因式分解最牛最全的方法
-
因式分解
一
、
提
公
因
式
法
.
：
ma+mb+mc
=m(a+b+c)
二、运用公式法
.
< br>在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因
式分解中
常用的公式，例如：
(1)
(a+b)(a-b) =
a
2
-b
2
a
2
-b<
/p>
2
=(a+b)(a-b)
；
(2)
(a
±
b)
2
= a
2
±
2ab+b
2
a
2
±
2ab+b
2
=(a
±
b)
2
；
(3) (a+b)(a
2
-ab+b
2
)
=a
3
+b
3
a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
)
；
(4) (a-b)(a
2
+ab+b
2
) =
a
3
-b
3
a
3
-b<
/p>
3
=(a-b)(a
2
< br>+ab+b
2
)
．
下面再补充两个常用的公式：
(5)a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)
2
；
(6)a
3
+b
3
+c
3
-3abc=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-
bc-ca)
；
例
< br>.
已知
a
，
b
，
c
是
ABC
的三边，且
a
b
c
ab
bc
ca
，
2
2
2
则
ABC
的形状是（
）
A.
直角三角形
B
等腰三角形
C
等边三角形
D
等腰直角三角
形
解
：
a
b
c
ab
bc
ca
2
a
2
b
2
c
2
ab
2
bc
2
ca
(
a
b
)
(
b
c
)
(
c
a
)<
/p>
0
a
b
c
三、分组分解法
.
（一）分组后能直接提公因式
例
1
、分解因式：
am
an
bm
bn
分析：从“整体”看，这个
多项式
2
2
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
的各项既没有公因式可提，
也不能
运用公式分解，但从“局部”看，
这个多项式前两项都含有
a
，
后两
项都含有
b
，
因此可以考虑将前两
< br>项分为一组，
后两项分为一组先分
解，然后再考虑两组之
间的联系。
解：原式
=
(
am
an
)
(
bm
bn
)
=
a
(
m
n
)
b
(
m
< br>n
)
每组之间还有公因式！
=
(
m
n
)(
a
b
)
例
2
、分解因式：
2
ax
10
ay
5
by
bx
解法一：
第一、
二项为一组；
解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一
组。
第二、三项
为一组。
解
：
原
式
=
(
2
ax
10
ay
)
(
5
by
bx
)
原
式
=
(
2
ax
bx
)
(
10
ay
5
by
)
2
a
(
x
5
y
)
b
(
x
5
y
)
=
=
x
(
2
a
b
)
5
y
(
2
< br>a
b
)
=
(
x
5
y
)(
2
a
b
)
=
(
2
a
b
)(
x
5
y
)
（二）分组后能直接运用公式
例
3
、分解因式：
x
y
ax
ay
分析：若将第一、三
项分为一组，
第二、
四项分为一组，
虽
然可以提
公因式，但提完后就能继续分解，
所以只能另外分组。
解：原
式
=
(
x
<
/p>
y
)
(
ax
ay
)
=
(
x
y
)(
x
y
)
a
(
x
y
)
=
(
x
y
)(
x
y
a
)
例
4:
分解因式：
< br>a
2
ab
b
c
解：原式
=
(
a
2<
/p>
ab
b
)
c
=
(
a
b
)
c
=
(
a
b
c
)(
a
b
c
)
四、十字相乘法
.
< br>（一）
二次项系数为
1
的二次三
项
式
2
2<
/p>
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
直
接
利
用
公
式
—
—
x
(
p
q
)<
/p>
x
pq
(
x
p
)(
x
q
)
进行分解。
特点：<
/p>
（
1
）二次项系数是
1
；
（
2
）常数项是两个数的乘
积；
（
3
）一次项系数是常数
项的两
因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律
例<
/p>
.
已知
0
＜
a
≤
5
，且
a
为整数，若
2
x<
/p>
3
x
a
能用十字相乘法分解因式，
求符合条件的<
/p>
a
.
