取整函数.doc
-
.
一、取整函数的性质
⑴函数
y=[x]
的定义域为
R
，值域
Z
；
⑵若
n
∈
Z
，当
n
≤
3 <
br>]+[log ,
x
时
,[x]=n;
⑶当
x
1
2
时，恒有
[x
1
]
≤
[x
2
]
；
⑷
x-1<[x]
≤
x<[x]+1
；
⑸若
n
∈
Z
，则
[n+x]=n+[x]
，由这一性质可知
f
（
x
）
=[x]
是最小正周期为
1
的周期函数
.
二、取整函数在求值中的应用
1
2
1.
求值；
[log
2
]+[log
2
]+[log
3
2
]+[log
2
4
]+
．．．
+[log
2
50
]
n+1
解析：由取整函数的性质⑵可得
所以
[log
2
1
]+[log
2
2
2
,
当
2
≤
x<2
n
(n
∈
Z)
时
,[x]=n,
2
]+[log
2
4
]+
．．．
+[log
50
]=0+2
×
1+4
×
2+8
×
3+16
×
4+5
×
(50-31)=243
2.
由数
[1/100]
，
[4/100]
，
[9/100]
，
[16/100]
．．．．．．
[10000/100]
〕组成集合
A
，求集合
A
中的元素的个数。
解析：设
f
（
n
）
=
n
2
，则
f
（
n+1)-f
（
n
）
=
2n 1
100
，
100
50
2
51
2
100
2
当
n
≥
50
时
f
（
n+1)-f
（
n
）
>1
所以
[
],[
],...,[
]
是
51
个互不相等的数
100
100
100
当
1
≤
n
≤
49
时
f
（
n+1)-
f
（
n
）
<1,
且
[f
（
1)]=0,[f
（
49
）
]=[24.01]=24
所以
1
≤
n
≤
49
时
0
≤
[f
（
n
）
]
≤
24
且能取到该范围内的任一个整数
所以集合
A
中的元素的个数为
51+25=76.
点评：根据取整函数定义恰当进行分类，是解决以上两题的关键
.
3
、求
sin1
sin
2
sin3
sin
4
sin5
的值
.
解析：
sin1
、
sin2
、
sin 3 (0,1)
，
sin4
、
sin 5 (
1,0)
三、取整函数在函数的应用
.4
、定义
f
（
x
）
=x-[x]
，则以下结论正确的是（）
A.f
（
3
）
=1.B.
方程
f
（
x
）
=0.5
有且仅有一个实根
C.f
（
x
）是周期函数
D.f
（
x
）是增函数
.
解析：因为
x
∈
Z
时
f
（
x
）
=0
，所以排除
A
、
D
，又
f
（
0.5
）
=f
（
1.5
）
=0.5
，排除
B.
选
C.
点评：该题以取整函数
为载体，综合考查函数的有关性质，试题新颖灵活
5.
用
[
x
]
表示不超过
x
的最大整数，如
[1.8]=1
．对于下面关于函数
.
f (x)
①函数
( x
[ x])
2
的四个命题：
y
f (
x)
的定义域为
R
，值域为
[0,1]
；
②函数
y f ( x)
的图象关于
y
轴对称；
③函数
y
y
f ( x)
是周期函数，最小正周期为
f (
x)
在
1
；
上是增函数．
其中正确命题的序号是．
（写出所有正确命题的序号）
④函数
(0,1)
答案：③④
7.
已知
f
（
x
）
=x[x]
的定义域为
[0
，
3]
，求
f
（
x
）的值域
.
解析：⑴当
0
≤
x<1
时
[x]=0,f
（
x
）
=0;
⑵当
1
≤
x<2
时
[x]=1,f
（
x
）
=x,
此时
1
≤
f
（
x)<2;
⑶当
2
≤
x<3
时
[x]=2,f
（
x
）
=2x,
此时
4
≤
f
（
x
）
<6;
⑷当
x=3
时
[x]=3,
此时
f
（
x
）
=9
.
综上所述
,f
（
x
）的值域为
{y|y=0
或
1
≤
y<2
或
4
≤
y<6
或
y=9}.
点评：根据
n
≤
x
∈
Z)
时
[x]=n
合理进行分类
,
是解决本题的关键
.
8.
