分解因式全部方法
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分解因式全部方法
因式分解没有普遍的方法，
初中数学教材中主要介绍了提公因式法、
公式法。
而
在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和
十字相乘法，待定系数法，双十
字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，
求根公式法，换元法，
长除法，除法等。
注意三原则
1
分解要彻底
2
最后结果只有小括号
3
最后结果中多项式首项系数为正
（例如：
-3x^2+x=-x(3x-1)
）
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基本方法
⑴提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，
可以把这个公因式提出来，
从而将多项式化
成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：
当各项系数都是整数时，
公因式的系数应取各项系数的最大公约数；
< br>字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，
多
项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，
一般要提出
“
-
”
号，
使括号内
的第一项的系数成为
正数。提出
“
-<
/p>
”
号时，多项式的各项都要变号。
口诀：找准公因式，一次要提净；
全家都搬走，留
1
把家守；提负要变号，变
形看奇偶。
例如：
-am+bm+cm=-m(a-b-c)
；<
/p>
a(x-
y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)
。
注意：把
2a^2+1/2
变成
2(a^2+1/4)
不叫提公因式
⑵公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种
方法叫公式法。
平方差公式：
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
；
完全
平方公式：
a^2±
2ab
＋
b^2
＝
(a±
b)^
2
；
<
/p>
注意：
能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，
其中有两项能写
成两个数
(
或式
)
的平方和的形式，另一项是这两个数
(
或式
)
的积的
2
倍。
立方和公式：
a^3+b^3=(a
+b)(a^2-ab+b^2)
；
立方差公式：
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
；
完全立方公式：
< br>a^3±
3a^2b
＋
3ab^
2±
b^3=(a±
b)^3
．
公式：
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-
bc-ca)
1
例如：
a^2 +4ab+4b^2
=(a+2b)^2
。
（
3
）分解
因式技巧
1.
分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.
分解因式技巧掌握：
①等式左边必须是多项式；
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；
③每个因式必须是整式，且每个因
式的次数都必须低于原来多项式的次数；
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：
分解
因式前先要找到公因式，
在确定公因式前，
应从系数和因式两个
方面
考虑。
3.
提公因式法基本步骤：
（
1
）找出公因式；
（
2
）提公
因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因
式，
注意要确定另一个因式，
可用原多项式
除以公因式，
所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，
也
可用公因式分别除去
原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
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竞赛用到的方法
⑶分组分解法
分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。
能分组分解的方程有四项或大于四
项，
一般的分组分解有两种形式：
二二分法，
< br>三一分法。
比如：
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我们把
ax
和
ay<
/p>
分一组，
bx
和
by
分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即
解除了困难。<
/p>
同样，这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
几道例题：
1.
5ax+5bx+3ay+3by
解法：
=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
说明：系数不一样一样可以做分组
分解，和上面一样，把
5ax
和
5bx
看成整
体，把
3ay
< br>和
3by
看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2
2. x^3-x^2+x-1
解法：
=(x^3-x^2)+(x-1)
=x^2(x-1)+
(x-1)
=(x-1)(x2+1)
利用二二分法，提公因式法提出
x2
，然后
相合轻松解决。
3. x2-x-y2-y
解法：
=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法，再利用公式法
a2-
b2=(a+b)(a-b)
，然后相合解决。
⑷十字相乘法
这种方法有两种情况。
①
x^2+(p+q)x+pq
型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项
的系数是
1
；常数项是两个数的积；一次项
系数是常数项的两个因数的和。
因此，
可以直接将某些二次
项的系数是
1
的二次
三项式因式分解：
x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
．
②
kx^2+mx+n
型的式子的因式分解
如果有
k=ac
，
n=bd
，且有
ad+bc=m
时，那
么
kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)
．
图示如下：
×
c d
例如：因为
1 -3
×
7 2
-3×
7=-21
，
< br>1×
2=2
，且
2-21=-1
9
，
所以
7x^2-19x-6=(7x
+2)(x-3)
．
十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中
⑸拆项、添项法
这种方法指把多项式的某一项拆开
或填补上互为相反数的两项
（或几项）
，
使
原式适合于提公因式法、
运用公式法或分组分解法进行分解
。
要注意，
必须在与
原多项式相等的原
则下进行变形。
例如：
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)
3
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
．
⑹配方法
对于某些不能利用公式法的多项式，
可以将其配成一个完全平方式，
然后再利
用平方差公式，就能将
其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一
种特殊情况。也要注意必须在与
原多项式相等的原则下进行变形。
例如：
x²
+3x-40
=x²
+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)²
-(6.5)²
=(x+8)(x-5)
．
⑺应用因式定理
对于多项式
f(x)=0
，如果
f(a)=0
，
那么
f(x)
必含有因式
x-a
．
例如：
f(x)=x²
+5x+6
，
f(-2)=0
，则可确定
x+2
是
x²
+5x+6
的一个因式。
(
事实
上，<
/p>
x²
+5x+6=(x+2)(x+3)
．
)
注
意：
1
、对于系数全部是整数的多项式，若
X=q/p
（
p,q
为互质整数时
）该多
项式值为零，则
q
为常数项约数
，
p
最高次项系数约数；
2
、对于
多项式
f(a)=0,b
为最高次项系数，
c
为常数项，则有
a
为
c/b
约数
⑻换元法
有时在分解因式时，
可以选择多项式
中的相同的部分换成另一个未知数，
然后
进行因式分解，最后再
转换回来，这种方法叫做换元法。
注意
:
换元后勿忘还元
.
例如在分解
(x²
+x+1)(x²
+x+2)-12
时，可以令
y=x²
+x,
则
原式
=(y+1)(y+2)-12
=y²
+3y+2-12=y²
+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x²
+x+5)(x²
+x-2)
=(x²
+x+5)(x+2)(x-1)
．
也可以参看右图。
⑼求根法
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