因式分解常用方法及练习
-
1
、用提公因式法把多项式进行因式分解
【
知识精读
】
如果多项式的各项有公因式，
根据乘法分配律的逆运算，
可以把这个公因式提到括号外
面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多
项式的公因式
的确定方法是：
（
1
）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（
2
）系数和各项系数的最大公约数，公因
式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解
【
分类解析
】
1.
把下列各式因式分解
（
1
）
a
x
2
m
2
abx
m
1
acx
m
ax
m
3
3
2
2
（
2
）
a
(
a
b
)
2
a
(
< br>b
a
)
2
ab
(
b
a
)
分析：
（
1
）若多
项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项
系数是正数，在提出
“－”号后，多项式的各项都要变号。
解：<
/p>
a
x
2
m
2
abx
m
1
acx
m
ax
m
3
ax
m
(
ax
2
< br>bx
c
x
3
)
（
2
）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如
：当
n
为自然数
时，
< br>(
a
b
)
变换。
解：<
/p>
a
(
a
b
)
2
a
(
b
a
)
2
ab
(
b
a
)
3
2
2
2
n
(
b
a
)
2
n
；
(
a
b
< br>)
2
n
1
(
b
a
)
2
n
1
，是在因式
分解过程中常用的因式
a
(
a
b
)
3
2
a
< br>2
(
a
b
)
2
2
ab
(
a
<
/p>
b
)
a
(
a
b
)[(
a
b
)
2
a
(
a
< br>
b
)
2
b
]
2
a
(
a
b
)(
3
a
2
4
ab
b
2
2
b
)
< br>
2.
利用提公因式法简化计算过程
例：计
算
123
987
987
987
987
268
456
521
1368
1368
1368
1368
- 1 -
分析：
算式中每一项都含有
解：<
/p>
原式
987
，
可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
1368
987
(
123<
/p>
268
45
6
521
)
1368
987
1368
98
7
1368
5
、中考点拨：
例
1
。因式分解
3
x
(
x
2
)
(
2
x
)
解：
3
x
(
x
2
)
(
2
x
)
3
x
(
x
2
)
(
x
2
)
< br>(
x
2
)(
3
x
1
)
说明：因式分解时，应先观察有没
有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。
例
2
．分解
因式：
4
q
(
1
p
)
<
/p>
2
(
p
1
)
解：<
/p>
4
q
(
1
p
)
2
(
p
1
)
3
2
3
2
4
q
(
1
<
/p>
p
)
3
2
(
1
p
)
2
2
(
1
p
)
[
2
q
(
1
p
< br>)
1
]
2
2
(
1
p
)
2
(
2
q
2
pq
1
)
说明：
在
用提公因式法分解因式前，
必须对原式进行变形得到公因式，
同
时一定要注意
符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。
【实战模拟】
1.
分解因式：
（
1
）
4
m
n
12
m
n
2
mn
（
2
）
a
x
2
n
2
2
3
3
2
< br>abx
n
1
< br>
acx
n
< br>adx
n
1
< br>（
n
为正整数）
3
2
2
2
< br>
（
3
）
a
(
a
b
)
2
a
(
b
a
)
2
ab
(
b
a
)
2.
计算：
(
2
)
A.
2
100
11
(
2
)
10
的结果是（
< br>
）
B.
2
10
C.
2
D.
1
3.
已知
x
、
y<
/p>
都是正整数，且
x
(
x
y
)
y
(
y
<
/p>
x
)
12
，求
x
、
y
。
2
、运用公式法进行因式分解
- 2 -
【知识精读】
把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式
完全平方公式
【分类解析】
1.
把
a
2
2
a
b
2
2
b
分解因式的结果是（
）
A.
(
a
b
)(<
/p>
a
2
)(
b
2
)
C.
(
a
b
)(<
/p>
a
b
)
2
2
2
a
2
b
2
(
a
b
)(
a
b
)
a
2
2
ab
b
2
(
a
b
)
2
B.
(
a
b
)(
a
b
2
)
D.
(
a
2
b
)(
b<
/p>
2
a
)
2
2
2
2
2
2
分析：
a
2
a
b
2
b
a
2
a
< br>1
b
2
b
1
(
a
1
)
(
b
1
)
。
3.