解析：
凡是能十字相乘的二次三项
<
/p>
式
ax
2
+bx
+c
，都要求
b
4
ac
>0
而
且是一个完全平方数。
于是
9
8
a
为完全平方数
，
a
1
例
5
、分解因式：
x
5<
/p>
x
6
分析：
将
6
分成两个
数相乘，
且这
两个数的和要等于
5
。
由于
6=2
×
3=
(-2)
×
(-3)=1
×
2
2
2
2
6=(-1)
×
(-6)
，从
中可以发现只有
2
×
3
的
分
解
适
合
，
即
2+3=5
。
1
2
解
：
x
5
x
6
=
x
(
2
< br>3
)
x
2
3
1
3
=
(
x
2
)(
x
3
)
1
×
2+1
×
3=5
用此方法进行分解的关键：
将常数<
/p>
项分解成两个因数的积，
且这两个
因数的
代数和要等于一次项的系
数。
例
6
、分解因式：
x
7
x
6<
/p>
解
：
原
式
=
x
[(
1
)
(
6
< br>)]
x
(
1
)(
6
)
1
-1
=
(
x
1
)(
x
6
)
1
-6
（
-1<
/p>
）
+
（
-6
）
= -7
<
/p>
2
2
2
2
（二）
二次项系数不为
1
的二次三
项式——
ax
bx
c
条
件
：
（
1
）
a
a
a
a
c
c
c
c
（
2
）
a
c
b
a
c
a
c
（
3
）
b
a
c
a
c
分解结果：
ax
bx
c
=
(
a
x
c
)(
a
x
c
)
例
7
、分解
因式：
3
x
11
x
10
分
析
：
1
-2
3
-5
（
-6
）
+
（
-5
）
=
-11
解：
3
x
11
x
10
=
(
x
2
)(
3<
/p>
x
5
)
（三）
二次项系数为
1
的齐次多项
式
< br>2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
例
< br>8
、分解因式：
a
8
ab
128
b
分析：将
b
看成常数，把原多项式
看成关于
a
的二次三项式，利用十
字相乘法进行分解。
1
8b
1
-16b
8b+(-16b)=
-8b
解
：
a
8
ab
128
b
=
a
[
8
b
(
16
b
)]
a
8
b
(
16
b
)
=
(
a
8
b
)(
a
16
b
)
（四）
二次项系数不为
1
的
齐次多
项式
2
x
7
xy
6
y
x
y
3
< br>xy
2
1
-2y
把
xy<
/p>
看作一个整体
1
-1
2
-3y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
-2
(-3y)+(-4y)=
-7y
(-1)+(-2)=
-3
解
：
原
式
=
(
x
2
y
)(
2
x
3
y
)
解：原式
=
(
xy
1
)
(
xy
2
)
五、换元法
2005
x
(
2005
1
)
x
< br>
2005
例
13
、
分解因式
（
1
）
（
2
）
(
x
1
)(
x
2
)(
x
3
)(
x
6
)
x
解：
（
1
）设
2005=
a
，则原式
=
ax
(
a
1
)
x
a
=
(
ax
1
)(
x
a
)
=
(
2005
x
1<
/p>
)(
x
200
5
)
（
2<
/p>
）
型如
abcd
e
的多项式，
分解因
式时可以把四个因式两两分组相
乘。
2
2
2
2
2
原式
=
(<
/p>
x
7
x
6
)(
x
5
x
6
)
x
< br>
设
x
5
x
6
A
，
则
x
7
x
6
A
2
x
∴原式
=
(
A
< br>2
x
)
A
x
=
A
2
Ax
x<
/p>
=
(
A
x
)
=
(
x
6
x
< br>6
)
观察：
< br>此多项式的特点——是关于
x
的降幂排列，每一项的次数
依次
少
1
，并且系数成“轴对称”
。这
种多项式属于“等距离多项式”
。
方法：提中间项的字母和它的次
数，保留
系数，然后再用换元法。
解
：
原
式
1
1
1
=
x
(
2
x
x
6
1
)
=
x<
/p>
2
(
x
)
(
x
)
6
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
设
x
1
t
，则
x
x
2
2
2
2
2
2
2
1
t
2
2
2
x
2
t
2
< br>)
t
6
=
x
2
t
t
10
∴原式
=
x
（
2
1
=
x
2
t
5
t
2
=
x
2
x
5
x
<
/p>
2
x
x
2
1
x
·
=
x
·
< br>2
x
5
·
x
2
=
2
x
x
x
2
2
< br>
5
x
2
x
2
2
x
1
<
/p>
=
(
x
1
)
(
2
x
1
)(
x
2
)