初中数学因式分解常见方法及例题详解
-
..
初中因式分解的常用方法及例题详解
一、提公因式法
.
如多项式
am
bm
cm
m
(
a
b
c
),
其中
m
叫做这个多项式各项的公因式，
m
既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
二、运用公式法
.
运用公式法，即用
a
2
b
2
(
a
b
)(
a
b
),
a
2
2
a
b
b
2
<
/p>
(
a
b
)
2
,
a
3
b
3
(
a
b
)(
a
2
ab
b
2
)
写出结果．
三、分组分解法
.
（一）分组后能直接提公因式
例
1
、分解因式：
am
an
bm
bn
分析：从“整体”看，这个
多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，
这个多项式前
两项都含有
a
，
后两项都含有
b
，
因此可以考虑将前两项分为一组，
后两项分为一组先分解，
然后再考虑两组之间的联系。
< br>
解：原式
=
(
am
an
)
(
bm
< br>bn
)
=
a
(
m
n
)
b
(
m
n
< br>)
每组之间还有公因式！
=
(
m
n
)(
a
b
)
思考：此题还可以怎样分组？
此类型
分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
例
2
、分解因式：
2
ax
10
ay
5
by
bx
解法一：第一、二项为一组；
解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式
=
(
2
ax
10
ay
)
(
5
by
bx
)
原式
=
(<
/p>
2
ax
bx<
/p>
)
(
10
ay
5
by
)
=
2
a
(
x
5
y
)
b
(
x
< br>
5
y
)
=
x
(
2
a
b
)
5
y
(
2
< br>a
b
)
=
(
x
5
y
)(
2
a
b
)
=
(
2
a
b
)(
x
5
y
)
练习：分解因式<
/p>
1
、
a
ab
ac
bc
2
、
xy<
/p>
x
y
1
（二）分组后能直接运用公式
例
3
、分解
因式：
x
y
ax
ay
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就
能继续分解，
所以只能另外分组。
解：原式
=
(
x
y
)<
/p>
(
ax
ay
)
=
(
x
y
)(
x
y
)
a
(
x
y
)
=
(
x
y
)(
x
y
a
)
例
4
、分解
因式：
a
2
ab
b
c
解：原
式
=
(
a
<
/p>
2
ab
b
)
c
=
(
a
b
)
c
=
(
a
b
c
)(
a
b
c
)
注意这两个例题的区别！
练习：分解
因式
3
、
x
x
9
y
3
y
4
、
x
y
z
2
yz
;.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
..
综合练习：
（
1
）
x
x
y
xy
y
（
2
）
ax
bx
bx
ax
a
b
2
2
2
2
2
（
3
）
x
6
xy
9
y
16
a
< br>
8
a
1
（
4
）
a
6
ab
12
b
9
b
4
a
2
2
2
2
4
3
2
（
5
）
a
2
a
< br>
a
9
（
6
）
4
a
x
4
a
y
b
x
b
< br>y
2
2
2
2
（
7
）
x
2
xy
xz
yz
y
（
8
）
a
2
a
b
2
b
2
ab
1
（
9
）
y
(
y
2
)
(
m
1
)(
m
1
)
（
10<
/p>
）
(
a
c
)(
a
c
)
b
(
b
2
< br>a
)
2
2
2
3
3
3
（
11
）
a
(
b
c
)
b
(
a
c
)
c
(
a
b<
/p>
)
2
abc<
/p>
（
12
）
a
b
c
3
abc
四、十字相乘法
< br>.
