因式分解知识点总结81416
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从中考中因式分解题型看因式分解
所谓因式分
解是把一个整式分成几个因式乘积的形式，
由于这种变形蕴含着变换
的数学思想和方法，
并且对于代数式的求值、
化简具有重要
的意义，
所以中考中
除考察学生对因式分解的方法的选用外，<
/p>
还考察了学生恒等变形的能力。
因式分
解
的思路和方法始终贯穿在代数变换中，它除了在代数的恒等变形中作用巨大，
其他如分式
的通分和约分，以及解方程中都起着重要作用，在根式的化简计算，
三角函数式子的恒等
变形等方面也经常用。
因此在历届中考中因式分解总是以直
接和
间接的方式出题，
且在分值上占有一定的比例，
总之因式分解的
归类分解学
好对进一步研究其他数学问题起到至关紧要的作用
一、
知识梳理
1.
因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式
乘积的形式，这种变形叫因式分解。
即：多项式
几个整式的积
1
1
1
例：
ax
bx
x<
/p>
(
a
b
)
3
3
3
因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。
2.
因式分解的方法：
（
1
）提公
因式法：
①定义：如果多项式的各项有
公因式
，可以
把这个公因式提到括号外面，
将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分
解因式。
公因式：
多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字
母，也可以是一个单项式或多项式。
系数
——
取各项系数的最大公约数
< br>
字母
——
取各项都含有的字母
指数
——
取相同字母的
最低次幂
例：
12
< br>a
3
b
3
c
8
a
3
b
2
c
3
6
a
4
b
2
c
2
的公因式是
．
解析：从多项式的系数和字母两部
分来考虑，系数部分分别是
12
、
-8
、
6
，它们
的
最大公约数为
2
；字母部分
a
3
b
3
c
,
a
3
b
< br>2
c
3
,
a
4
b
2
c
2
都含有因式
a
3
b
2
c
，
故多
项式的公因式是
2
a
3
b
2
c
< br>.
②提公因式的步骤
第一步：找出公因式；
第二步：提公
因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，
所得商即是提公因式后
剩下的另一个因式。
注意：
提取公因
式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项
式中第一项有负号的，要
先提取符号。
例
1
< br>：把
12
a
2
< br>b
18
ab
< br>2
24
a
3
b
3
分解因式
< br>.
解析：
本题的各项系数的最大公约数是
6
，相同字母的最低次幂是
ab
，故
公因式为
6ab
。
解：
12
a
2
b
18
ab
2
24
a
3
b
3
6
ab
(2
a
3
b
4
a
2
b
2
)
例
2
：把多项式
3(
x
< br>4)
x
(4
< br>
x
)
分解因式
解析：
由于
4
x
< br>(
x
4)
，
多项式
3(
x
< br>
4)
x
(4
x
)
可以变形为
3(
x
4)
x
(
< br>x
4)
,
我们可以发现多项式各项都含有公因式
（
x
4
）
,
所以我们可以提取公因式
（
x
<
/p>
4
）后
,
再将多
项式写成积的形式
.
解：
3(
x
4)
x
(4
x
)
=
< br>3(
x
4)
< br>
x
(
x
4)
=
(3
x
)(
x
4)
例
3
：把多项式
x
2
2
x
分解因式
解：
<
/p>
x
2
2
x
=
(
x
2
2
x
)
x
(
x
2)
（
2
）运用公式法
定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分
解因式的方法叫做运用公式法。
a
.
逆用平方差公式：
a
2
b
2
(
a
b
)(
a
b
)
b
.
逆用完全平方公式：
a
2
2
ab
b
2
(
a
b
)
2
3
3
2
c
.
逆用立方和公式：
a
b
(
< br>a
b
)(
a
ab
b
（拓展）
)
2
d
.
逆用立方差公式：
a
3
b
3
(
a
< br>b
)(
a
2
ab
b
2
（拓展）
)
注意
< br>：①
公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
②选择使用公式的方法：主要从项
数上看，若多项式是二项式可考虑平
方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式
。
例
1<
/p>
：因式分解
a
2
14
a
4
9
解：
a<
/p>
2
14
a
49
=
(
a
7)
2
例
2
：因式分解
a
2
2
a
(
b
c
)
(
< br>b
c
)
2
解：
a<
/p>
2
2
a
(
b
c
)
(
b
c
)
2
=
(
a
b
c
)
2<
/p>
（
3
）分组分解法（拓展）
①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；
例：把多项式
ab
a
b
1
分解因式
解：<
/p>
ab
a
b
1
=
(
ab
a
)
(
b
1)
=
a
< br>(
b
1)
(
b
1)
(
a
1)(
b
1
)
②将多
项式分组后能运用公式进行因式分解
.
例：将多项式
a
2
2
ab
1
b
2
因式分解
解：
a
2
2
a
b
1
b<
/p>
2
=
(
a
2
2
ab
b
2
)
1
< br>(
a
b
)
2
1
(
a
b
1)(
a
b
1)
2
x
（
4
）十字相乘法（形如
< br>(
p
q
)
x
pq
(
x
p<
/p>
)(
x
q
)
形式的多项式，可以考
虑运用此种方法）
方法：常数项拆成两个因数
p
和
q
，这两数的和
p
q
为一次项系数
x
2
(
p<
/p>
q
)
x
pq
x
p