设
f
（
x
）
=
2
x
-
1
，则
[f
（
x
）
]+[f
（
-x
）
]
的值域为＿
x
1
2
2
2
x
1
1
1
（
1
2
x
）
2
x
=
1 1
2
x
2
x
1
<1,
所以
-
1
解析：
f
（
-x
）
=
1
当
-
2
x
-
2
=
2
x
1
-
2
1
2
x
-
2
=
2
-
1
2
x
=-f
（
x
）
.
又
0<
1 2
x
2
（
x
）
<
2
.
1
2
（
x
）
<0
时
[f
（
x
）
]+[f
（
-x
）
]=-1+0=-1.
当
0
（
x
）
<1
时
,[f
（
x
）
]+[f
（
-x
）
]=0+(-1)=-1.
当
f
（
x
）
=0
时
[f
（
x
）
]+[f
（
-x
）
]=0.
综上所述
,
函数
[f
（
x
）
]+[f
（
-x
）
]
的值域为
{-1
、
0}.
点评：本题以取整函数为载体
,
考查函数值域的求法及函数奇偶性的判定
,
内容基础
,
考查方式灵活
.
9.
对于给定的
n
*
x
N
，定义
C
n
n(n
1)
(n
[ x]
1)
, x
[1, )
，当
x
x
[ ,3)
时，函数
C
8
的值域是
3
2
x(x 1) ( x
[ x] 1)
A
．
[
16
,28]
B.
[
解：当
3
3
2
,56)
C.
( 4,
)
[28,56]
D.
( 4,
]
(
,28]
3
3
3
3
8
16
x
3
时，
x
2
时，
[ x] 1
，
C
8
[ x] 2
( 4,
]
，当
2 x
x
3
(
28
3
16
28
1
6
28
,
C
8
x
56
,28]
，于是答
D.
x( x
1)
10.
某学校
要召开学生代表大会，规定各班每
10
人推选一名代表，当各班人数除以
10
的余数大于
6
时再增选一名代表，那么，各
（
B
）
班可推选代表人数
y
与该班人数
x
之间的函数关系用取整函数
A
．
y
y
[ x]([ x]
表示不大于
x
的最大整数）可以表示为
[
x
]
10
B
．
y [
x
3
]
C
．
y
[
x 4
10
]
D
．
y
[
x
5
]
10
10
11.
定义：若
[x]
表示不超过
x
的最大整数，则称函数
y=[x]
为“下取整”函数；若（
x
）表示表示不小于
x
的最小整数，则称函数
y=
（
x
）为“上取整”函数，例如
[1.5]=1
，
(
―
2.3)=
―
2,,(2.9)=3.
试用适当的符号表示如下的函数关系式：
某商场举办周年庆酬宾活动，活动规定：顾客当天在同一柜台
购物，每满
300
元可少付
100
元，若顾客当天在该柜台购物价值
x
元，而他实际付款是
y
元，试建立
y
关于
x
的函数关系式。
一顾客拿着某超市的足够多的面值是
20
元的抵押劵去购物，超市规定使用抵押劵时不找零，该顾
客功挑选了价值为
x
元的物品，
全部用抵押劵支付，共付了
y
张，试建立
y
关于
x
的函数表达式。
解
y x 100
x
, x 0
,
y
300
x
,
x 0
.
20
12.
已知函数
f (x)
mx
2
(m
3)x 1
的图像与
x
轴的交点至少有一个在原点的右边
.
（
1
）求实数
m
的范围；
（
2
）令
t=
―
m+2
，求
1
t
的值；
t
1
（
3
）对于（
2
）中的
t
，求函数
g (t )
[t ]
1
t
[ t]
1
的值域。
1
t
t
解（
1
）
m
1
；（
2
）因为
t=
―
m+2
1
，所以
1
t
=0
或
1
；
（
3
）当
t
1
时，
1
t
=1
，
g (1)
1
；
2
t
1
当
t
1
时，
1
=0
，这时
g (t )
t
t
2
时，
1
g(t )
t
，
[t ] 1
5
4
，
（ⅰ）当
1
（ⅱ）当
，
n 2, n
N
*
时，
n
2
1
(n 1)
2
1
g(t)
[
n(n
1)
(n 1)
，
n
t
n 1
因
为
,
2
)
时取最小值是
n
2
1
1
n
n(n
1)
n
2
1
1
n
n
1
1
2
n
1
对
n
2,n N
*
是
递
增
的
，
当
n=2
3
5
，
而
6
( n
1)
2
1
2
( n
1)
1
1
2
(n
1)
对
n
2,n
N
*
是递减的，当
n=2
时取最大值是
10
9
，
2
1
(n
2
1
)
是
[
5
,
10
)
，亦即
[
5
,
10
)
是所有区间
[
2
1
(n
2
,
n
1)
n
1)
时
[
当
n=2
2
2
1
)
的并集，即
t
2
时，
g(t)
的值域是
[
5
10
,
n(n
1)
(n
1)
6
9
6
9
n(n
1) (n
1)
)
，联系当
1
t
2
时，
1
g (t )
5
6
9
4
g
(1)
及
t=1
时
1
，得
g(t)
的值域是
[
,
)
2
6
4
a
1
( f (x))
，
5
5
{
}
。
2
1
13.