（必须掌握）
（一）二次项
系数为
1
的二次三项式
直接利用公式——
x
(<
/p>
p
q
)
x
pq
(
x
p
)(
x
q
)
进行分解。
特点：
（
1
）二次项系数是
1
；
（
2
）常数项是两个数的乘积；
（
3
）一次项系数是常数项的两因数的和。
2
2
3
2
2
3
2
2
例
5
、分解因式：
x
5
x
6<
/p>
分析：将
6
分
成两个数相乘，且这两个数的和要等于
5
。
由于
6=
2
×
3=(-2)
×
< br>(-3)=1
×
6=(-1)
×
(-6)
，从中可以发现只有
2
×
3
的分解适合，即
2+3=5
。
1
2
2
2
解：
x
5
x
6
=
x
(
2
3
)
x
< br>2
3
1
3
=
(
x
2
)(
x
3
)
1
×
2+1
×
3=5
用此方法进行分解的关键：
将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例
6
、分解因式：
x<
/p>
7
x
6
解：原式
=
x
[(
1
)
(
6
)]
x
(
1
< br>)(
6
)
1
-1
=
(
x
1
)(
x
6
)
1
-6
（
-1
）
+<
/p>
（
-6
）
=
-7
练习
5
、分解因式
(1)
x
14
x
24
(2)
a
15
a
36
(3)
x
4
x
5
2
2
2
练习
6
、分解因式
(1)
x
<
/p>
x
2
(2)
y
2
y
15
(3)
x
10
x
24
2
（二）
二次项系数不为
1
的二次三项式——
a
x
bx
c
条件：
（
1
）
a
a
1
a
2
a
1
c
1
（
2
）
c
c
1
c
2
a
2
c
2
（
3
）
b
a
1
c
2
a
2
c
< br>1
b
a
1
c
2
a
2
c
1
< br>分解结果：
ax
bx
c
=
(
a
1
x
< br>c
1
)(
a
2
x
c
2
)
例
7<
/p>
、分解因式：
3
x
11
x
10
分析：
1
-2
3
-5
（
-6
）
+
（
-5
）
= -11
;.
2
2
2
2
2
2
2
..
解：
3
x<
/p>
11
x
10
=
(
x
2
)(
3
x
5
)
练习
7
、分解因式：
（
1
）
5
x
7
x
6
（
2
）
3
x
7
x
2
2
（
3
）
10
x
17
x
3
（
4
）
6
y
11
y
10
（三）二次项系数为
1
的齐次多项式
2
2
2
2
例
8
、分解因式：
a
8
ab
128
b
分析：将
b
看成常数，把原多项式看成关于
a
的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1
8b
1
-16b
8b+(-16b)= -8b
2
2
2
解：
a
<
/p>
8
ab
128
b
=
a
[
8
b
(
16
b
)]
a
8
b
(
< br>16
b
)
=
(
a
8
b
)(
a
16
b
)
练习
8
、分解因式
(1)
x
<
/p>
3
xy
2
y
(2)
m
6
mn
8
n
(3)
a
ab
6
b
（四）二次项系
数不为
1
的齐次多项式
例
9
、
2
< br>x
7
xy
6
y
例
10
、<
/p>
x
y
3
xy
2
1
-2y
把
xy
看作
一个整体
1
-1
2
-3y
1
-2
(-3y)+(-4y)=
-7y
(-1)+(-2)= -3
解：原
式
=
(
x
<
/p>
2
y
)(
2
x
3
y
)
解：原式
=
(
xy
1
)
(
xy
2
)
2
2
练习<
/p>
9
、分解因式：
（
1
）
15
x
7
xy
4
y
（
2
）
a
x
6
ax
8
2
2
6
3
综合练习
10
、
（
1
）
8
x
7
x
1
（
2
）
12
x
11
xy
15
y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
< br>2
2
2
2
（
3
）
(
x
y
)
3
(
x
y
)
10
（
4
）
(
a
b
)
4
a
< br>4
b
3
2
2
2
2
2
2
（
5
）
x
y
5
x
y
6
x
< br>
（
6
）
m
4
mn
4
n
3
m
6
n
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
（
7
）
x
4
xy
4
y
2
x
4
< br>y
3
（
8
）
5
(
a
b
)
23
(
a
b
)
10
(
a
b
)
< br>2
2
2
2
2
2
（
9
）
4
x
4
xy
6
x
3
y
y
10
（
10
）
12
(
x
y
)
< br>
11
(
x
y
)
2
(
x
y<
/p>
)
2
2
2
2
思考：分解因式：
abcx
(
a
b
c
)
x
ab
c
五、主元法
.
例
11
、分解因式：
x
3
xy
10
y
x
9
y
2
5
-2
解
法一：以
x
为主元
2
-1
解：原式
=
x
x
(
3
y<
/p>
1
)
(
10
y
9
y
2
)
(-5)+(-4)= -9
=
x
x
(
3
y
1
)
(
5
y
< br>
2
)(
2
y
1
)
1
-(5y-2)
=
[
x
(
5
y
2
)][
x
(
2
y
< br>1
)]
1
(2y-1)
=
(
x
5
y
2
)(
x
2
y
1
)
-(5y-2)+(2y-1)=
-(3y-1)
解法二：以
y
为主元
1
-1
解：原式
=
10
y
y
(
3
x
9
)
(
x
x
2
)
1
2
;.
2
2
2
2
2
2
2
2
2