在几何题中的应用。
例：已
知
a
、
b
、<
/p>
c
是
ABC<
/p>
的三条边，且满足
a
< br>b
c
ab
bc
ac
0
，试判
2
2
2
断
ABC
的形状。
分析：因为题中有
a
、
b
、
ab
，考虑到要用完全平方公式，首先要把
ab
转成
2
2
< br>2
ab
。所以两边同乘以
2
，然后拆开搭配得完全平方公式之和为
0
，
从而得解。
解：
<
/p>
a
b
c
ab
bc
ac
0
2
2
2
2
a
2
b
2
c
2
ab
2
bc
2
< br>ac
0
2
2
2
(
a
2
ab
b
)
(
b
2
bc
c
< br>)
(
c
2
ac
a
)
0
<
/p>
2
2
2
2
2
2
(
a
b
)
(
b
c
)
(
< br>c
a
)
0
2
2
2
(
a
b
)
0
，
(
b
c
< br>)
0
，
(
c
a
)
0
2
2
2
a
b
0
，
b
c
0
，
< br>c
a
0
a
b
c
ABC
为等边三角形。
5
、中考点拨：
- 3 -
例
1
：因式分解：
x
4
xy
________
。
3
2
解：
x<
/p>
4
xy
x
(
x
4
y
)
x
(
x
< br>2
y
)(
x
2
y
)
3
2
2
2
说明：
因式分解时，
先看有没有公因式。
此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻
底。
例
2
：分解因式：
2
x
y
< br>
8
x
y
8
xy
_________
。
3
2
2
3
解：<
/p>
2
x
y
8
x
y
8
xy
2
xy
(
x
4
xy
4
< br>y
)
2
xy
(
x
2
y
)
3<
/p>
2
2
3
2
2
2
题型展示：
例
1.
已知：
a
2
1
1
1
m
1
，
b
m
2
，
c
m
< br>
3
，
2
2
2
2
2
求
a
2
ab
b
2
ac
c
2
bc
的值。
解：
a
<
/p>
2
ab
b
2
ac
c
2
bc
2
2
2
(
a
b
)
2
c
(
a
b
)
< br>c
2
2
(
a
b
c
)
2
a
1
1
1
m
1
，
b
m
< br>2
，
c
m
3
2
2
2
2
原式
(
a
b
c
)
1
1
1
(
m
1
)
< br>
(
m
2
)
(
m
3
)
2
2
2
1
2
m
4
2
1.
分解因式：
（
2
）
x
(
x
2
y
)
x
(
2
< br>y
x
)
5
2
（
3
）
a
(
x
y
)
2
a
(
x
y
)
< br>(
x
y
)
2
2
3
4
2.
已
知：
x
1
1
3
，求<
/p>
x
4
4
的值。
3.
若
a<
/p>
，
b
，
c
是三角形的三条边，求证：
x
x
a
2
b
< br>2
c
2
2
bc
0
- 4 -
3.
用分组分解法进行因式分解
【知识精读】
分组分
解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法
的关键在
于分组适当，
而在分组时，
必须有预见性。
能预见到下一步能继续分解。
而
“预见”
< br>源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
。
1.
在数学计算、化简、证明题中的应用
例
1.
把
多项式
2
a
(
a
2
a
<
/p>
1
)
a
4
a
2
1
分解因式，所得的结果为（
< br>
）
A
.
(
a
2
a
1
)
2
C
.
(
< br>a
a
1
)
2
2
B
.
(
a
2
a
1
)
2
D
.
(
a
a
< br>
1
)
2
2
分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法
分解彻底。
故选择
C
例
2.
分解因式
x
5
x
4
x
3
<
/p>
x
2
x
1
2.
在几何学中的应用
例：已
知三条线段长分别为
a
、
b
、
c
，且满足
a
b
，
a
2
c
2
< br>
b
2
2
ac
证明：以
a
、
b
、
c<
/p>
为三边能构成三角形
分析：
构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于
第三边”
证明：
a
2
c
2
b
2
2
ac
- 5
-
a<
/p>
2
c
2
b
2
2
ac
0
a
2
< br>2
ac
c
2
b
2
0
，即
(
a
c
)
2
b
2
0
(
a
c
b
< br>)(
a
c
b
)
0
又
a
<
/p>
c
b
a
c
b
a
c
b
0
，
a
c
b
0<
/p>
a
b
c
，
a
b
c
即
a
b
c
a
b
以
a<
/p>
、
b
、
c
为三边能构成三角形
4
、中考点拨
例
1.<
/p>
分解因式：
1
m
2
n
2<
/p>
2
mn
_____________
。
例
2
．分解因式：
x
2
y
2
x<
/p>
y
____
________
例
3.
分解因式：
< br>x
3
3
x
2
4
x
12
__
__________
解：
x
3<
/p>
3
x
2
4
x
12
x
3
4
x
< br>3
x
2
12
x
(
x
2
4
)
3
(
x
2
4
< br>)
(
x
3
)(
x
2
)(
x
2
)
【实战模拟】
1.
填空题：
2
（
1
）
分
解<
/p>
因
式
a
：
3
a
b
2
3
b
2
：
2
x
4
x
y
4<
/p>
y
2
4
y
（
2
）
分
解
因
式
x
（
3
）
分
解
< br>因
式
1
：
mn
(
1
mn
)
m
3
n
3
2.
已知：
a
b
c
0
，求
a
3
a
2
c
abc
b
2
c
b
3
的值。
4
、因式分解小结
【知识精读】
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，
它和整式乘法
互为逆运算，
在初
中代数中占有重要的地位和作用，
在其它学科中也有广泛应用，
学习本章知识时，
应
注意以
- 6 -