x
R
，令
a
1
(
x)
[3x]
，
f ( x)
3x
[ 3x]
，进一步令
a
2
( x)
a
3
(x)
a
1
( f ( f ( x)))
，
（
1
）若
x
17
27
，求
a
1
(x)
，
a
2
( x)
，
a
3
( x)
.
（
2
）若
a
1
(x)
1
，
a
2
(x)
2
，
a
3
(
x)
17
，则
a
1
( x)
2
，求
x
的范围
.
解：（
1
）若
x
17
9
1
，
f ( x)
3x [3x]
17
17
3
8
9
，
27
9
a
2
(x)
8
3
2
f ( f ( x))
3 f ( x)
[3 f ( x)]
=
8
3
；
8
3
2
，
a
3
( x)
3
3
2
3
2
.
（
2
）若
a
1
( x)
1
，
1
3x
2
，即
1
3
x
2
3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
f ( x)
3x
[ 3x]
3x 1
，
a
2
( x)
得：
[
9x 3]
2
3
，令
a
2
( x)
[9 x
3]
=2
，
2
9x
3
3
，
：
5
9
x
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
f ( f (x))
3 f ( x)
[ 3 f ( x)]
9x
3
[ 9x
3]
9x
5
2
，
得：
，
a
3
(x)
a
1
( f ( f ( x)))
=
[27 x
15]
，令
a
3
(x)
2
27 x
15
3
：
17
x
17
2
3
x
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
27
由、、得：
2
3
.
27
14.
函
数
f ( x)
x [ x], x
0
,
其中
[
x]
表示不
超
x
的
最大整
数，如
[
1,2]
=-2
，
=1
，
[1.2]
[1]
=1
，若直
f (x
1), x
0
y=
kx
k(k
0)
与函数
y=
f ( x)
的
象恰有三个不同的交点，
1
4
1
1
．
, ]
D
k
的取
范
是
D
1
1
A
．
(
, ]
B
．
(0,
]
C
．
[
[
1
1
4
3
, )
4
3
4
3
四、不等式中的取整函数
15.
不等式
2[x]
2
-[x]-3
≥
0
的解集
＿
.
解析：
不等式可看作关于
[x]
的一元二次不等式，
解得
[x]
≥
1
或
[x]
≤
-
3
2
，所以
x
≥
1
2
或
x<-1
不等式
2[x]
-[x]-3
≥
0
的解集
{x|x
≥
1
或
x<-1}.
点
：由
[x]
≤
-
3
及
[x]
∈
Z
得到
[x]
≤
-2
，再根据
n
≤
x
∈
Z) [x]=n
，得到
x<-1
，
一步如不
心很容易出
.
2
16.
如果
于任
意
数
x
，
x
表示不超
x
的最大整数
.
例如
3.27
3
，
0.6
0
.
那么“
x
y
是“
x
y
1
”的（Ａ）
（
A
）充分而不必要条件（
B
）必要而不充分条件
（
C
）充分必
要条件
?
（
D
）既不充分也不必要条件
[
x
]
表示不超
x
的最大整数（如［
2
］
=2
，［
1.3
］
=1
）
,
x
1
17.
已知函数
f
x
x
2
1
x 0
，当
f x
1
，
数
x
的取
范
是▲
.
答案：
x | k
x
k
1
2
2
,k N
五、方程中的取整函数
18.
方程
x
2
-[x]-2=0
的解集
＿
.
解析：由
[x]
≤
x
得
x
2
-x-2
≤
0
，即
-1
≤
x
≤
2
，又
[x]
∈
Z
，
2
∈
Z
，所以
x
2
∈
Z
，因此
x
的可能取
-1
、
0
、
1
、
2
、
3
、
2
，
-
-
-
-
-
-
-