)
a
(
x
y
)
=
(
x
y
)(
x
y
a
)
例
4
分解因式：
a
2
2
ab
b
c
2
2
2
(
a
2
2
ab
b
)
c
2
2
2
解：原式
=
2
=
(
a
b
)
c
=
(
a
b
c
)(
a
b
c
)
4.
十字相乘法
(1)
二次项系数为
1
的二次三项式
直接利用公式
——
x
2
(
p
q
)
x
pq
(
x
p
)(
x
q
)
进行分解。
特点：
< br>a.
二次项系数是
1
；
b.
常数项是两个数的乘积；
c.
一次项系数是常数项的两因数的和。
例
已知
0
＜
a
≤5
，且
a
为整数，若
2
x
2
3
x
a
能用十字相乘法分解因
式，求符合条件的
a
.
解
析
：<
/p>
凡
是
能
十
字
相
乘
的
二
次
三
项
式
ax
2
+bx+c
< br>，
都
要
求
b
2
4
ac
>0
而且是一个完全平方数。
于是
9
8
a
为完全平方数，
a
1
例
5
分解因式：
x
2
5
x
6
分析：将
6
分成两个数相乘，且这两
个数的和要等于
5
。
由于
6=2
×
3=(-2)<
/p>
×
(-3)=1
×
6=(-1)
×
(-6)
，从中可以
发现只有
2
×
3
的分解适
合
，
即
2+3=5
。
1
2
解：
x
2
5
x
6
=
x
2
(2
3)
x
2
3
=
(
x
2)(
x
3)
1
1
×
2+1
×
3=5
3
3
用此方法进行分解的关键：将常数
项分解成两个因数的积，且这两个因数
的代数和要等于一次项的系数。
例
6
分解因式：
x
2
7
x
6
解：原式
=
x
2
[(
1)
(
6)]
x
(
1)(
6)
1
-1
=
(
x
1)(
x
6)
1
-6
（
-1
）
+
（
-6
）
= -7
(2)
二次项系数不为
1
的二次三项式
——
ax
2
bx
c
条件：（
1
）
a
a
1
a
c
（
2
）
c
c
2
a
1
1
2
c
a
1
（
3
）
b
a
2
2
1
1
c
a
c
2
c
2
b
c
a
1
2
a
2
c
1
分解结果：
ax
2
bx
c
=
(
1
x
c
)(
a
x
c
)
a
1
2
2
例
7
分解
因式：
3
x
2
11
x
10
分析：
1
-2
3
-5
（
-
6
）
+
（
-5
）
=
-11
解：
3
x
2
11
x
10
=
(
x
2)(3
x
5)
(3)
二次项系数为
1
的齐次多项式
例
8
分解因式：
a
2
8
ab
128
b
2
分析：将
b
看成常数，把原多项式看成关于
a
的二次三项式，利用十字
相
乘法进行分解。
1
8b
1
-16b
8b+(-16b)=
-
8b
解：
a
2
8
ab
128
b
2
=
a
2
[8
b
(
16
b
)]
a
8
b
(
16
b
)
=
(
a
8
b
)(
a
16
b
)
4
（
4
）二次项系数不为
1
的齐次多项式
例
9
、
2
x
2
7
xy
6
y
2
例
10
、
x
2
y
2
3
xy
2
把
xy
看作一个整体
1
-1
1
-2
(-1)+(-2)= -3
解：原式
=
(
xy
1)(
xy
2)
1
-2y
2
-3y
(-3y)+(-4y)= -7y
解：原式
=
(
x
2
y
)(2
x
3
y
)
5.
换元法
例
13
分
解因式（
1
）
2005
x
2
(2005
2
1)
x
2005
2
（
2
）
(
x
1)(
x
2)(
x
3)(
x
6)
x
解<
/p>
：
（
1
）设
2005=
a
，则原式
=
ax
2
(
a
2
1)
x
a
=
(
ax
1)(
x
a
)
=
(2005
x
1)(
x
2005)
（
2
）型如
abcd
e
的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
(
x
2
7
x
6)(
x
5
x
6)
x
2
2
原式
=
设
x
2
5
x
6
A
，则
x
2
7
x
6
A
2
x
2
2
2
∴
原式
=
(
A
2
x
)
A
x
=
A
2
Ax
x
2
=
(
A
x
)
=
(
x
2
6
x
6)
2
例
14
分
解因式（
1
）
2
x
4
x
3
6
x
2
x
2
观察：此多项式的特点
——
是关于
x
的降幂排列，每一项的次数依次少
1
，
并且系
数成
“
轴对称
”
。这种多项式属于
“
等距离多项式
”
。
方法：提中间项的字母和它的次数
，保留系数，然后再用换元法。
解：原式
=
(2
x
)
x
6
1
1
2(
x
1
)
(
x
1
x
2
2
=
x
2
2
x
x
x
2
2
5
)
x
6
1
1
设
x
t
，则
x
2
x
x
2
2
t
2
∴
原式
=
x
（
2
2
2)
6
=
2
10
t
t
x
2
t
2
t
2
2
1
=
x
2
2
t
5
t
2
=
x
2
x
5
x
2
2
x
x
2
1
=
·
2
x
x
x
x
=
2
5
2
2
1
2
·
x
5
·
x
x
2
x
2
x
x
=
(
x
1)
2
(2
x
1)(
x
2)
（
2
）
x
4
4
x
3
x
2
4
x
1
4
1
解：原式
=
x
x
x
1
2
2
=
2
2
1
x
1
4
x
(
4
1
)
x